Супергруппы в теоретической физике

Введение

Алгебраическая структура, используемая в теоретической физике. Понятие супергруппы является обобщением понятия группы. Иными словами, каждая супергруппа обладает естественной групповой структурой, но существует более одного способа задать супергрупповую структуру для данной группы. Супергруппы подобны группам Ли тем, что для них существует чётко определённое понятие гладкой функции. Однако эти функции могут иметь чётные и нечётные компоненты. Более того, у супергруппы есть супер-Лиева алгебра, которая играет роль, аналогичную роли алгебры Ли для групп Ли: она определяет большую часть теории представлений и служит отправной точкой для классификации.

Подробности

Более формально, супергруппа Ли — это супермногообразие G вместе с морфизмом умножения, морфизмом инверсии и морфизмом единицы, что делает G групповым объектом в категории супермногообразий. Это означает, что обычные аксиомы ассоциативности и инверсии группы продолжают выполняться, что можно сформулировать в виде коммутативных диаграмм. Поскольку каждое многообразие является супермногообразием, супергруппа Ли обобщает понятие группы Ли. Существует множество возможных супергрупп. Наиболее интересными в теоретической физике являются те, которые расширяют группу Пуанкаре или конформную группу. Особый интерес представляют ортосимплектические группы Osp(M|N) и суперунитарные группы SU(M|N). Эквивалентный алгебраический подход исходит из наблюдения, что супермногообразие определяется своим кольцом суперкоммутативных гладких функций, и что морфизм супермногообразий соответствует биективному алгебраическому гомоморфизму между их функциями в противоположном направлении, то есть категория супермногообразий является двойственной к категории алгебр гладких градуированных коммутативных функций. Обращение всех стрелок в коммутативных диаграммах, определяющих супергруппу Ли, показывает, что функции на супергруппе имеют структуру Z₂-градуированной алгебры Хопфа. Аналогично, представления этой алгебры Хопфа оказываются Z₂-градуированными комодулями. Эта алгебра Хопфа описывает глобальные свойства супергруппы. Существует также другая связанная алгебра Хопфа, которая является двойственной к предыдущей. Её можно отождествить с алгеброй Хопфа градуированных дифференциальных операторов в начале координат. Она описывает только локальные свойства симметрий, то есть предоставляет только информацию об инфинитезимальных преобразованиях суперсимметрии. Представления этой алгебры Хопфа — это модули. Как и в неградуированном случае, эту алгебру Хопфа можно описать чисто алгебраически как универсальную огибающую алгебру супералгебры Ли. Аналогичным образом можно определить аффинную алгебраическую супергруппу как групповой объект в категории супералгебраических аффинных многообразий. Аффинная алгебраическая супергруппа имеет аналогичное биективное соответствие со своей алгеброй Хопфа суперполиномов. Используя язык схем, который объединяет геометрическую и алгебраическую точки зрения, можно определить схемы алгебраических супергрупп, включая суперабелевы многообразия.

More formally, a Lie supergroup is a supermanifold G together with a multiplication morphism , an inversion morphism and a unit morphism which makes G a group object in the category of supermanifolds. This means that, formulated as commutative diagrams, the usual associativity and inversion axioms of a group continue to hold. Since every manifold is a supermanifold, a Lie supergroup generalises the notion of a Lie group. There are many possible supergroups. The ones of most interest in theoretical physics are the ones which extend the Poincaré group or the conformal group. Of particular interest are the orthosymplectic groups Osp(M|N) and the superunitary groups SU(M|N). An equivalent algebraic approach starts from the observation that a supermanifold is determined by its ring of supercommutative smooth functions, and that a morphism of supermanifolds corresponds one to one with an algebra homomorphism between their functions in the opposite direction, i. e. that the category of supermanifolds is opposite to the category of algebras of smooth graded commutative functions. Reversing all the arrows in the commutative diagrams that define a Lie supergroup then shows that functions over the supergroup have the structure of a Z2 graded Hopf algebra. Likewise the representations of this Hopf algebra turn out to be Z2 graded comodules. This Hopf algebra gives the global properties of the supergroup. There is another related Hopf algebra which is the dual of the previous Hopf algebra. It can be identified with the Hopf algebra of graded differential operators at the origin. It only gives the local properties of the symmetries i. e., it only gives information about infinitesimal supersymmetry transformations. The representations of this Hopf algebra are modules. Like in the non graded case, this Hopf algebra can be described purely algebraically as the universal enveloping algebra of the Lie superalgebra. In a similar way one can define an affine algebraic supergroup as a group object in the category of superalgebraic affine varieties. An affine algebraic supergroup has a similar one to one relation to its Hopf algebra of superpolynomials. Using the language of schemes, which combines the geometric and algebraic point of view, algebraic supergroup schemes can be defined including super Abelian varieties.

Примеры

Группа Супер-Пуанкаре — это группа изометрий суперпространства (в частности, пространства Минковского с суперзарядами, где часто принимается равным 1). Чаще всего она рассматривается на уровне алгебры и порождается алгеброй Супер-Пуанкаре.

Суперконформная группа — это группа конформных симметрий суперпространства, порождаемая суперконформной алгеброй.