Введение

Тип регулярного пространства Хаусдорфа

В топологии и смежных областях математики пространства Тихонова и полностью регулярные пространства являются видами топологических пространств. Эти условия являются примерами аксиом разделения. Пространство Тихонова — это любое полностью регулярное пространство, являющееся также пространством Хаусдорфа; существуют полностью регулярные пространства, которые не являются пространствами Тихонова (то есть не являются пространствами Хаусдорфа). Поль Урысон использовал понятие полностью регулярного пространства в статье 1925 года, не давая ему названия. Но именно Андрей Тихонов ввёл терминологию «полностью регулярное» в 1930 году.

Определения

Топологическое пространство называется полностью регулярным, если точки могут быть отделены от замкнутых множеств посредством (ограниченных) непрерывных вещественнозначных функций. В техническом плане это означает: для любого замкнутого множества и любой точки существует непрерывная вещественнозначная функция такая, что и (эквивалентно, можно выбрать любые два значения вместо и и даже потребовать, чтобы функция была ограничена). Топологическое пространство называется пространством Тихонова (альтернативно: пространство T3½, или пространство Tπ, или полностью T3-пространство), если это полностью регулярное пространство Хаусдорфа. Замечание. Полностью регулярные пространства и пространства Тихонова связаны понятием эквивалентности Колмогорова. Топологическое пространство является пространством Тихонова тогда и только тогда, когда оно является полностью регулярным и T0. С другой стороны, пространство является полностью регулярным тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову является пространством Тихонова.

Конвенции о наименовании

В математической литературе используются различные соглашения в отношении термина "полностью регулярный" и "T"-аксиом. Определения, представленные в этом разделе, соответствуют современной общепринятой практике. Однако некоторые авторы меняют значения этих двух типов терминов или используют их как взаимозаменяемые. В Википедии термины "полностью регулярный" и "Тихонов" используются свободно, а обозначение "T" обычно не применяется. Поэтому при работе со стандартной литературой рекомендуется проявлять осторожность, чтобы определить, какие определения использует автор. Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в разделе "История аксиом разделения".

Сохранение

Полная регулярность и свойство Тихонова хорошо ведут себя по отношению к начальным топологиям. В частности, полная регулярность сохраняется при взятии произвольных начальных топологий, а свойство Тихонова – при взятии начальных топологий, разделяющих точки. Следовательно:
Каждое подпространство полностью регулярного или тихоновского пространства обладает тем же свойством. Непустое произведение является полностью регулярным (соответственно, тихоновским) тогда и только тогда, когда каждое фактор-пространство является полностью регулярным (соответственно, тихоновским). Как и все аксиомы разделения, полная регулярность не сохраняется при взятии конечных топологий. В частности, фактор-пространства полностью регулярных пространств не обязаны быть регулярными. Фактор-пространства тихоновских пространств не обязаны быть даже хаусдорфовыми, элементарным контрпримером является прямая с двумя началами координат. Существуют замкнутые фактор-пространства плоскости Мура, которые служат контрпримерами.

Встраивания

Пространства Тихонова — это именно те пространства, которые могут быть встроены в компактные пространства Хаусдорфа. Более точно, для каждого пространства Тихонова существует компактное пространство Хаусдорфа, в которое оно может быть вложено гомеоморфно как подпространство. Фактически, всегда можно выбрать куб Тихонова (то есть, возможно бесконечное произведение единичных интервалов). Каждый куб Тихонова является компактным хаусдорфовым пространством как следствие теоремы Тихонова. Поскольку каждое подпространство компактного пространства Хаусдорфа является пространством Тихонова, то: топологическое пространство является пространством Тихонова тогда и только тогда, когда оно может быть встроено в куб Тихонова.