Кіріспе

Геометриялық кеңістіктің бұрыштарды сақтайтын түрлендірулерін зерттеу. Математикада конформды геометрия — кеңістікте бұрыштарды сақтайтын (конформды) түрлендірулер жиынтығын зерттеу саласы. Нақты екі өлшемді кеңістікте конформды геометрия Риманн беттерінің геометриясымен толықтай сәйкес келеді. Екі өлшемнен жоғары кеңістікте конформды геометрия "жазық кеңістіктер" (мысалы, Евклид кеңістіктері немесе сфералар) конформды түрлендірулерін зерттеуге, немесе масштабқа дейін анықталатын метрикалар класымен сипатталатын Риманн немесе псевдо-Риманн көптүрліліктерінің конформды көптүрліліктерін зерттеуге қатысты болуы мүмкін. Жазық құрылымдарды зерттеу кейде Мёбиус геометриясы деп аталады, және ол Клейн геометриясының бір түрі болып табылады.

Мёбиус геометриясы

Мёбиус геометриясы — "шетсіздікте нүктесі қосылған Евклид кеңістігін" немесе "шетсіздікте нөлдік конусы қосылған Минковский (немесе псевдо-Евклид) кеңістігін" зерттейді. Яғни, қарастырылатын орта – бұл таныс кеңістіктің тығыздалуы; геометрия бұрыштарды сақтау салдарымен айналысады. Абстрактілі деңгейде Евклидтік және псевдо-Евклидтік кеңістіктер екі өлшемді жағдайдан басқа, көбінесе бірдей қарастырылуы мүмкін. Тығыздалған екі өлшемді Минковский жазықтығы кең конформальді симметрияны көрсетеді. Формальды түрде оның конформальді түрлендірулер тобы шексіз өлшемді. Ал, тығыздалған Евклид жазықтығының конформальді түрлендірулер тобы тек 6 өлшемді.

Жоғары өлшемдер

Екі өлшемде кеңістіктің конформды автоморфизмдер тобы өте үлкен (Лоренц қолтаңбасы жағдайындағыдай) немесе өзгермелі (Евклид қолтаңбасы жағдайындағыдай) болуы мүмкін. Екі өлшемді жағдайдың жоғары өлшемді жағдаймен салыстырғандағы тұрақсыздығының себебі, құрылымның шексіз автоморфизмдерінің асимптотикалық дамуының салыстырмалы түрде шектеусіздігіне байланысты аналитикалық фактіде жатыр. Лоренц қолтаңбасында еркіндік нақты мәнді функциялар жұбында, ал Евклид қолтаңбасында – бір ғана голоморфтық функцияда болады. Жоғары өлшемдерде шексіз симметриялардың асимптотикалық дамуы ең көп дегенде квадраттық полиномдар болып табылады. Атап айтқанда, олар шекті өлшемді Ли алгебрасын құрайды. Көптүрліліктің нүктелік шексіз конформальды симметрияларын, көптүрлілік белгілі бір модельдік конформды жазық кеңістік болған жағдайда ғана (әмбебап қаптамаларды және дискретті топтық бөлімдерді ескере отырып) интегралдауға болады. Конформальды геометрияның жалпы теориясы Евклидтік және псевдо-Евклидтік қолтаңбалар үшін ұқсас, бірақ кейбір айырмашылықтары бар. Екі жағдайда да конформды жазық геометрияның модельдік кеңістігін енгізудің әртүрлі тәсілдері бар. Контекстен басқаша түсінік болмаса, бұл мақалада Евклидтік конформды геометрия қарастырылады, бірақ ол псевдо-Евклидтік жағдайға да қатысты екені түсініледі.

Инверсивті модель

Конформальды геометрияның инверсивті моделі, сфераларда инверсия жасау арқылы Евклид кеңістігінде туындайтын жергілікті түрлендірулер тобынан құралады. Лиувилл теоремасына сәйкес, кез келген бұрыш сақтайтын жергілікті (конформальды) түрлендіру осы түрде болады. Осы көзқарас бойынша, жазық конформальды кеңістіктің трансформациялық қасиеттері инверсивті геометрияның қасиеттерімен сипатталады.

Жобалау моделі

Проективті модель конформальды сфераны проективті кеңістіктегі белгілі бір квадрикпен анықтайды. Rn+2-де q лоренциандық квадраттық пішіні былай анықталсын:

Проективті кеңістікте P(Rn+2), S 1=q = 0 локусы болсын. Содан кейін S - конформальды геометрияның проективті (немесе Мёбиус) моделі. S-дегі конформальды түрлендіру – P(Rn+2) проективті кеңістігінің квадрикті инвариант қалдыратын проективті сызықтық түрлендіруі. Байланысты құрылымда S квадрикасы Минковски кеңістігіндегі Rn+1,1 нөлдік конустың шексіз аспан сферасы ретінде қарастырылады, ол жоғарыда көрсетілгендей q квадраттық формасымен жабдықталған. Нөлдік конус мына формуламен анықталады:

Бұл проективті квадрик S үстіндегі аффиндік конус. N+ нөлдік конустың болашақ бөлігі болсын (нөлдік нүктесі алынып тасталған). Содан кейін таутологиялық проекция Rn+1,1 \ {0} → P(Rn+2) проекцияға шектеледі N+ → S. Бұл N+-ге S үстінде сызықтық будама құрылымын береді. S-дегі конформальды түрлендірулер Rn+1,1-дің ортохронды Лоренц түрлендірулерімен шақырылады, себебі олар болашақ нөлдік конусты сақтайтын біртекті сызықтық түрлендірулер.

Клейндік модель

Евклид қолтаңбасындағы жалпақ конформальды геометрия жағдайын қарастырайық. n-өлшемді модель – (n + 2)-өлшемді Лоренц кеңістігі Rn+1,1 аспан сферасы. Мұнда модель – Клейн геометриясы: G/H біртекті кеңістік, мұнда G = SO(n + 1, 1) (n + 2)-өлшемді Лоренц кеңістігінде әрекет етеді, ал H – жарық конусындағы бекітілген нөлдік сәуленің изотропия тобы. Осылайша, конформды жазық модельдер – инверсивті геометрия кеңістіктері. (p, q) метрикалық қолтаңбасы бар псевдо-Евклид геометриясы үшін модельдік жазық геометрия да ұқсас түрде O(p + 1, q + 1)/H біртекті кеңістігі ретінде анықталады, мұнда H қайтадан нөлдік түзудің тұрақтандырғышы ретінде алынады. Евклидтік және псевдо-Евклидтік модельдік кеңістіктердің де компактты екенін ескеріңіз.