Теориялық физикадағы супертоптар және олардың алгебралық құрылымы

Кіріспе

Теориялық физикада қолданылатын алгебралық құрылым. Супертоп ұғымы – топ ұғымының жалпыламасы болып табылады. Яғни, әрбір супертоптың табиғи топ құрылымы болады, бірақ берілген топты супертоп ретінде құрудың бірнеше тәсілі болуы мүмкін. Супертоп Ли тобы сияқты, оларда жақсы анықталған тегіс функция туралы түсінік бар. Дегенмен, функциялардың жұп және тақ бөліктері болуы мүмкін. Сонымен қатар, супертоптың суперли алгебрасы бар, ол Ли топтары үшін Ли алгебрасы атқаратын рөлге ұқсас – ол бейнелеу теориясының көп бөлігін анықтайды және жіктеу үшін бастапқы нүкте болып табылады.

Егжей-тегжейлер

Неғұрлым ресми түрде, Ли супертобы – бұл суперманифолдтар санатындағы топтық объектіні құрайтын G суперманифолды, көбейту морфизмі, инверсия морфизмі және бірлік морфизмі бар. Бұл, коммутативтік диаграммалар түрінде берілгенде, топтың әдеттегі ассоциативтілік және инверсия аксиомаларының сақталуын білдіреді. Кез келген манифолд суперманифолд болғандықтан, Ли супертобы Ли тобының ұғымын жалпылайды. Мүмкін болатын супертоптар көп. Теориялық физикада ең қызығушылық тудыратындары – Пуанкаре тобын немесе конформдық топты кеңейтетін топтар. Ортосимплектік топтар Osp(M|N) және суперүнітарлық топтар SU(M|N) ерекше қызығушылыққа ие. Балама алгебралық тәсіл суперманифолдты оның суперкоммутативті тегіс функциялар сақинасымен анықтаудан басталады, ал суперманифолдтардың морфизмі олардың функциялары арасындағы алгебралық гомоморфизммен бір-бірге сәйкес келеді, яғни суперманифолдтар санаты тегіс градуалды коммутативті функциялар алгебралары санатына кері болады. Ли супертобын анықтайтын коммутативтік диаграммалардағы барлық жебелерді кері бұру, супертоптағы функциялардың Z2-дәрежелі Хопф алгебрасының құрылымына ие екенін көрсетеді. Сол сияқты, осы Хопф алгебрасының өкілдіктері Z2-дәрежелі комодульдер болып табылады. Бұл Хопф алгебрасы супертоптың жаһандық қасиеттерін анықтайды. Осыған ұқсас, тағы бір Хопф алгебрасы бар, ол бұл Хопф алгебрасының дуалы болып табылады. Оны бастапқыда градуалды дифференциалды операторлардың Хопф алгебрасымен сәйкестендіруге болады. Ол тек симметриялардың жергілікті қасиеттерін ғана береді, яғни тек инфинитезимальды суперсимметриялық түрлендірулер туралы ақпарат береді. Бұл Хопф алгебрасының өкілдіктері модульдер болып табылады. Градуалды емес жағдайдағыдай, бұл Хопф алгебрасын Ли супералгебрасының әмбебап орауыш алгебрасы ретінде таза алгебралық түрде сипаттауға болады. Осыған ұқсас, аффиндік алгебралық супертопты супералгебралық аффиндік сорттар санатындағы топтық объект ретінде анықтауға болады. Аффиндік алгебралық супертоптың суперполиномдардың Хопф алгебрасымен ұқсас бір-бірге сәйкес қатынасы бар. Схемалар тілін қолдану арқылы, геометриялық және алгебралық көзқарастарды біріктіре отырып, алгебралық супертоп схемаларын, соның ішінде супер абелиялық сорттарды анықтауға болады.

More formally, a Lie supergroup is a supermanifold G together with a multiplication morphism , an inversion morphism and a unit morphism which makes G a group object in the category of supermanifolds. This means that, formulated as commutative diagrams, the usual associativity and inversion axioms of a group continue to hold. Since every manifold is a supermanifold, a Lie supergroup generalises the notion of a Lie group. There are many possible supergroups. The ones of most interest in theoretical physics are the ones which extend the Poincaré group or the conformal group. Of particular interest are the orthosymplectic groups Osp(M|N) and the superunitary groups SU(M|N). An equivalent algebraic approach starts from the observation that a supermanifold is determined by its ring of supercommutative smooth functions, and that a morphism of supermanifolds corresponds one to one with an algebra homomorphism between their functions in the opposite direction, i. e. that the category of supermanifolds is opposite to the category of algebras of smooth graded commutative functions. Reversing all the arrows in the commutative diagrams that define a Lie supergroup then shows that functions over the supergroup have the structure of a Z2 graded Hopf algebra. Likewise the representations of this Hopf algebra turn out to be Z2 graded comodules. This Hopf algebra gives the global properties of the supergroup. There is another related Hopf algebra which is the dual of the previous Hopf algebra. It can be identified with the Hopf algebra of graded differential operators at the origin. It only gives the local properties of the symmetries i. e., it only gives information about infinitesimal supersymmetry transformations. The representations of this Hopf algebra are modules. Like in the non graded case, this Hopf algebra can be described purely algebraically as the universal enveloping algebra of the Lie superalgebra. In a similar way one can define an affine algebraic supergroup as a group object in the category of superalgebraic affine varieties. An affine algebraic supergroup has a similar one to one relation to its Hopf algebra of superpolynomials. Using the language of schemes, which combines the geometric and algebraic point of view, algebraic supergroup schemes can be defined including super Abelian varieties.

Мысалдар

Супер Пуанкаре тобы — суперғарыштың изометриялар тобы (әсіресе, суперзарядтары бар Миньковский суперғарышы, мұндағы көбінесе 1-ге тең). Ол көбінесе алгебра деңгейінде қарастырылады және Супер Пуанкаре алгебрасымен туындайды.

Суперконформальды топ — суперғарыштың конформальды симметриялар тобы, ол суперконформальды алгебрамен туындайды.