Введение
Производная в дифференциальной геометрии
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
В дифференциальной геометрии производная Ли (/l//iː/ ЛИ), названная в честь Софуса Ли Владиславом Слебодзинским, вычисляет изменение тензорного поля (включая скалярные функции, векторные поля и дифференциальные формы) вдоль потока, определяемого другим векторным полем. Это изменение является координатно инвариантным, и поэтому производная Ли определена на любом дифференцируемом многообразии. Функции, тензорные поля и формы могут быть дифференцированы по векторному полю. Если T — тензорное поле, а X — векторное поле, то производная Ли T по X обозначается . Дифференциальный оператор является производной алгебры тензорных полей базового многообразия. Производная Ли коммутирует с операцией свёртки и внешней производной на дифференциальных формах. Хотя в дифференциальной геометрии существует множество способов взятия производной, все они дают одинаковый результат, когда дифференцируемое выражение является функцией или скалярным полем. В этом случае слово "Ли" опускается, и говорят просто о производной функции. Производная Ли векторного поля Y по векторному полю X известна как скобка Ли X и Y и часто обозначается [X, Y] вместо . Пространство векторных полей образует алгебру Ли относительно этой скобки Ли. Производная Ли представляет собой бесконечномерное представление этой алгебры Ли, что следует из тождества
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
,
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
выполняющегося для любых векторных полей X и Y и любого тензорного поля T.
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
Рассматривая векторные поля как бесконечно малые генераторы потоков (то есть одномерных групп диффеоморфизмов) на M, производная Ли является дифференциалом представления группы диффеоморфизмов на тензорных полях, аналогично представлениям алгебры Ли как бесконечно малым представлениям, связанным с представлением группы в теории групп Ли. Существуют обобщения для спинорных полей, расслоений с соединением и векторнозначных дифференциальных форм.
In differential geometry, the Lie derivative (/l//iː/ LEE), named after Sophus Lie by Władysław Ślebodziński, evaluates the change of a tensor field (including scalar functions, vector fields and one forms), along the flow defined by another vector field. This change is coordinate invariant and therefore the Lie derivative is defined on any differentiable manifold. Functions, tensor fields and forms can be differentiated with respect to a vector field. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold. The Lie derivative commutes with contraction and the exterior derivative on differential forms. Although there are many concepts of taking a derivative in differential geometry, they all agree when the expression being differentiated is a function or scalar field. Thus in this case the word "Lie" is dropped, and one simply speaks of the derivative of a function. The Lie derivative of a vector field Y with respect to another vector field X is known as the "Lie bracket" of X and Y, and is often denoted [X,Y] instead of The space of vector fields forms a Lie algebra with respect to this Lie bracket. The Lie derivative constitutes an infinite dimensional Lie algebra representation of this Lie algebra, due to the identity
valid for any vector fields X and Y and any tensor field T.
Considering vector fields as infinitesimal generators of flows (i. e. one dimensional groups of diffeomorphisms) on M, the Lie derivative is the differential of the representation of the diffeomorphism group on tensor fields, analogous to Lie algebra representations as infinitesimal representations associated to group representation in Lie group theory. Generalisations exist for spinor fields, fibre bundles with a connection and vector valued differential forms.
Мотивация
"Наивная" попытка определить производную тензорного поля по векторному полю состояла бы в том, чтобы взять компоненты тензорного поля и вычислить направленную производную каждой компоненты по векторному полю. Однако такое определение нежелательно, поскольку оно не инвариантно относительно преобразований координат, например, наивная производная, выраженная в полярных или сферических координатах, отличается от наивной производной компонентов в декартовых координатах. На абстрактном многообразии такое определение лишено смысла и не определено корректно. В дифференциальной геометрии существует три основных способа дифференцирования тензорных полей, не зависящих от выбора координат: производные Ли, производные по связности и внешняя производная полностью антисимметричных ковариантных тензоров, то есть дифференциальных форм. Основное различие между производной Ли и производной по связности заключается в том, что последняя производная тензорного поля по касательному вектору определена корректно, даже если не указано, как расширить этот касательный вектор до векторного поля. Однако для определения связности требуется выбор дополнительной геометрической структуры на многообразии (например, римановой метрики или просто абстрактной связи). В отличие от этого, для вычисления производной Ли не требуется никакой дополнительной структуры на многообразии, но нельзя говорить о производной Ли тензорного поля по единственному касательному вектору, поскольку значение производной Ли тензорного поля по векторному полю X в точке p зависит от значения X в окрестности точки p, а не только в самой точке p. Наконец, внешняя производная дифференциальных форм не требует каких-либо дополнительных выборов, но является корректно определенной производной только для дифференциальных форм (включая функции).
Определение
Производная Ли может быть определена несколькими эквивалентными способами. Для простоты мы начнем с определения производной Ли, действующей на скалярные функции и векторные поля, а затем перейдем к определению для общих тензоров.
Производная Лей векторного поля
Если X и Y – оба векторные поля, то производная Ли Y по направлению X также известна как скобка Ли X и Y и иногда обозначается. Существует несколько подходов к определению скобки Ли, все из которых эквивалентны. Мы приводим здесь два определения, соответствующие двум определениям векторного поля, представленным выше.
Обобщения
Различные обобщения производной Ли играют важную роль в дифференциальной геометрии.
Ковариантная производная Ли
Если у нас есть главный расслоение над многообразием M с G в качестве структурной группы, и мы выбираем X как ковариантное векторное поле, являющееся сечением тангентного пространства главного расслоения (то есть оно имеет горизонтальную и вертикальную компоненты), то ковариантная производная Ли – это просто производная Ли по отношению к X над главным расслоением. Теперь, если нам дано векторное поле Y над M (но не над главным расслоением), но у нас также есть аффинное соединение на главном расслоении, мы можем определить векторное поле X над главным расслоением таким образом, чтобы его горизонтальная компонента совпадала с Y, а его вертикальная компонента согласовывалась с аффинным соединением. Это и есть ковариантная производная Ли. Подробнее см. в определении аффинной формы.
Дериватив NijenhuisLie
Другое обобщение, предложенное Альбертом Нийенхьюсом, позволяет определить производную Ли дифференциальной формы вдоль любого сечения пучка Ωk(M, TM) дифференциальных форм со значениями в тангентном пучке. Если K ∈ Ωk(M, TM) и α — дифференциальная p-форма, то можно определить внутреннее произведение iKα формы K и α. Производная Нийенхьюса — Ли тогда является антикоммутатором внутреннего произведения и внешнего дифференцирования.
История
В 1931 году Владислав Слебодзинский ввёл новый дифференциальный оператор, позже названный Дэвидом ван Данцигом производной Ли, который может применяться к скалярам, векторам, тензорам и аффинным связям и оказался мощным инструментом в изучении групп автоморфизмов. Производные Ли общих геометрических объектов (то есть сечений естественных расслоений) изучались А. Нийенхуисом, Я. Таширо и К. Яно. На протяжении довольно долгого времени физики использовали производные Ли, не ссылаясь на работы математиков. В 1940 году Леон Розенфельд, а до него (в 1921 году) Вольфганг Паули, ввёл то, что он назвал «локальной вариацией» геометрического объекта, индуцированной бесконечно малым преобразованием координат, порождённым векторным полем. Легко доказать, что его .