Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы туынды
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
Дифференциалдық геометриядағы Ли туындысы (/l//iː/ LEE), Владыслав Слебодзинскийдің Софус Лейінің есімімен аталған, басқа векторлық өріспен анықталған ағын бойынша тензорлық өрістің (скалярлық функцияларды, векторлық өрістерді және бір формаларды қоса алғанда) өзгеруін анықтайды. Бұл өзгеріс координаттық инвариантты болып табылады, сондықтан Ли туындысы кез келген дифференциалданатын көптікке анықталған. Функциялар, тензорлық өрістер және формалар векторлық өріске қатысты дифференциалдануы мүмкін. Егер T тензорлық өріс болса және X векторлық өріс болса, онда T-ның X-ке қатысты Ли туындысы деп белгіленеді. Дифференциалдық оператор – негізгі көптіктің тензорлық өрістерінің алгебрасының туындысы болып табылады. Ли туындысы ықшамдаумен және сыртқы туындымен дифференциалдық формаларда коммутациялайды. Дифференциалдық геометрияда туындыны алудың көптеген түсініктері бар болғанымен, олардың бәрі де егер дифференциалданатын өрнек функция немесе скалярлық өріс болғанда келіседі. Осылайша, бұл жағдайда "Ли" сөзі алынып тасталады және функцияның туындысы туралы ғана айтылады. Y векторлық өрісінің X векторлық өрісіне қатысты Ли туындысы X және Y-дің "Ли жақшасы" деп аталады және көбінесе [X,Y] деп белгіленеді. Векторлық өрістер кеңістігі осы Ли жақшасына қатысты Ли алгебрасын құрайды. Ли туындысы осы Ли алгебрасының шексіз өлшемді Ли алгебралық бейнесі болып табылады, себебі кез келген векторлық өрістер X және Y және кез келген тензорлық өріс T үшін мына теңдік орындалады.
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
Векторлық өрістерді M-дегі ағындардың инфинитезимальды генераторлары ретінде қарастыра отырып, Ли туындысы тензорлық өрістердегі диффеоморфизм тобының бейнесінің дифференциалы болып табылады, бұл Ли алгебралық бейнелерге ұқсас, өйткені топтық бейнелеуге байланысты инфинитезимальды бейнелеу. Спинорлық өрістер, байланыспен талшықтық бундельдер және векторлық бағаланған дифференциалдық формалар үшін жалпыламалар бар.
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
Мотивация
Тензорлық өрістің векторлық өріске қатысты туындысын анықтауға жасалған "наивті" тырастың бір жолы – тензорлық өрістің компоненттерін алып, әр компоненттің векторлық өріске қатысты бағыттық туындысын табу болар еді. Дегенмен, бұл анықтама қанағаттандырмайды, себебі ол координата жүйесінің өзгеруіне байланысты өзгермейді, мысалы, полярлық немесе сфералық координаталардағы наивті туынды, Декарт координаталарындағы компоненттердің наивті туындысынан өзгеше болады. Абстрактілі көптемеде мұндай анықтама мағынасыз және дұрыс анықталмаған. Дифференциалдық геометрияда тензорлық өрістерді дифференциациялаудың үш негізгі координатаға тәуелсіз түсінігі бар: Ли туындылары, байланыстарға қатысты туындылар және толық антисимметриялық ковариантты тензорлардың сыртқы туындысы, яғни дифференциалдық формалар. Ли туындысы мен байланысқа қатысты туындының басты айырмашылығы – соңғысы, тензорлық өрістің тангенс векторына қатысты туындысы, тіпті сол тангенс векторын векторлық өріс ретінде қалай кеңейту керектігі көрсетілмесе де, жақсы анықталған. Алайда, байланысқа қосымша геометриялық құрылымды таңдау қажет (мысалы, Риманн метрикасы немесе жай абстрактілі байланыс) көптемеде. Керісінше, Ли туындысын есептегенде, көптемеге қосымша құрылым қажет емес, бірақ тензорлық өрістің Ли туындысы туралы бір тангенс векторына қатысты сөйлеу мүмкін емес, себебі векторлық өріске қатысты X нүктесінде p тензорлық өрістің Ли туындысының мәні, тек p нүктесінде ғана емес, p маңындағы X-тің мәніне де байланысты болады. Соңында, дифференциалдық формалардың сыртқы туындысы қосымша таңдауды қажет етпейді, бірақ ол тек дифференциалдық формалардың (функцияларды қоса алғанда) жақсы анықталған туындысы болып табылады.
Анықтама
Ли дериваты бірнеше эквивалентті тәсілмен анықталуы мүмкін. Мәселені жеңілдету үшін, біз жалпы тензорларға анықтамасын беруге көшуден бұрын, скалярлық функциялар мен векторлық өрістерге қатысты Ли дериватының анықтамасын қарастырамыз.
Векторлық өрістің Ли туындысы
Егер X және Y екеуі де векторлық өрістер болса, онда Y-нің X-ке қатысты Ли туындысы X және Y-дің Ли скобкасы деп те аталады және кейде осылай белгіленеді. Ли скобкасын анықтаудың бірнеше тәсілі бар, олардың барлығы да эквивалентті. Біз төменде жоғарыда келтірілген векторлық өрістің екі анықтамасына сәйкес келетін екі анықтаманы ұсынамыз:
Жалпылау
Ли дериватының түрлі жалпыламалары дифференциалдық геометрияда маңызды роль атқарады.
Ковариантты Lie туындысы
Егер бізде G құрылымдық тобы ретінде M көптүгі үстіндегі негізгі шоғыр болса, және X-ті негізгі шоғырдың жанама кеңістігінің қимасы ретінде ковариантты векторлық өріс ретінде таңдасақ (яғни, оның көлденең және тік компоненттері бар), онда ковариантты Ли туындысы – негізгі шоғыр үстінде X-ке қатысты алынған Ли туындысы. Егер бізге M-де Y векторлық өрісі берілген болса (бірақ негізгі шоғырда емес), сонымен қатар негізгі шоғырда байланыс болса, біз негізгі шоғырда X векторлық өрісін анықтай аламыз, оның көлденең компоненті Y-мен сәйкес келеді, ал тік компоненті байланыспен үйлеседі. Бұл ковариантты Ли туындысы. Толық мәліметтер үшін байланыс формасына қараңыз.
Nijenhuis Lie туындысы
Альберт Нийенхуистің тағы бір жалпыламасы, дифференциалдық форманың Ли туындысын, жайтүйіндегі мәндері бар дифференциалдық формалардың Ωk(M, TM) жинағының кез келген қимасы бойынша анықтауға мүмкіндік береді. Егер K ∈ Ωk(M, TM) және α дифференциалдық p формасы болса, онда K және α-ның iKα ішкі көбейтіндісін анықтауға болады. Нийенхуис-Ли туындысы – ішкі көбейтінді мен сыртқы туындының антикоммутаторы болып табылады:
Тарих
1931 жылы Владыслав Слебодзинский жаңа дифференциалдық операторды енгізді, кейін Дэвид ван Данциг оны Ли туындысы деп атады, оны скалярларға, векторларға, тензорларға және аффиндік байланыстарға қолдануға болады және ол автоморфизмдер топтарын зерттеуде қуатты құрал болып танылды. А. Нийенхуис, Я. Таширо және К. Яно жалпы геометриялық нысандардың (яғни табиғи талшықтық шоғырлардың қималарының) Ли туындыларын зерттеді. Физиктер математиктердің еңбектеріне сілтеме жасамастан ұзақ уақыт бойы Ли туындыларын қолданды. 1940 жылы Леон Розенфельд, ал одан бұрын (1921 жылы) Вольфганг Паули геометриялық нысанның векторлық өріспен тудырылған координаттардың инфинитезимальды трансформациясынан туындаған «жергілікті өзгеруі» деп атаған нәрсені енгізді. Оның екенін оңай дәлелдеуге болады.