Введение

Присвоение векторных полей многообразиям. В математике тангентное пространство многообразия является обобщением понятия тангентной прямой к кривой в двумерном пространстве и тангентной плоскости к поверхности в трехмерном пространстве на случай более высоких размерностей. В контексте физики тангентное пространство к многообразию в данной точке можно рассматривать как пространство всех возможных скоростей частицы, движущейся по этому многообразию.

Неофициальное описание

В дифференциальной геометрии к каждой точке дифференцируемого многообразия можно присоединить тангентное пространство — реальное векторное пространство, которое интуитивно содержит все возможные направления, в которых можно касательно пройти через данную точку. Элементы тангентного пространства в точке называются тангентными векторами в этой точке. Это обобщение понятия вектора, заданного относительно начальной точки, в евклидовом пространстве. Размерность тангентного пространства в каждой точке связного многообразия равна размерности самого многообразия. Например, если данное многообразие является сферой, то можно представить тангентное пространство в точке как плоскость, касающуюся сферы в этой точке и перпендикулярную радиусу сферы, проходящему через эту точку. В более общем случае, если данное многообразие рассматривается как вложенное подмногообразие в евклидовом пространстве, то тангентное пространство можно представить в буквальном смысле. Это был традиционный подход к определению параллельного переноса. Многие авторы в дифференциальной геометрии и общей теории относительности используют его. Более строго, это определяет аффинное тангентное пространство, которое отличается от пространства тангентных векторов, используемого в современной терминологии. В алгебраической геометрии, напротив, существует внутреннее определение тангентного пространства в точке алгебраического многообразия, которое дает векторное пространство с размерностью не меньше размерности самого многообразия. Точки, в которых размерность тангентного пространства равна размерности многообразия, называются несингулярными точками; остальные называются сингулярными точками. Например, кривая, пересекающая сама себя, не имеет единственной касательной в этой точке. Сингулярные точки — это те, в которых "проверка на то, чтобы быть многообразием" не проходит. См. касательное пространство Зариски. После введения тангентных пространств многообразия можно определить векторные поля, которые являются абстракцией поля скоростей частиц, движущихся в пространстве. Векторное поле сопоставляет каждой точке многообразия вектор из тангентного пространства в этой точке гладким образом. Такое векторное поле позволяет определить обобщенное обыкновенное дифференциальное уравнение на многообразии: решением такого дифференциального уравнения является дифференцируемая кривая на многообразии, производная которой в любой точке равна тангентному вектору, прикрепленному к этой точке векторным полем. Все тангентные пространства многообразия можно "склеить вместе", чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие с двойной размерностью исходного многообразия, называемое тангентным расслоением многообразия.

Формальные определения

Неформальное описание опирается на возможность вложения многообразия в окружающее векторное пространство, позволяющее тангенциальным векторам "выходить" из многообразия в это пространство. Однако, удобнее определить понятие касательного пространства, основываясь исключительно на самом многообразии. Существуют различные эквивалентные способы определения касательных пространств многообразия. Хотя определение через скорость кривых интуитивно наиболее простое, с ним также сложнее всего работать. Более изящные и абстрактные подходы описаны ниже.

Определение через тангенсные кривые

В представлении вложенного многообразия тангенциальный вектор в точке рассматривается как скорость кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, мы можем определить тангенциальный вектор как класс эквивалентности кривых, проходящих через точку, касательных друг к другу в ней. Предположим, что M – дифференцируемое многообразие (с заданной гладкостью) и что p – точка на M. Выберем координатную окрестность (диаграмму координат) φ, где U – открытое подмножество ℝⁿ, содержащее p. Предположим, что даны две кривые γ₁ и γ₂, такие что γ₁(0) = γ₂(0) = p, и обе кривые дифференцируемы в обычном смысле (мы называем такие кривые дифференцируемыми, начинающимися в p). Тогда γ₁ и γ₂ считаются эквивалентными в p, если и только если их производные в точке p совпадают. Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых, начинающихся в p, а классы эквивалентности таких кривых известны как тангенциальные векторы к M в точке p. Класс эквивалентности любой такой кривой обозначается [γ]. Тангенциальное пространство к M в точке p, обозначаемое TₚM, определяется как множество всех тангенциальных векторов в p; оно не зависит от выбора координатной окрестности.

Для определения операций векторного пространства в TₚM мы используем координатную окрестность φ и определяем отображение φ*: TₚM → ℝⁿ, заданное формулой φ*([γ]) = γ'(0). Отображение φ* оказывается биективным и может быть использовано для переноса операций векторного пространства с ℝⁿ на TₚM, тем самым превращая последнее множество в n-мерное вещественное векторное пространство. Снова необходимо проверить, что эта конструкция не зависит от конкретной выбранной координатной окрестности φ и кривой γ, и, на самом деле, это так.

Обобщения

Обобщения этого определения возможны, например, для комплексных многообразий и алгебраических многообразий. Однако вместо изучения производных из полной алгебры функций, необходимо работать на уровне зародышей функций. Причина этого в том, что пучок структур может быть не тонким для таких структур. Например, пусть X – алгебраическое многообразие со структурой пучка OX. Тогда пространство касательных Зариски в точке x – это множество всех K-производных d, где K – базовое поле, а Ox – стебель пучка OX в точке x.

Равный сходство определений

Для и дифференцируемой кривой γ, такой что γ(0) = 0, определим f'(0) = lim_(t->0) (f(γ(t)) - f(0))/t (где производная берется в обычном смысле, поскольку f – функция из R в R). Можно установить, что f'(0) является производной в точке 0, и что эквивалентные кривые дают одну и ту же производную. Таким образом, для класса эквивалентности [γ] мы можем определить f'[0]([γ]), где кривая γ выбрана произвольно. Отображение f'[0] является изоморфизмом векторных пространств между пространством классов эквивалентности [γ] и пространством производных в точке 0.

Определение через котангентные пространства

Опять же, мы начинаем с многообразия и точки. Рассмотрим идеал, состоящий из всех гладких функций, обращающихся в нуль в точке , то есть . Тогда и являются вещественными векторными пространствами, и можно показать, что фактор-пространство изоморфно котангентному пространству посредством теоремы Тейлора. Тангенциальное пространство может быть определено как двойственное пространство к . Хотя это определение наиболее абстрактно, оно также наиболее легко переносится в другие контексты, например, к многообразиям, рассматриваемым в алгебраической геометрии. Если является дифференцированием в точке , то для любой функции , что означает, что порождает линейное отображение . И наоборот, если является линейным отображением, то оно определяет дифференцирование в точке . Это устанавливает эквивалентность между тангенциальными пространствами, определенными через дифференцирования, и тангенциальными пространствами, определенными через котангентные пространства.

Свойства

Если – открытое подмножество , то является многообразием естественным образом (можно взять координатные отображения как отображения тождества на открытых подмножествах ), и все касательные пространства естественным образом отождествляются с .

Тангенсные векторы как направленные производные

Другой способ думать о тангентных векторах — это как о направленных производных. Для вектора в , соответствующую направленную производную в точке можно определить следующим образом:

Это отображение естественным образом является производной в точке . Более того, любая производная в точке в имеет такой вид. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторами (рассматриваемыми как тангентные векторы в точке) и производными в точке. Поскольку тангентные векторы общего многообразия в точке могут быть определены как производные в этой точке, естественно рассматривать их как направленные производные. В частности, если является тангентным вектором к в точке (рассматриваемым как производной), то определим направленную производную в направлении как:

Если рассматривать как начальную скорость гладкой кривой , начинающейся в , т.е. , то вместо этого определим следующим образом: