Кіріспе
Көшірілімдер арқылы формалды сипаттамаға ие болатын топ. Математикада Коксетер тобы – бұл Х.С.М. Коксетер есімімен аталатын, көшірілімдер (немесе калейдоскоптық айналар) арқылы формалды сипаттамаға ие болатын абстрактілі топ. Шындығында, шекті Коксетер топтары – дәл шекті Евклидтік көшірілім топтары; мысалы, кез келген дұрыс көпбұрыштың симметрия тобы – шекті Коксетер тобы болып табылады. Дегенмен, барлық Коксетер топтары шекті емес, және олардың барлығын симметриялар мен Евклидтік көшірілімдер арқылы сипаттау мүмкін емес. Коксетер топтары 1934 жылы көшірілім топтарының абстракциясы ретінде енгізілді, ал шекті Коксетер топтары 1935 жылы жіктелді. Коксетер топтары математиканың көптеген салаларында қолданылады. Коксетер топтарының шекті мысалдарына дұрыс политоптардың симметрия топтары және қарапайым Ли алгебраларының Вейль топтары жатады. Коксетердің шексіз топтарына Евклид жазықтығы мен гиперболалық жазықтықтың дұрыс мозаикаларына сәйкес келетін үшбұрыш топтары, сондай-ақ шексіз өлшемді Кац-Муди алгебраларының Вейль топтары жатады.
In mathematics, a Coxeter group, named after H. S. M. Coxeter, is an abstract group that admits a formal description in terms of reflections (or kaleidoscopic mirrors). Indeed, the finite Coxeter groups are precisely the finite Euclidean reflection groups; for example, the symmetry group of each regular polyhedron is a finite Coxeter group. However, not all Coxeter groups are finite, and not all can be described in terms of symmetries and Euclidean reflections. Coxeter groups were introduced in 1934 as abstractions of reflection groups, and finite Coxeter groups were classified in 1935. Coxeter groups find applications in many areas of mathematics. Examples of finite Coxeter groups include the symmetry groups of regular polytopes, and the Weyl groups of simple Lie algebras. Examples of infinite Coxeter groups include the triangle groups corresponding to regular tessellations of the Euclidean plane and the hyperbolic plane, and the Weyl groups of infinite dimensional Kac–Moody algebras.
Мысал
1-ден n-ге дейінгі төбелері бір қатарға орналастырылған және әр төбесі белгісіз қабырға арқылы тікелей көршілерімен байланысқан An графигі, Sn+1 симметриялық тобының Коксетер диаграммасы болып табылады; генераторлар (1 2), (2 3), ..., (n n+1) транспозицияларына сәйкес келеді. Кез келген екі қатарласпаған транспозициялар коммутациялайды, ал екі қатарласпаған транспозицияны көбейту 3 цикл береді: (k k+1)(k+1 k+2) = (k k+2 k+1). Сондықтан Sn+1, An Коксетер диаграммасы бар Коксетер тобының фактор-тобы болып табылады. Қосымша аргументтер осы факторлау картасы изоморфизм екенін көрсетеді.
Қайта қарастыру топтарының абстракциясы
Коксетер топтары – рефлексиялық топтардың абстракциясы болып табылады. Коксетер топтары абстрактіл топтар, яғни олар презентация арқылы беріледі. Ал рефлексиялық топтар нақты, себебі оның әрбір элементі белгілі бір евклидтік кеңістіктегі сызықтық гипержазылымдарға қатысты шекті сандағы геометриялық рефлексиялардың композициясы болып табылады. Техникалық тұрғыдан алғанда, рефлексиялық топ – 1-детерминанты бар ортогоналды матрицалар арқылы жаратылған сызықтық топтың (немесе түрлі жалпыламалардың) кіші тобы. Коксетер тобының әрбір генераторы 2-ретті болады, бұл рефлексияны екі рет орындау сәйкестікке тең екенін абстракциялайды. Әрбір қатынас , екі гипержазылымның арасындағы бұрышқа сәйкес келеді, осы гипержазылымдарға қатысты екі рефлексияның композициясы бұрылысқа тең, оның реті k-ға тең.
Осылайша, кез келген рефлексиялық топты Коксетер тобы ретінде ұсынуға болады. Динкін диаграммаларында қосымша шектеу бар: рұқсат етілген жиектік белгілер тек 2, 3, 4 және 6 болып табылады, бұл жоғарыда көрсетілгенге сәйкес келеді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл кристаллографиялық шектеу теоремасына және кеңістікті толтырмайтын немесе жазықтықты мозаикаламаушы политоптарға сәйкес келеді. Мысалы, додекаэдр (қос icosahedron) кеңістікті толтырмайды; 120 жақты (қос 600 жақты) кеңістікті толтырмайды; p қабырғалы полигон үшбұрыш, төртбұрыш және алтыбұрышты мозаикалар емес, басқа жағдайда жазықтықты мозаикаламайды. Сонымен қатар, (бағытталған) Динкін диаграммалары Bn және Cn бірдей Вейл тобын (сонымен қатар Коксетер тобын) тудырады, өйткені олар бағытталған графтар ретінде ерекшеленеді, бірақ бағытталмаған графтар ретінде сәйкес келеді. Бағыт түбірлік жүйелер үшін маңызды, бірақ Вейл тобы үшін емес; бұл гиперкуб пен өзара қиылыс политопының әртүрлі тұрақты политоптарға сәйкес келетінін, бірақ бірдей симметрия тобына ие екенін көрсетеді.
Түзгіш политоптардың симметриялық топтары
Әрбір тұрақты политоптың симметрия тобы шекті Коксетер тобы болып табылады. Екеулік политоптардың симметрия тобы бірдей екеніне назар аударыңыз. Барлық өлшемдердегі тұрақты политоптардың үш қатары бар. Тұрақты n-симплекстің симметрия тобы – Sn+1 симметриялық тобы, сондай-ақ An типіндегі Коксетер тобы деп аталады. n-куб пен оның екеулігі, n-қиылыс политопының симметрия тобы Bn болып табылады және гипер октаэдрлік топ ретінде белгілі. Екінші, үшінші және төртінші өлшемдердегі ерекше тұрақты политоптар басқа Коксетер топтарына сәйкес келеді. Екі өлшемде диэдрлік топтар, яғни тұрақты көпбұрыштардың симметриялық топтары, p ≥ 3 болғанда I2(p) қатарын құрайды. Үш өлшемде тұрақты додекаэдр мен оның екеулігі, тұрақты икосаэдрдің симметрия тобы H3 болып табылады, ол толық икосаэдрлік топ ретінде белгілі. Төрт өлшемде үш ерекше тұрақты политоп бар: 24 ұяшықты, 120 ұяшықты және 600 ұяшықты. Біріншісі F4 симметрия тобына ие, ал қалған екеуі екеулік және H4 симметрия тобына ие. Dn, E6, E7 және E8 типіндегі Коксетер топтары белгілі бір жартылай тұрақты политоптардың симметрия топтары болып табылады.
Гиперболалық коксетер топтары
Гиперболалық кеңістікте рефлексиялық топтарды сипаттайтын шексіз көп гиперболалық Коксетер топтары бар, олардың ішінде гиперболалық үшбұрыш топтары ерекше аталады.
Кемелденбейтін Коксетер топтары
Коксетер тобы, егер оның Коксетер-Динкин диаграммасы байланысты болса, толық емес деп аталады. Кез келген Коксетер тобы – оның Коксетер-Динкин диаграммасының компоненттеріне сәйкес келетін толық емес топтардың тікелей көбейтіндісі болып табылады.
Ішінара тапсырыстар
Қайталану генераторларын таңдау Коксетер тобындағы ұзындық функциясын ℓ тудырады, атап айтқанда, топ элементін өрнектеу үшін қажетті генераторларды қолданудың ең аз саны; бұл Кейли графигіндегі сөз метрикасындағы ұзындыққа дәл келеді. v үшін ℓ(v) генераторларды қолданатын өрнек – қысқартылған сөз. Мысалы, S3-дегі (13) пермутациясының екі қысқартылған сөзі бар: (12)(23)(12) және (23)(12)(23). Функция симметриялық топтың белгісін жалпылайтын бір картаны анықтайды. Қысқартылған сөздерді пайдаланып, Коксетер тобындағы үш ішінара тәртіпті анықтауға болады: (оң) әлсіз тәртіп, абсолюттік тәртіп және Брухат тәртібі (Франсуа Брухаттың атымен аталған). v элементі Брухат тәртібі бойынша u элементінен жоғары тұрады, егер v үшін қысқартылған сөздің (немесе, баламалы түрде, кез келген) u үшін қысқартылған сөзді қосалқы тізбек ретінде қамтитын болса, онда кейбір әріптер (кез келген орында) түсіріледі. Әлсіз тәртіпте v ≥ u, егер v үшін қысқартылған сөз u үшін қысқартылған сөзді бастапқы кесінді ретінде қамтитын болса. Шындығында, сөз ұзындығы осыны санатталған жиынға айналдырады. Осы тәртіптерге сәйкес келетін Хассе диаграммалары зерттеу нысандары болып табылады және генераторлар анықтаған Кейли графигімен байланысты. Абсолюттік тәртіп әлсіз тәртіпке ұқсас анықталады, бірақ Коксетер генераторларының барлық конъюгаттарынан тұратын генерациялау жиынтығы/әліпбиімен. Мысалы, S3-дегі (1 2 3) пермутациясының тек бір ғана қысқартылған сөзі бар, (12)(23), сондықтан Брухат тәртібі бойынша (12) және (23) элементтерін қамтиды, бірақ әлсіз тәртіп бойынша тек (12) элементін ғана қамтиды.
Гомология
Коксетер тобы шекті сандағы 2-ретті элементтермен туындағандықтан, оның абелиандалуы элементарлық абелиандық 2-топ болып табылады, яғни ол циклдік топтың бірнеше көшірмелерінің тікелей қосындысына изоморфты. Бұл мәнді Шур көбейтушісінің бірінші гомология тобы арқылы да айтуға болады. Шур көбейтушісі, -тің екінші гомология тобына тең, шекті шағылыс топтары үшін еңбекте, ал аффинді шағылыс топтары үшін еңбекте есептелді, ал бірыңғай есептеме еңбекте берілді. Барлық жағдайларда Шур көбейтушісі де элементарлық абелиандық 2-топ болып табылады. Кез келген шексіз отбасы үшін, шекті немесе аффинді Вейл топтарының рангі шексізге ұмтылғанда тұрақтанады.
The Schur multiplier , equal to the second homology group of , was computed in for finite reflection groups and in for affine reflection groups, with a more unified account given in In all cases, the Schur multiplier is also an elementary abelian 2 group. For each infinite family of finite or affine Weyl groups, the rank of stabilizes as goes to infinity.