Кіріспе

Тұрақты Хаусдорф кеңістігінің түрі Топологияда және математиканың басқа да салаларында, Тихонов кеңістіктері мен толыққанды тұрақты кеңістіктер – топологиялық кеңістіктердің түрлері болып табылады. Бұл шарттар – бөліну аксиомаларының мысалдары. Тихонов кеңістігі – Хаусдорф кеңістігі болатын кез келген толыққанды тұрақты кеңістік; Тихонов емес (яғни Хаусдорф емес) толыққанды тұрақты кеңістіктер де бар. Пол Урисон 1925 жылы жарияланған мақаласында толыққанды тұрақты кеңістік ұғымын атаусыз пайдаланған. Алайда, толыққанды тұрақты терминін 1930 жылы Андрей Тихонов енгізді.

Анықтамалар

Топологиялық кеңістік, егер нүктелерді шектелген, үздіксіз нақты мәнді функциялар арқылы жабық жиынтықтардан бөліп алуға болатын болса, толықтай реттелген деп аталады. Техникалық тұрғыдан алғанда, бұл мынаны білдіреді: кез келген жабық жиынтық пен кез келген нүкте үшін, мәнiнде нөлге тең болмайтын және мәнiнде нөлге тең болатын нақты мәнді үздіксіз функция бар. (Балама ретінде, және орнына кез келген екі мәнді таңдауға болады, тіпті шектелген функция болуын талап етуге де болады.) Топологиялық кеңістік, егер ол толықтай реттелген және Хаусдорф кеңістігі болса, Тихонов кеңістігі деп аталады (басқаша: T3½ кеңістік, немесе Tπ кеңістік, немесе толық T3 кеңістік). Ескерту. Толық реттелген кеңістіктер мен Тихонов кеңістіктері Колмогоров эквиваленттігі арқылы байланысты. Топологиялық кеңістік Тихонов болып табылады, егер және тек қана егер ол толықтай реттелген және T0 кеңістігі болса. Екінші жағынан, кеңістік толықтай реттелген, егер және тек қана егер оның Колмогоров бөлігі Тихонов кеңістігі болса.

Атау беру ережесі

Математикалық әдебиетте "толық реттелген" терминіне және "Т" аксиомаларына қатысты әртүрлі шарттылықтар қолданылады. Осы бөлімде берілген анықтамалар қазіргі заманғы қолданыстағыдай. Дегенмен, кейбір авторлар осы екі түбірдің мағынасын ауыстырып жатады немесе барлық терминдерді бір-бірінің орнына қолданады. Уикипедияда "толық реттелген" және "Тихонов" терминдері еркін қолданылады, ал "Т" белгісі көбінесе қолданылмайды. Сондықтан, стандартты әдебиетте автор қандай анықтамаларды қолданғанын білу үшін сақты болу керек. Бұл мәселе туралы толық ақпарат алу үшін, ажырату аксиомаларының тарихына қараңыз.

Сақтау

Толық реттелу және Тихонов қасиеттері бастапқы топологияларға қатысты жақсы қасиеттерге ие. Атап айтқанда, толық реттелу кез келген бастапқы топологияны алу арқылы сақталады, ал Тихонов қасиеті нүктелерді бөлетін бастапқы топологияны алу арқылы сақталады. Осыдан келіп, мынаны айтуға болады:
Толық реттелген немесе Тихонов кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі сол қасиетке ие болады. Бос емес көбейтінді кеңістігі толық реттелген (сәйкесінше Тихонов) болады, егер және тек қана әрбір факторлық кеңістік толық реттелген (сәйкесінше Тихонов) болса. Барлық бөлу аксиомалары сияқты, толық реттелу соңғы топологияны алу арқылы сақталмайды. Атап айтқанда, толық реттелген кеңістіктердің бөлінділері міндетті түрде реттелген болуы керек емес. Тихонов кеңістіктерінің бөлінділері тіпті Хаусдорф кеңістігі болуы да міндетті емес, қарапайым мысал ретінде екі нүктесі бар түзуді келтіруге болады. Мур жазықтығының қарсы мысалдар беретін жабық бөлінділері бар.

Тіркелгендер

Тихонов кеңістіктері – нақты осылайша, ықшам Хаусдорф кеңістіктеріне ендіріле алатын кеңістіктер. Нақтырақ айтқанда, әр Тихонов кеңістігі үшін, оған гомеоморфты болатын ықшам Хаусдорф кеңістігі табылады.

Шындығында, оны әрқашан Тихонов текшесі (яғни, бірлік интервалдардың мүмкін шексіз көбейтіндісі) ретінде таңдауға болады. Тихоновтың теоремасының салдары ретінде, әр Тихонов текшесі ықшам Хаусдорф болып табылады. Ықшам Хаусдорф кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі Тихоновтық болатындықтан, мынадай қорытындыға келеміз:

Топологиялық кеңістік, егер және тек қана Тихонов текшесіне ендіріле алса, Тихоновтық болып табылады.