Введение

Изучение преобразований, сохраняющих углы геометрического пространства. В математике конформная геометрия — это изучение множества преобразований, сохраняющих углы (конформных) в пространстве. В реальном двумерном пространстве конформная геометрия точно соответствует геометрии римановых поверхностей. В пространстве размерности выше двух конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований так называемых «плоских пространств» (таких как евклидово пространство или сферы), либо к изучению конформных многообразий — римановых или псевдоримановых многообразий с классом метрик, заданных с точностью до масштаба. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мебиуса и относят к типу геометрий Клейна.

Геометрия Мёбиуса

Геометрия Мёбиуса — это изучение "евклидова пространства с добавленной точкой на бесконечности" или "пространства Минковского (или псевдоевклидова) с добавленным нулевым конусом на бесконечности". Иными словами, рассматривается компактификация привычного пространства, а геометрия изучает следствия сохранения углов. На абстрактном уровне евклидовы и псевдоевклидовы пространства можно рассматривать практически одинаково, за исключением случая двух измерений. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского обладает развитой конформной симметрией. Формально, её группа конформных преобразований бесконечномерна. В отличие от неё, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости имеет лишь 6 измерений.

Более высокие размеры

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть весьма большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Относительная нежесткость двумерного случая по сравнению с более высокими размерностями обусловлена аналитическим фактом, что асимптотические разложения бесконечно малых автоморфизмов структуры мало ограничены. В лоренцевой сигнатуре свобода определяется парой функций вещественной переменной. В евклидовой сигнатуре свобода определяется одной голоморфной функцией. В случае более высоких размерностей асимптотические разложения бесконечно малых симметрий являются многочленами не выше второй степени. В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли. Точечные бесконечно малые конформные симметрии многообразия могут быть интегрированы точно тогда и только тогда, когда многообразие является определенной моделью конформно плоского пространства (с учетом универсальных накрытий и факторгрупп по дискретным группам). Общая теория конформной геометрии аналогична, хотя и имеет некоторые отличия, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатур. В любом случае существует несколько способов введения модельного пространства конформно плоской геометрии. Если из контекста не следует иное, в данной статье рассматривается случай евклидовой конформной геометрии, при этом предполагается, что она применима, mutatis mutandis, и к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсивная модель

Инверсионная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований в евклидовом пространстве En, порожденных инверсией относительно сфер. Согласно теореме Лиувиля, любое локальное (конформное) преобразование, сохраняющее углы, имеет такой вид. С этой точки зрения, свойства преобразований плоского конформного пространства являются свойствами инверсивной геометрии.

Проективная модель

Проективная модель отождествляет конформную сферу с определенным квадриком в проективном пространстве. Пусть q обозначает лоренцианскую квадратичную форму на Rn+2, определяемую как

В проективном пространстве P(Rn+2) пусть S – геометрическое место точек, удовлетворяющих условию q = 0. Тогда S является проективной (или преобразования Мёбиуса) моделью конформной геометрии. Конформное преобразование на S – это проективное линейное преобразование P(Rn+2), сохраняющее квадрику. В связанной конструкции квадрика S рассматривается как небесная сфера в бесконечности нулевого конуса в пространстве Минковского Rn+1,1, снабженного квадратичной формой q, как указано выше. Нулевой конус определяется как

Это аффинный конус над проективной квадратикой S. Пусть N+ – будущая часть нулевого конуса (с исключением начала координат). Тогда тавтологическая проекция Rn+1,1 \ {0} → P(Rn+2) ограничивается проекцией N+ → S. Это наделяет N+ структурой расслоения прямых над S. Конформные преобразования на S индуцируются ортохронными преобразованиями Лоренца в Rn+1,1, поскольку они являются однородными линейными преобразованиями, сохраняющими будущий нулевой конус.

Модель Клейнина

Рассмотрим сначала случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. N-мерная модель представляет собой небесную сферу (n+2)-мерного пространства Лоренца Rn+1,1. Здесь модель является геометрией Клейна – однородным пространством G/H, где G = SO(n+1,1) действует на (n+2)-мерное пространство Лоренца Rn+1,1, а H – группа изотропии фиксированного нулевого луча в световом конусе. Таким образом, конформно плоские модели являются пространствами инверсивной геометрии. Для псевдоевклидовой метрической сигнатуры (p, q) плоская модель определяется аналогично как однородное пространство O(p+1, q+1)/H, где H снова принимается за стабилизатор нулевой прямой. Следует отметить, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельные пространства компактны.