Кіріспе
Математикалық жаттығу қарапайым тілмен берілген.
Ғылыми білім беруде, "сөзбен берілген есеп" – математикалық жаттығу (оқулықта, жаттығу жұмысында немесе емтиханда кездесетіндей), онда есеп туралы маңызды ақпарат математикалық жазу тәсілінен гөрі қарапайым тілмен баяндалады. Көптеген "сөзбен берілген есептер" әңгіме түрінде келгендіктен, оларды кейде "әңгіме есептері" деп те атайды, және қолданылатын мамандық тілінің деңгейі әртүрлі болуы мүмкін.
Мақсаты және дағдыларды дамыту
Сөздік проблемалар математикалық модельдеу сұрақтарын қамтиды, онда белгілі бір жүйе туралы деректер мен ақпарат беріледі және студенттен модель құру талап етіледі. Мысалы: Джейнде 5 доллар болды, содан кейін 2 доллар жұмсады. Қазір оның қанша ақшасы бар? Радиусы 2 м болатын цилиндр тәрізді ыдыстағы су 3 см/с жылдамдықпен көтеріледі. Су көлемінің өсу жылдамдығы қандай? Студенттердің даму деңгейі әртүрлі болғандықтан, сөздік проблемалардың оларға тиімділігі де әртүрлі болады. Бірінші мысал бастауыш сынып оқушыларына қолжетімді және алу түсінігін қалыптастыруға пайдаланылуы мүмкін. Екінші мысал геометриялық білімді, атап айтқанда, радиусы және биіктігі белгілі цилиндрдің көлемін есептеу формуласын қолдану арқылы ғана шешіледі және «жылдамдық» ұғымын түсінуді қажет етеді. Студенттердің сөздік проблемаларды шешу дағдыларын арттыру үшін көптеген қабілеттерді дамыту қажет. Бұл қабілеттердің екі негізгі саласы – танымдық және оған қатысты академиялық дағдылар. Танымдық салаға сөзсіз ойлау және ақпаратты өңдеу жылдамдығы сияқты қабілеттер кіреді. Бұл екі қабілет ойлаудың көптеген басқа салаларын нығайтуға көмектеседі. Басқа танымдық қабілеттерге тілді түсіну, қысқа мерзімдік жад және назар аудару жатады. Бұл қабілеттер тек сөздік проблемаларды шешу үшін ғана емес, сонымен қатар математикалық мәселелерді шешу қабілетіне де әсер етеді. Мысалы, математикалық сөздік проблеманы шешетін адам тілді (ағылшын, испан және т.б.) жеткілікті меңгермесе, проблеманың не туралы екенін түсінбеуі мүмкін. 1-мысалда (жоғарыда), егер «жұмсады» сөзінің мағынасын түсінбесе, проблеманың мақсатын дұрыс түсінбеуі мүмкін. Бұл танымдық қабілеттер математикалық ұғымдарды дамытуға қалай көмектесетінін көрсетеді. Сөздік проблемаларды шешу үшін қажетті математикалық дағдылардың кейбірі – математикалық терминологияны білу және мәтінді түсіну. Бұл қайтадан жоғарыдағы мысалмен байланысты. «Жұмсады» сөзін және алу ұғымын түсінгеннен кейін, бұл сөздік проблема осы екеуін байланыстырады деген қорытынды жасауға болады. Осыдан сөздік проблемалардың дамудың әр деңгейінде пайдалы екені шығады, даму және академиялық кезеңдерге қарамастан. Осы және алдыңғы бөлімде талқыланған мәселелер зерттеу нәтижелерінің оқытушылардың білімін қалай арттыруға болатынын қарастыруға шақырады. Біріншісі, оқытушы сөздік проблемалардың шешім құрылымын түсінгенде, оқушылардың түсіну деңгейін жақсырақ бағалай алады. Зерттеулер көрсеткендей, көп жағдайда студенттер математикалық процедураларды орындаумен қиындыққа тап болмайды. Түсіністік алшақтығы математикалық ұғымдар мен нақты проблемалардың мағынасы арасындағы байланысты толық түсінбеуден туындайды. Оқытушы оқушының шешім процесін қарастыра отырып, әр қадамды түсіну арқылы олардың білім алу қажеттіліктерін қалай қанағаттандыруға болатынын анықтай алады. Тағы бір маңызды мәселе – бірнеше шешім жолдарын оқыту және насихаттау. Процедуралық дағдылар көбінесе ұғымдық және қолданылатын түсініктің жетіспеуімен оқытылады. Бұл студенттердің математикалық түсінігі мен нақты проблемаларды шешу қабілеттері арасында алшақтық тудырады. Оқытушылар осы білім алу түрін қалай дайындауға және оны қалай дамытуға болатыны туралы мәселелер бұл жерде талқыланбайды.
Jane had $5.00, then spent $2.00. How much does she have now? In a cylindrical barrel with radius 2 m, the water is rising at a rate of 3 cm/s. What is the rate of increase of the volume of water? As the developmental skills of students across grade levels varies, the relevance to students and application of word problems also varies. The first example is accessible to primary school students, and may be used to teach the concept of subtraction. The second example can only be solved using geometric knowledge, specifically that of the formula for the volume of a cylinder with a given radius and height, and requires an understanding of the concept of "rate". There are numerous skills that can be developed to increase a students' understanding and fluency in solving word problems. The two major stems of these skills are cognitive skills and related academic skills. The cognitive domain consists of skills such as nonverbal reasoning and processing speed. Both of these skills work to strengthen numerous other fields of thought. Other cognitive skills include language comprehension, working memory, and attention. While these are not solely for the purpose of solving word problems, each one of them affects one's ability to solve such mathematical problems. For instance, if the one solving the math word problem has a limited understanding of the language (English, Spanish, etc.) they are more likely to not understand what the problem is even asking. In Example 1 (above), if one does not comprehend the definition of the word "spent," they will misunderstand the entire purpose of the word problem. This alludes to how the cognitive skills lead to the development of the mathematical concepts. Some of the related mathematical skills necessary for solving word problems are mathematical vocabulary and reading comprehension. This can again be connected to the example above. With an understanding of the word "spent" and the concept of subtraction, it can be deduced that this word problem is relating the two. This leads to the conclusion that word problems are beneficial at each level of development, despite the fact that these domains will vary across developmental and academic stages. The discussion in this section and the previous one urge the examination of how these research findings can affect teacher education. One of the first ways is that when a teacher understands the solution structure of word problems, they are likely to have an increased understanding of their students' comprehension levels. Each of these research studies supported the finding that, in many cases, students do not often struggle with executing the mathematical procedures. Rather, the comprehension gap comes from not having a firm understanding of the connections between the math concepts and the semantics of the realistic problems. As a teacher examines a student's solution process, understanding each of the steps will help them understand how to best accommodate their specific learning needs. Another thing to address is the importance of teaching and promoting multiple solution processes. Procedural fluency is often times taught without an emphasis on conceptual and applicable comprehension. This leaves students with a gap between their mathematical understanding and their realistic problem solving skills. The ways in which teachers can best prepare for and promote this type of learning will not be discussed here.
Тарих және мәдениет
Математикалық идеяларды символдық түрде беруге мүмкіндік беретін қазіргі заманғы жазу Еуропада он алтыншы ғасырдан бастап дамыды. Оған дейін барлық математикалық мәселелер мен шешімдер сөздермен жазылатын; мәселе неғұрлым күрделі болса, ауызша түсіндірме де соғұрлым қиын және ұзақ болар еді. Сөздік мәселелердің мысалдары Вавилон дәуіріне дейін барады. Квадрат түбірді табу сияқты процедуралық мәтіндерден басқа, көне вавилондық мәселелердің көпшілігі күнделікті заттар мен іс-әрекеттерді өлшеу тілінде берілген. Оқушылар қазылған каналдардың ұзындығын, тастардың салмағын, сынған қамыстардың ұзындығын, егістіктердің ауданын, құрылыста қолданылған кірпіштердің санын және т.б. анықтау керек еді. Ежелгі Египет математикасында да сөздік мәселелердің мысалдары бар. Ринд математикалық папирусында былай делінген: жеті үй бар; әр үйде жеті мысық бар; әр мысық жеті тышқанды өлтіреді; әр тышқан жеті арпа дәнін жейді; әр дән жеті гектар өнім береді. Барлық санамаланған нәрселердің қосындысы қандай? Көбінесе шатастыратын және кездейсоқ сипаттағы сөздік мәселелер қазіргі заманда сатираның нысаны болды. Гюстав Флобер осы түсініксіз мәселені жазды, ол қазір «Капитанның жасы» деп белгілі: Геометрия мен тригонометрияны оқып жатқандықтан, сізге бір қиын мәселе беремін. Кеме мұхитпен жүзеді. Ол Бостоннан мақтамен шықты. Оның сыйымдылығы 200 тонна. Ол Ле-Хаврға бағытталған. Басты мачтасы сынған, кабиналық палубада, бортында 12 жолаушы бар, жел шығыс-солтүстік-шығыстан соғып тұр, сағат үштен кейін он бес минутты көрсетіп тұр. Май айы. Капитанның жасы нешеде? «Симпсондар» мультсериалында да сөздік мәселелер сатираланды, онда ұзақ сөздік мәселе («Сағатына 60 миль жылдамдықпен Санта-Феден 520 миль қашықтықтағы Финикске бағытталған экспресс пойыз. Сол уақытта сағатына 30 миль жылдамдықпен 40 жолаушыны тасымалдайтын пойыз Финикстен Санта-Феге келеді») мектеп оқушысының пойызда екенін қиялдауымен аяқталады. «Жеңіс сызықтары» ойын-шоуының британдық және американдық нұсқаларында да сөздік мәселелер кездеседі. Бірақ мәселелер осылай қойылған, олар тікелей сандық ақпаратты көрсетпейді, соның арқасында қатысушылар сұрақтардың сандық бөліктерін анықтап, дұрыс жауап бере алады.