Введение
52-мерная исключительная простая группа Ли. В математике F4 — это группа Ли и её алгебра Ли f4. Она является одной из пяти исключительных простых групп Ли. F4 имеет ранг 4 и размерность 52. Её компактная форма простосвязна, а внешняя группа автоморфизмов — тривиальная группа. Её фундаментальное представление имеет размерность 26. Компактная вещественная форма F4 является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как октонионная проективная плоскость OP2. Это можно систематически увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Гансом Фрейденталем и Жаком Титсом. Существуют 3 вещественные формы: компактная, расщеплённая и третья. Они являются группами изометрий трёх вещественных алгебр Альберта. Алгебра Ли F4 может быть построена путём добавления 16 генераторов, преобразующихся как спинор, к 36-мерной алгебре Ли so(9), по аналогии с построением E8. В старых книгах и статьях F4 иногда обозначается как E4.
DISPLAYTITLE:F4 (mathematics)
the field
In mathematics, F4 is a Lie group and also its Lie algebra f4. It is one of the five exceptional simple Lie groups. F4 has rank 4 and dimension 52. The compact form is simply connected and its outer automorphism group is the trivial group. Its fundamental representation is 26 dimensional. The compact real form of F4 is the isometry group of a 16 dimensional Riemannian manifold known as the octonionic projective plane OP2. This can be seen systematically using a construction known as the magic square, due to Hans Freudenthal and Jacques Tits. There are 3 real forms: a compact one, a split one, and a third one. They are the isometry groups of the three real Albert algebras. The F4 Lie algebra may be constructed by adding 16 generators transforming as a spinor to the 36 dimensional Lie algebra so(9), in analogy with the construction of E8. In older books and papers, F4 is sometimes denoted by E4.
Диаграмма Динкина
Диаграмма Динкина для F4 выглядит так: .
Группа Weyl/Coxeter
Его группа Вейля/Кокстера 1=G = W(F4) является группой симметрии 24-ячейника: это разрешимая группа порядка 1152. Она имеет минимальную верную степень 1=μ(G) = 24, которая реализуется при действии на 24-ячейник.
Сетка F4
Сетка F4 представляет собой четырехмерную кубическую решетку с центрированием в теле (то есть объединение двух гиперкубических решеток, каждая из которых расположена в центре другой). Они образуют кольцо, называемое кольцом кватернионов Хурвица. 24 кватерниона Хурвица с нормой 1 образуют вершины 24-ячейника, центрированного в начале координат.
Инвариант многочлена F4
Так же, как O(n) — это группа автоморфизмов, сохраняющих квадратные многочлены x² + y² + инвариантными, F₄ — это группа автоморфизмов следующего набора из 3 многочленов в 27 переменных (первый из них можно легко выразить через два других, уменьшив число переменных до 26). Здесь x, y, z — действительные числа, а X, Y, Z — октанионные. Эти инварианты можно также представить в виде (комбинаций) Tr(M), Tr(M²) и Tr(M³) для эрмитовой октонионной матрицы:
Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.
Представительства
Характеры представлений конечной размерности вещественных и комплексных алгебр и групп Ли задаются формулой характеров Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений: 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912.
1, 26, 52, 273, 324, 1053 (twice), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (twice), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912
The 52 dimensional representation is the adjoint representation, and the 26 dimensional one is the trace free part of the action of F4 on the exceptional Albert algebra of dimension 27. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 1053, 160056, 4313088, etc. The fundamental representations are those with dimensions 52, 1274, 273, 26 (corresponding to the four nodes in the Dynkin diagram in the order such that the double arrow points from the second to the third). Embeddings of the maximal subgroups of F4 up to dimension 273 with associated projection matrix are shown below.
52-мерное представление является сопряжённым представлением, а 26-мерное – частью действия F4 на исключительную Альбертову алгебру размерности 27, свободной от следа. Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т.д. Фундаментальными представлениями являются представления размерностей 52, 1274, 273, 26 (соответствующие четырем вершинам диаграммы Динкина в порядке, при котором двойная стрелка направлена со второй на третью). Вложения максимальных подгрупп F4 до размерности 273 с соответствующими матрицами проекций приведены ниже.
1, 26, 52, 273, 324, 1053 (twice), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (twice), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912
The 52 dimensional representation is the adjoint representation, and the 26 dimensional one is the trace free part of the action of F4 on the exceptional Albert algebra of dimension 27. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 1053, 160056, 4313088, etc. The fundamental representations are those with dimensions 52, 1274, 273, 26 (corresponding to the four nodes in the Dynkin diagram in the order such that the double arrow points from the second to the third). Embeddings of the maximal subgroups of F4 up to dimension 273 with associated projection matrix are shown below.