Евклид кеңістігі: қашықтық және бұрышсыз геометрия

Кіріспе

Евклидтік кеңістік қашықтықсыз және бұрыштарсыз. Математикада аффиндік кеңістік – геометриялық құрылым, ол Евклидтік кеңістіктің кейбір қасиеттерін, қашықтық және бұрыштар ұғымдарына тәуелсіз, параллелизмге және параллель түзу кесінділерінің ұзындықтарының қатынасына байланысты қасиеттерді сақтай отырып, жалпылайды. Аффиндік кеңістік – аффиндік геометрияның негізі. Евклидтік кеңістіктегідей, аффиндік кеңістіктегі негізгі объектілер нүктелер деп аталады, оларды кеңістіктегі өлшемдері мен пішіні жоқ орналасқан жерлер ретінде қарастыруға болады: нөлдік өлшемді. Кез келген екі нүкте арқылы шексіз түзу сызық жүргізуге болады, ол нүктелердің бір өлшемді жиыны; егер үш нүкте түзу бойында жатпаса, олар арқылы екі өлшемді жазықтық жүргізуге болады; және, жалпы жағдайда, жалпы орналасқан k+1 нүкте арқылы k өлшемді тегіс немесе аффиндік кіші кеңістік жүргізуге болады. Аффиндік кеңістік бір жазықтықта жатқан, бірақ ешқашан қиыспайтын параллель түзулер жұбымен сипатталады (бір жазықтықтағы параллель емес түзулер бір нүктеде қиылысады). Кез келген түзуге оған параллель түзуді кеңістіктегі кез келген нүкте арқылы жүргізуге болады, ал параллель түзулердің эквиваленттік класы бір бағытқа ие болады. Векторлық кеңістіктегі векторлардан айырмашылығы, аффиндік кеңістікте бағыттық нүкте ретінде қызмет ететін ерекше нүкте жоқ. Нүктелерді қосу немесе көбейту, немесе нүктені скалярлық санға көбейту туралы алдын ала анықталған түсінік жоқ. Алайда, кез келген аффиндік кеңістік үшін бастапқы және соңғы нүктелер арасындағы айырмашылықтардан құралған векторлық кеңістікті құруға болады, олар орын ауыстыру векторлары, аударма векторлары немесе жай ғана аудармалар деп аталады. Сондай-ақ, аффиндік кеңістіктің нүктесіне орын ауыстыру векторын қосуға болады, нәтижесінде бастапқы нүктеден сол вектормен ауысқан жаңа нүкте пайда болады. Нүктелерді кездейсоқ қосу мүмкін болмаса да, нүктелердің аффиндік комбинацияларын алуға болады: сандық коэффициенттері 1-ге тең болатын салмақталған сомалар, нәтижесінде басқа нүкте пайда болады. Бұл коэффициенттер нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың барицентрлік координаттар жүйесін анықтайды. Кез келген векторлық кеңістікті аффиндік кеңістік ретінде қарастыруға болады; бұл нөлдік вектордың ерекше рөлін «ұмытуға» тең. Бұл жағдайда векторлық кеңістіктің элементтерін аффиндік кеңістіктің нүктелері немесе орын ауыстыру векторлары немесе аудармалар ретінде қарастыруға болады. Нүкте ретінде қарастырылғанда нөлдік вектор бағыттық нүкте деп аталады. Векторлық кеңістіктің сызықтық кіші кеңістігінің элементтеріне (векторлық кіші кеңістігіне) тұрақты векторды қосу векторлық кеңістіктің аффиндік кіші кеңістігін құрайды. Кейде бұл аффиндік кіші кеңістік сызықтық кіші кеңістікті аудармалық вектормен (сызықтық кеңістіктің барлық элементтеріне қосылған вектор) ауыстыру арқылы алынған деп айтылады. Шектелген өлшемдерде мұндай аффиндік кіші кеңістік біртекті емес сызықтық жүйенің шешімдер жиыны болып табылады. Бұл аффиндік кеңістік үшін орын ауыстыру векторлары тиісті біртекті сызықтық жүйенің шешімдері болып табылады, ол сызықтық кіші кеңістік болып табылады. Керісінше, сызықтық кіші кеңістіктерде векторлық кеңістіктің бағыттық нүктесі әрқашан болады. Аффиндік кеңістіктің өлшемі оның аудармаларының векторлық кеңістігінің өлшемі ретінде анықталады. Бір өлшемді аффиндік кеңістік – аффиндік түзу. Екі өлшемді аффиндік кеңістік – аффиндік жазықтық. n өлшемді аффиндік кеңістікте немесе n өлшемді векторлық кеңістікте n-1 өлшемді аффиндік кіші кеңістік – аффиндік гипержазықтық.

Euclidean space without distance and angles

In mathematics, an affine space is a geometric structure that generalizes some of the properties of Euclidean spaces in such a way that these are independent of the concepts of distance and measure of angles, keeping only the properties related to parallelism and ratio of lengths for parallel line segments. Affine space is the setting for affine geometry. As in Euclidean space, the fundamental objects in an affine space are called points, which can be thought of as locations in the space without any size or shape: zero dimensional. Through any pair of points an infinite straight line can be drawn, a one dimensional set of points; through any three points that are not collinear, a two dimensional plane can be drawn; and, in general, through k +&hairsp;1 points in general position, a k dimensional flat or affine subspace can be drawn. Affine space is characterized by a notion of pairs of parallel lines that lie within the same plane but never meet each other (non parallel lines within the same plane intersect in a point). Given any line, a line parallel to it can be drawn through any point in the space, and the equivalence class of parallel lines are said to share a direction. Unlike for vectors in a vector space, in an affine space there is no distinguished point that serves as an origin. There is no predefined concept of adding or multiplying points together, or multiplying a point by a scalar number. However, for any affine space, an associated vector space can be constructed from the differences between start and end points, which are called displacement vectors, translation vectors or simply translations. Likewise, it makes sense to add a displacement vector to a point of an affine space, resulting in a new point translated from the starting point by that vector. While points cannot be arbitrarily added together, it is meaningful to take affine combinations of points: weighted sums with numerical coefficients summing to 1, resulting in another point. These coefficients define a barycentric coordinate system for the flat through the points. Any vector space may be viewed as an affine space; this amounts to "forgetting" the special role played by the zero vector. In this case, elements of the vector space may be viewed either as points of the affine space or as displacement vectors or translations. When considered as a point, the zero vector is called the origin. Adding a fixed vector to the elements of a linear subspace (vector subspace) of a vector space produces an affine subspace of the vector space. One commonly says that this affine subspace has been obtained by translating (away from the origin) the linear subspace by the translation vector (the vector added to all the elements of the linear space). In finite dimensions, such an affine subspace is the solution set of an inhomogeneous linear system. The displacement vectors for that affine space are the solutions of the corresponding homogeneous linear system, which is a linear subspace. Linear subspaces, in contrast, always contain the origin of the vector space. The dimension of an affine space is defined as the dimension of the vector space of its translations. An affine space of dimension one is an affine line. An affine space of dimension 2 is an affine plane. An affine subspace of dimension n – 1 in an affine space or a vector space of dimension n is an affine hyperplane.

Эндоморфизмдер

Аффиналық кеңістіктің аффиналық түрленуі немесе эндоморфизмі – бұл сол кеңістіктің өзіне аффиналық бейнелеуі. Маңызды мысалдардың бірі – аудармалар: вектор берілгенде, әрбір үшін жіберілетін аударма бейнелеуі аффиналық бейнелеу болып табылады. Тағы бір маңызды мысалдар тобы – бастапқы нүктеге орайласқан сызықтық бейнелеулер: нүкте және сызықтық бейнелеу берілгенде, әрбір үшін аффиналық бейнелеуді былай анықтауға болады:

Бастапқы нүктені таңдағаннан кейін, кез келген аффиналық бейнелеуді орайласқан сызықтық бейнелеу мен аударманың бірегей комбинациясы ретінде жазуға болады.

Векторлық кеңістік аффиндік кеңістік ретінде

Әрбір V векторлық кеңістігі өзінің үстінде аффиналық кеңістік ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл V-нің әрбір элементі нүкте немесе вектор ретінде қарастырылуы мүмкін дегенді білдіреді. Бұл аффиналық кеңістік кейде V элементтерінің екі жақты рөлін көрсету үшін (V, V) деп белгіленеді. Нөлдік вектор нүкте ретінде қарастырылғанда, әдетте o (немесе O, егер нүктелер үшін үлкен әріптер қолданылса) деп белгіленеді және бастапқы нүкте деп аталады. Егер A сол векторлық кеңістік үстіндегі тағы бір аффиналық кеңістік болса, онда A-дағы кез келген a нүктесін таңдау бірегей аффиналық изоморфизмді анықтайды, ол V-нің өзін-өзі теңдігі болып табылады және a-ны o-ға бейнелейді. Басқаша айтқанда, A-дағы a бастапқы нүктесін таңдау A мен (V, V) кеңістіктерін канондық изоморфизмге дейін сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Осы қасиетке керісінше, аффиналық кеңістік A, "бастапқы нүктенің орны естен шығарылған" V векторлық кеңістігімен сәйкестендірілуі мүмкін.

Бір-біріне ұқсас қасиеттері

Евклидтік геометрияда "аффиналық қасиет" деген жиі қолданылатын сөз тіркесі аффиналық кеңістіктерде дәлелденетін қасиетті көрсетеді, яғни квадраттық форманы және оған байланысты ішкі көбейтіндіні пайдаланбай дәлелдеуге болады. Басқаша айтқанда, аффиналық қасиет – ұзындықтар мен бұрыштарға қатысы жоқ қасиет. Типик мысалдар – параллеллик және жанаманың анықтамасы. Мысалға келмейтін нәрсе – норманың анықтамасы. Балама ретінде, аффиналық қасиет – Эвклид кеңістігінің аффиналық түрлендірулерінде өзгермейтін қасиет.

Мысалдар

Балалар 4 + 3 немесе 4 - 2 сияқты қосымшалардың жауабын сандар сызығында оңға немесе солға санау арқылы тапқанда, олар сандар сызығын бір өлшемді аффиндік кеңістік ретінде қарастырады. Уақытты бір өлшемді аффиндік кеңістік ретінде модельдеуге болады. Уақыттың нақты мезеттері (мысалы, күнтізбедегі күні) аффиндік кеңістіктегі нүктелер, ал мерзімдер (мысалы, күндер саны) орын ауыстырулар болып табылады. Энергиялар кеңістігі үшін аффиндік кеңістік болып табылады, себебі абсолютті энергия туралы сөз етудің мәні жоқ, бірақ энергияның айырмашылығы туралы сөз етудің мәні бар. Вакуумдық энергия анықталғанда канондық бастапқы нүктені таңдайды. Физикалық кеңістік релятивистік емес және релятивистік жағдайларда аффиндік кеңістік ретінде модельделеді. Оларды векторлық кеңістіктен ажырату үшін оларды кейде Евклидтік кеңістіктер деп атайды және . Векторлық кеңістіктің V ішкі кеңістігінің кез келген косеті сол ішкі кеңістік үстіндегі аффиндік кеңістік болып табылады. Егер T матрица болса және 'b' оның бағандық кеңістігінде жатса, 1=T'x' = 'b' теңдеуінің шешімдері жиынтығы 1=T'x' = 0 теңдеуінің шешімдерінің ішкі кеңістігі үстіндегі аффиндік кеңістік болып табылады. Біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімдері сәйкес біртекті сызықтық теңдеудің шешімдері үстінде аффиндік кеңістік құрайды. Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылағанда, егер T: V → W сызықтық бейнелеу болса және 'y' оның бейнесінде жатса, онда 1=T'x' = 'y' теңдеуінің 'x' ∈ V шешімдері жиынтығы T ядросының косеті болып табылады, сондықтан ол Ker T үстіндегі аффиндік кеңістік болып табылады. Векторлық кеңістіктегі V векторлық ішкі кеңістігінің (сызықтық) толықтырушы ішкі кеңістіктер кеңістігі W, Hom(W/V, V) үстіндегі аффиндік кеңістік болып табылады. Яғни, 0 → V → W → X → 0 векторлық кеңістіктердің қысқа дәл тізбегі болса, онда дәл тізбектің барлық бөліністерінің кеңістігі табиғи түрде Hom(X, V) үстіндегі аффиндік кеңістіктің құрылымын алып жүреді. Қосылымдар кеңістігі (векторлық шоғырдан қарағанда, мұнда тегіс көпқырлы) - 1-формалары бар векторлық кеңістіктің аффиндік кеңістігі. Қосылымдар кеңістігі (басты шоғырдан қарағанда) - 1-формалары бар векторлық кеңістік үшін аффиндік кеңістік, мұнда оған байланысты серік бундель бар.

When children find the answers to sums such as 4 + 3 or 4 − 2 by counting right or left on a number line, they are treating the number line as a one dimensional affine space. Time can be modelled as a one dimensional affine space. Specific points in time (such as a date on the calendar) are points in the affine space, while durations (such as a number of days) are displacements. The space of energies is an affine space for , since it is often not meaningful to talk about absolute energy, but it is meaningful to talk about energy differences. The vacuum energy when it is defined picks out a canonical origin. Physical space is often modelled as an affine space for in non relativistic settings and in the relativistic setting. To distinguish them from the vector space these are sometimes called Euclidean spaces and Any coset of a subspace V of a vector space is an affine space over that subspace. If T is a matrix and 'b' lies in its column space, the set of solutions of the equation 1=T'x' = 'b' is an affine space over the subspace of solutions of 1=T'x' = 0. The solutions of an inhomogeneous linear differential equation form an affine space over the solutions of the corresponding homogeneous linear equation. Generalizing all of the above, if T : V → W is a linear map and 'y' lies in its image, the set of solutions 'x' ∈ V to the equation 1=T'x' = 'y' is a coset of the kernel of T , and is therefore an affine space over Ker T The space of (linear) complementary subspaces of a vector subspace V in a vector space W is an affine space, over Hom(W/V, V). That is, if 0 → V → W → X → 0 is a short exact sequence of vector spaces, then the space of all splittings of the exact sequence naturally carries the structure of an affine space over Hom(X, V). The space of connections (viewed from the vector bundle , where is a smooth manifold) is an affine space for the vector space of valued 1 forms. The space of connections (viewed from the principal bundle ) is an affine space for the vector space of valued 1 forms, where is the associated adjoint bundle.

Афиналық аралық және негіздер

Афиналық кеңістік А-ның бос емес кез келген X жиыны үшін, оны қамтитын ең кіші афиналық кеңістік бар, ол X-тің афиналық жабыны деп аталады. Ол X-ты қамтитын барлық афиналық кеңістіктердің қиылысы, ал оның бағыты – X-ты қамтитын афиналық кеңістіктердің бағыттарының қиылысы. X-тің афиналық жабыны – X нүктелерінің барлық (шекті) афиналық комбинацияларының жиыны, ал оның бағыты – X-тегі x және y үшін x – y аралығының сызықтық жабыны. Егер x0 белгілі бір нүктесін таңдаса, X-тің афиналық жабынының бағыты сонымен қатар X-тегі x үшін x – x0 аралығының сызықтық жабыны болып табылады. Сондай-ақ, X-тің афиналық жабыны X-тен туындайды және X оның афиналық жабынының туынды жиыны болып табылады. Афиналық кеңістіктің X нүктелерінің жиыны, егер X-тің кез келген қатаң кіші жиынының афиналық жабыны X-тің афиналық жабынының қатаң кіші жиыны болса, тәуелсіз деп айтылады. Афиналық кеңістіктің афиналық негізі немесе барицентрлік шеңбер (төменде қараңыз) – бұл сонымен қатар тәуелсіз (яғни, ең кішкентай туынды жиын) туынды жиын. Афиналық кеңістіктің өлшемі оған байланысты векторлық кеңістіктің өлшемімен бірдей екенін еске түсірейік. Аяқты өлшемді n афиналық кеңістіктің негіздері – n + 1 элементтен тұратын тәуелсіз кіші жиындар немесе, баламалы түрде, n + 1 элементтен тұратын туынды кіші жиындар болып табылады. Баламалы түрде, {x0, , xn} жиыны афиналық кеңістіктің афиналық негізі болып табылады, егер және тек егер {x1 − x0, , xn − x0} жиыны байланысты векторлық кеңістіктің сызықтық негізі болса.

Координаттары

Аффиналық кеңістіктерде екі тығыз байланысты координата жүйесін анықтауға болады.

Үшбұрыштың мысалы

Жазық емес үшбұрыштың төбелері Евклид жазықтығының аффиндік негізін құрайды. Барицентрлік координаттар бұрыштар мен қашықтықтарды қатыстырмайтын үшбұрыштың элементтерін оңай сипаттауға мүмкіндік береді: Төбелер барицентрлік координаттары (1, 0, 0), (0, 1, 0) және (0, 0, 1) болатын нүктелер болып табылады. Қабырғаларын ұстап тұратын түзулер – нөлдік координатасы бар нүктелер. Қабырғалардың өзі – бір нөлдік координатасы және екі теріс емес координатасы бар нүктелер. Үшбұрыштың ішкі бөлігі – барлық координаттары оң нүктелер. Медианалар – екі тең координатасы бар нүктелер, ал центроид – координаттары бар нүкте.

Квотиент кеңістігі

Аффиналық кеңістіктер үшін ядролар анықталмаса да, көлемдік кеңістіктер анықталады. Бұл "аффиналық гомоморфизмнің бір талшығына жатады" қатынасы эквиваленттік қатынас екендігінен туындайды. E аффиналық кеңістік болсын, ал D – байланысты векторлық кеңістіктің сызықтық ішкі кеңістігі болсын. E/D – E-нің D бойынша көлемдік бөлігі, яғни E-нің эквиваленттік қатынасы бойынша бөлігі, егер x және y эквивалентті болса. Бұл көлемдік бөлік аффиналық кеңістік болып табылады, оның байланысты векторлық кеңістігі бар. Кез келген аффиналық гомоморфизм үшін бейне байланысты сызықтық түрлендірудің ядросы бойынша E-нің көлемдік бөлігіне изоморфты. Бұл аффиналық кеңістіктер үшін бірінші изоморфизм теоремасы.

Жобалау кеңістіктеріне қатынасы

Аффиналық кеңістіктер проекциялық кеңістіктердің ішінде орналасқан. Мысалы, аффиндік жазықтықты кез келген проективті жазықтықтан бір түзуді және оған жататын барлық нүктелерді алып тастау арқылы алуға болады, ал керісінше, кез келген аффиндік жазықтықты проективті жазықтықтың жабылуы ретінде, яғни параллель түзулердің эквиваленттілік кластарына сәйкес келетін шексіз түзуді қосу арқылы құруға болады. Ұқсас құрылымдар жоғары өлшемдерде де қолданылады. Бұдан әрі, проекциялық кеңістіктің аффиналық кеңістікті сақтайтын (немесе эквивалентті, шексіз гипержазықты жиын ретінде өзгермейтін) түрлендірулері аффиналық кеңістіктің түрлендірулерін тудырады. Керісінше, кез келген аффиналық сызықтық түрлендіру бірегей түрде проективті сызықтық түрлендіруге кеңейтіледі, сондықтан аффиналық топ проективті топтың кіші тобы болып табылады. Мысалы, Мёбиус түрлендірулері (кешенді проекциялық түзудің немесе Риман сферасының түрлендірулері) аффиналық (кешенді жазықтықтың түрлендірулері) болып табылады, егер және тек қана олар шексіз нүктені бекітсе.

Аффиналды алгебралық геометрия

Алгебралық геометрияда аффиндік түрлілік (немесе, жалпы алғанда, аффиндік алгебралық жиын) — аффиндік кеңістіктің ішкі жиыны ретінде анықталады, ол аффиндік кеңістіктегі полиномдық функциялар деп аталатын функциялар жиынының ортақ нөлдерінің жиынтығы болып табылады. Аффиндік кеңістікте полиномдық функцияны анықтау үшін аффиндік жүйені таңдау қажет. Содан кейін полиномдық функция — кез келген нүктенің бейнесі сол нүктенің координаттарының көп айнымалы полиномының мәніне тең болатын функция. Аффиндік координаттардың өзгеруі координаттардың сызықтық функцияларымен (нақтырақ айтқанда, аффиндік функцияларымен) берілуі мүмкін болғандықтан, бұл анықтама координаттардың нақты бір таңдауына тәуелсіз. n өлшемді аффиндік кеңістік үшін k өрісі бойынша аффиндік координаттар жүйесін таңдау, k және аффиндік координаттар кеңістігі kⁿ арасында аффиндік изоморфизмді тудырады. Осы себепті көптеген оқулықтарда оңайлату үшін жазылады және аффиндік алгебралық түрліліктер kⁿ кеңістігіндегі полиномдық функциялардың ортақ нөлдері ретінде енгізіледі. Бүкіл аффиндік кеңістік нөлдік полиномның ортақ нөлдерінің жиынтығы болғандықтан, аффиндік кеңістіктер аффиндік алгебралық түрліліктер болып табылады.

Көптамалы функциялар сақинасы

Жоғарыдағы анықтамаға сәйкес, аффин кеңістіктің аффин шеңберін таңдау, аффин кеңістіктегі полиномиалдық функцияларды n айнымалыдағы полиномиалдармен сәйкестендіруге мүмкіндік береді, мұндағы i-інші айнымалы – нүктені оның i-інші координатына бейнелейтін функцияны көрсетеді. Осыдан, полиномиалдық функциялар жиыны k алгебрасы болып табылады, ол полиномиал сақинасына изоморфты. Координаттарды өзгерткенде, мен арасындағы изоморфизм де сәйкесінше өзгереді, бұл автоморфизмін тудырады, ол әрбір белгісізді бірінші дәрежелі полиномиалға бейнелейді. Соның салдарынан, толық дәреже координаттар таңдауына тәуелсіз болатын сүзгілеуін анықтайды. Толық дәреже сондай-ақ градуировканы анықтайды, бірақ ол координаттар таңдауына байланысты, себебі аффин координаттарының өзгеруі белгісіздерді гомогенді емес полиномиалдарға бейнелеуі мүмкін.

Зариски топологиясы

Топологиялық өрістердегі, мысалы, нақты немесе кешенді сандардағы аффиндік кеңістіктер табиғи топологияға ие. Кез келген өрісте аффиндік кеңістік үшін анықталатын Зариски топологиясы, кез келген жағдайда топологиялық әдістерді қолдануға мүмкіндік береді. Зариски топологиясы – аффиндік кеңістіктегі бірегей топология, онда жабық жиынтықтар аффиндік алгебралық жиынтықтар болып табылады (яғни, аффиндік жиынтықтағы полиномдық функциялардың ортақ нөлдерінің жиынтықтары). Топологиялық өрісте полиномдық функциялар үздіксіз болғандықтан, әрбір Зариски жабық жиынтығы, егер бар болса, әдеттегі топология үшін жабық болады. Басқаша айтқанда, топологиялық өрісте Зариски топологиясы табиғи топологиядан дөңгелек. Аффиндік кеңістіктен оның полиномдық функциялар сақинасының жай идеалдар жиынтығына (яғни, спектрге) табиғи инъективті функция бар. Аффиндік координаттар таңдалғанда, бұл функция координаттарының нүктесін максималды идеалға бейнелейді. Бұл функция – аффиндік кеңістіктің және полиномдық функциялар сақинасы спектрінің Зариски топологиясы үшін гомеоморфизм, функцияның бейнесіне. Алгебралық геометрияда алгебралық жабық негізгі өріс жағдайы ерекше маңызды, себебі бұл жағдайда жоғарыдағы гомеоморфизм аффиндік кеңістік пен функциялар сақинасының барлық максималды идеалдары жиынтығы арасындағы бейнелеу болып табылады (бұл Гилберттің Нөлдік теоремасы). Бұл Гротендиктің схемалық теориясының бастапқы идеясы, ол алгебралық сорттарды зерттеу үшін, "нүктелер" ретінде аффиндік кеңістіктің нүктелерін ғана емес, сонымен қатар спектрдің барлық жай идеалдарын қарастырудан тұрады. Бұл алгебралық сорттарды көптүрліліктер үшін диаграммалар көптүрлілікті құру үшін біріктірілетіндей ұқсас тәсілмен біріктіруге мүмкіндік береді.

Кохомология

Барлық аффиндік түрлер сияқты, аффиндік кеңістіктегі жергілікті деректерді әрқашан жаһандық түрде біріктіруге болады: аффиндік кеңістіктің когомологиясы тривиалды. Нақтырақ айтқанда, барлық когерентті F шоғы және бүтін сандар үшін. Бұл қасиетті барлық басқа аффиндік сорттар да бөліседі. Аффиндік кеңістіктегі барлық этальдік когомология топтары да тривиалды. Атап айтқанда, әрбір түзу шоғы тривиалды. Жалпы алғанда, Куиллен-Суслин теоремасы аффиндік кеңістіктегі әрбір алгебралық векторлық шоғының тривиалды екенін көрсетеді.