Введение
Группа, допускающая формальное описание в терминах отражений.
В математике группа Коксетера, названная в честь Х. С. М. Коксетера, — это абстрактная группа, допускающая формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал). Фактически, конечные группы Коксетера являются точно конечными группами евклидовых отражений; например, группа симметрии каждого правильного многогранника является конечной группой Коксетера. Однако не все группы Коксетера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Коксетера были введены в 1934 году как абстракции групп отражений, а конечные группы Коксетера были классифицированы в 1935 году. Группы Коксетера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Коксетера включают группы симметрии правильных политопов и группы Вейля простых алгебр Ли. Примеры бесконечных групп Коксетера включают треугольные группы, соответствующие правильным разбиениям евклидовой плоскости и гиперболической плоскости, и группы Вейля алгебр Каца — Муди бесконечных размерностей.
In mathematics, a Coxeter group, named after H. S. M. Coxeter, is an abstract group that admits a formal description in terms of reflections (or kaleidoscopic mirrors). Indeed, the finite Coxeter groups are precisely the finite Euclidean reflection groups; for example, the symmetry group of each regular polyhedron is a finite Coxeter group. However, not all Coxeter groups are finite, and not all can be described in terms of symmetries and Euclidean reflections. Coxeter groups were introduced in 1934 as abstractions of reflection groups, and finite Coxeter groups were classified in 1935. Coxeter groups find applications in many areas of mathematics. Examples of finite Coxeter groups include the symmetry groups of regular polytopes, and the Weyl groups of simple Lie algebras. Examples of infinite Coxeter groups include the triangle groups corresponding to regular tessellations of the Euclidean plane and the hyperbolic plane, and the Weyl groups of infinite dimensional Kac–Moody algebras.
Пример
Граф An, в котором вершины от 1 до n расположены в ряд, и каждая вершина соединена немаркированным ребром со своими непосредственными соседями, является диаграммой Коксетера симметричной группы Sn+1; генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3), ..., (n n+1). Любые две не соседние транспозиции коммутируют, а умножение двух соседних транспозиций дает 3-цикл: (k k+1) (k+1 k+2) = (k k+2 k+1). Следовательно, Sn+1 является фактор-группой группы Коксетера, имеющей диаграмму Коксетера An. Дальнейшие рассуждения показывают, что это факторное отображение является изоморфизмом.
Абстракция групп отражения
Коксетерские группы — это абстракция отражающих групп. Коксетерские группы — это абстрактные группы в том смысле, что они задаются посредством представления. С другой стороны, группы отражений являются конкретными, в том смысле, что каждый их элемент представляет собой композицию конечного числа геометрических отражений относительно линейных гиперплоскостей в некотором евклидовом пространстве. Технически, группа отражений — это подгруппа линейной группы (или различных обобщений), порожденная ортогональными матрицами с детерминантом 1. Каждый образующий группы Коксетера имеет порядок 2, что абстрагирует геометрический факт, что двойное применение отражения является тождественным преобразованием. Каждое соотношение вида , соответствует геометрическому факту, что при пересечении двух гиперплоскостей под углом , композиция двух отражений относительно этих гиперплоскостей является вращением на , которое имеет порядок k. Таким образом, любую группу отражений можно представить как группу Коксетера. Диаграммы Динкина имеют дополнительное ограничение, согласно которому единственными допустимыми метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, что и дает вышеуказанное. Геометрически это соответствует теореме о кристаллографических ограничениях, а также тому факту, что исключенные политопы не заполняют пространство или не мостят плоскость – например, додекаэдр (и, двойственно, икосаэдр) не заполняет пространство; 120-ячейник (и, двойственно, 600-ячейник) не заполняет пространство; p-угольник не мостит плоскость, за исключением или (соответственно, треугольное, квадратное и шестиугольное мощение). Следует также отметить, что (ориентированные) диаграммы Динкина Bn и Cn порождают одну и ту же группу Вейля (а следовательно, и группу Коксетера), поскольку они различаются как ориентированные графы, но совпадают как неориентированные графы – ориентация важна для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует тому, что гиперкуб и перекрестный политоп являются различными правильными политопами, но имеют одну и ту же группу симметрии.
In this way, every reflection group may be presented as a Coxeter group. Dynkin diagrams have the additional restriction that the only permitted edge labels are 2, 3, 4, and 6, which yields the above. Geometrically, this corresponds to the crystallographic restriction theorem, and the fact that excluded polytopes do not fill space or tile the plane – for the dodecahedron (dually, icosahedron) does not fill space; for the 120 cell (dually, 600 cell) does not fill space; for a p gon does not tile the plane except for or (the triangular, square, and hexagonal tilings, respectively). Note further that the (directed) Dynkin diagrams Bn and Cn give rise to the same Weyl group (hence Coxeter group), because they differ as directed graphs, but agree as undirected graphs – direction matters for root systems but not for the Weyl group; this corresponds to the hypercube and cross polytope being different regular polytopes but having the same symmetry group.
Группы симметрии регулярных политопов
Группа симметрии каждого регулярного политопа является конечной группой Коксетера. Следует отметить, что двойственные политопы имеют одинаковую группу симметрии. Существуют три серии регулярных политопов во всех измерениях. Группа симметрии регулярного n-симплекса — это симметрическая группа Sn+1, также известная как группа Коксетера типа An. Группа симметрии n-куба и его двойственного политопа, n-перекрестного политопа, — Bn, и она известна как гипероктаэдрическая группа. Исключительные регулярные политопы в двух, трех и четырех измерениях соответствуют другим группам Коксетера. В двух измерениях диэдрические группы, являющиеся группами симметрии правильных многоугольников, образуют серию I2(p), где p ≥ 3. В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойственного политопа, правильного икосаэдра, — H3, известная как полная икосаэдрическая группа. В четырех измерениях существуют три исключительных регулярных политопа: 24-ячейник, 120-ячейник и 600-ячейник. Первый имеет группу симметрии F4, а два других являются двойственными и имеют группу симметрии H4. Группы Коксетера типов Dn, E6, E7 и E8 являются группами симметрии некоторых полуправильных политопов.
Гиперболические коксетровые группы
Существует бесконечно много гиперболических групп Коксетера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве, в том числе гиперболические треугольные группы.
Нередуцируемые группы коксетера
Группу Коксетера называют неразложимой, если её диаграмма Коксетера — Динкина связна. Каждая группа Коксетера является прямым произведением неразложимых групп, соответствующих компонентам её диаграммы Коксетера — Динкина.
Частичные заказы
Выбор генераторов отражений порождает функцию длины ℓ на группе Коксетера, а именно минимальное число использований генераторов, необходимых для представления элемента группы; это точно длина в метрике слов в графе Кейли. Выражение для *v*, использующее ℓ(*v*) генераторов, является сокращённым словом. Например, перестановка (13) в S3 имеет два сокращённых слова: (12)(23)(12) и (23)(12)(23). Функция определяет отображение, обобщающее знаковую функцию для симметрической группы. Используя сокращённые слова, можно определить три частичных порядка на группе Коксетера: (правый) слабый порядок, абсолютный порядок и порядок Бруа (названный в честь Франсуа Бруа). Элемент *v* превышает элемент *u* в порядке Бруата, если некоторое (или, эквивалентно, любое) сокращённое слово для *v* содержит сокращённое слово для *u* в качестве подстроки, при этом некоторые буквы (в любом положении) могут быть опущены. В слабом порядке *v* ≥ *u*, если некоторое сокращённое слово для *v* содержит сокращённое слово для *u* в качестве начального сегмента. Фактически, длина слова делает это градуированным частично упорядоченным множеством. Диаграммы Хассе, соответствующие этим порядкам, являются объектами изучения и связаны с графом Кейли, определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с генерирующим множеством/алфавитом, состоящим из всех сопряжённых коксетеровских генераторов. Например, перестановка (1 2 3) в S3 имеет только одно сокращённое слово, (12)(23), поэтому покрывает (12) и (23) в порядке Бруата, но покрывает только (12) в слабом порядке.
Гомология
Поскольку группа Коксетера порождается конечным числом элементов порядка 2, её абелинизация является элементарной абелевой 2-группой, то есть изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы. Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологий. Множитель Шура, равный второй группе гомологий, был вычислен в для конечных групп отражений и в для аффинных групп отражений, а более полное изложение представлено в. Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется при стремлении к бесконечности.
The Schur multiplier , equal to the second homology group of , was computed in for finite reflection groups and in for affine reflection groups, with a more unified account given in In all cases, the Schur multiplier is also an elementary abelian 2 group. For each infinite family of finite or affine Weyl groups, the rank of stabilizes as goes to infinity.