Введение

Евклидово пространство без расстояния и углов

В математике аффинное пространство — это геометрическая структура, обобщающая некоторые свойства евклидовых пространств таким образом, что они независимы от понятий расстояния и измерения углов, сохраняя лишь свойства, связанные с параллельностью и отношением длин для параллельных отрезков. Аффинное пространство является основой аффинной геометрии. Как и в евклидовом пространстве, фундаментальными объектами в аффинном пространстве являются точки, которые можно рассматривать как положения в пространстве, лишенные каких-либо размеров или формы: объекты нулевой размерности. Через любую пару точек можно провести бесконечную прямую линию — одномерное множество точек; через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести двухмерную плоскость; и, в общем случае, через k + 1 точек в общем положении можно провести k-мерное плоское или аффинное подпространство. Аффинное пространство характеризуется понятием пары параллельных прямых, лежащих в одной плоскости, но никогда не пересекающихся (непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются в точке). Для любой прямой можно провести параллельную ей прямую через любую точку пространства, и класс эквивалентности параллельных прямых считается имеющим одно и то же направление. В отличие от векторов в векторном пространстве, в аффинном пространстве нет выделенной точки, служащей началом координат. Нет предопределенного понятия сложения или умножения точек друг на друга, или умножения точки на скаляр. Однако для любого аффинного пространства можно построить ассоциированное векторное пространство из разностей между начальными и конечными точками, называемых векторами смещения, векторами переноса или просто переносами. Аналогично, имеет смысл добавлять вектор смещения к точке аффинного пространства, в результате чего получается новая точка, перенесенная из исходной точки этим вектором. Хотя точки нельзя произвольно складывать, имеет смысл рассматривать аффинные комбинации точек: взвешенные суммы с числовыми коэффициентами, в сумме дающими 1, в результате чего получается другая точка. Эти коэффициенты определяют барицентрическую систему координат для плоскости, проходящей через эти точки. Любое векторное пространство можно рассматривать как аффинное пространство; это равносильно «забыванию» особой роли, которую играет нулевой вектор. В этом случае элементы векторного пространства можно рассматривать либо как точки аффинного пространства, либо как векторы смещения или переносы. Когда нулевой вектор рассматривается как точка, он называется началом координат. Добавление фиксированного вектора к элементам линейного подпространства (векторного подпространства) векторного пространства дает аффинное подпространство векторного пространства. Обычно говорят, что это аффинное подпространство получено переносом (от начала координат) линейного подпространства на вектор переноса (вектор, добавленный ко всем элементам линейного пространства). В конечномерных пространствах такое аффинное подпространство является множеством решений неоднородной линейной системы. Векторы смещения для этого аффинного пространства являются решениями соответствующей однородной линейной системы, которая является линейным подпространством. Линейные подпространства, напротив, всегда содержат начало координат векторного пространства. Размерность аффинного пространства определяется как размерность векторного пространства его переносов. Аффинное пространство размерности один — это аффинная прямая. Аффинное пространство размерности два — это аффинная плоскость. Аффинное подпространство размерности n – 1 в аффинном пространстве или векторном пространстве размерности n является аффинной гиперплоскостью.

Эндоморфизмы

Аффинное преобразование или эндоморфизм аффинного пространства — это аффинное отображение этого пространства в себя. Важным примером является сдвиг (трансляция): задан вектор , тогда сдвиг, отображающий в для любого из , является аффинным отображением. Другим важным примером являются линейные отображения, центрированные в начале координат: задана точка и линейное отображение , можно определить аффинное отображение по формуле

для любого из .
После выбора начала координат любое аффинное отображение может быть единственным образом представлено как комбинация сдвига и линейного отображения, центрированного в начале координат.

Векторные пространства как аффинные пространства

Каждое векторное пространство V может рассматриваться как аффинное пространство над собой. Это означает, что каждый элемент V может рассматриваться либо как точка, либо как вектор. Это аффинное пространство иногда обозначается (V, V) для подчеркивания двойственной роли элементов V. Когда рассматривается как точка, нулевой вектор обычно обозначается o (или O, если для точек используются заглавные буквы) и называется началом координат. Если A – другое аффинное пространство над тем же векторным пространством (то есть), выбор любой точки a в A определяет единственный аффинный изоморфизм, являющийся тождественным преобразованием V и отображающий a в o. Иными словами, выбор начала координат a в A позволяет отождествить A и (V, V) с точностью до канонического изоморфизма. Обратная сторона этого свойства заключается в том, что аффинное пространство A может быть отождествлено с векторным пространством V, в котором "информация о начале координат утрачена".

Сходные свойства

В евклидовой геометрии распространенное выражение "аффинное свойство" относится к свойству, которое можно доказать в аффинных пространствах, то есть его можно доказать без использования квадратичной формы и связанного с ней скалярного произведения. Иными словами, аффинное свойство – это свойство, не зависящее от длин и углов. Типичными примерами являются параллельность и определение касательной. Примером свойства, не являющегося аффинным, является определение нормали. Эквивалентно, аффинное свойство – это свойство, инвариантное относительно аффинных преобразований евклидова пространства.

Примеры

Когда дети находят ответы на примеры, такие как 4 + 3 или 4 - 2, подсчитывая вправо или влево на числовой прямой, они рассматривают числовую прямую как одномерное аффинное пространство. Время можно моделировать как одномерное аффинное пространство. Конкретные моменты времени (например, дата в календаре) являются точками в аффинном пространстве, а длительности (например, количество дней) – сдвигами. Пространство энергий является аффинным пространством, поскольку говорить об абсолютной энергии часто бессмысленно, но говорить о разностях энергий – осмысленно. Энергия вакуума, когда она определена, выделяет каноническое начало координат. Физическое пространство часто моделируется как аффинное пространство в нерелятивистских условиях и в релятивистском случае. Чтобы отличать их от векторного пространства, их иногда называют евклидовыми пространствами и . Любое косоответствие подпространства V векторного пространства является аффинным пространством над этим подпространством. Если T – матрица, а 'b' принадлежит ее пространству столбцов, то множество решений уравнения T'x' = 'b' является аффинным пространством над подпространством решений T'x' = 0. Решения нехомогенного линейного дифференциального уравнения образуют аффинное пространство над решениями соответствующего однородного линейного уравнения. Обобщая все вышесказанное, если T: V → W – линейное отображение и 'y' принадлежит его образу, то множество решений 'x' ∈ V уравнения T'x' = 'y' является косетом ядра T и, следовательно, аффинным пространством над Ker T. Пространство (линейных) дополнительных подпространств векторного подпространства V в векторном пространстве W является аффинным пространством над Hom(W/V, V). То есть, если 0 → V → W → X → 0 – короткая точная последовательность векторных пространств, то пространство всех расщеплений этой точной последовательности естественным образом имеет структуру аффинного пространства над Hom(X, V). Пространство связностей (рассматриваемое с точки зрения векторного расслоения, где M – гладкое многообразие) является аффинным пространством для векторного пространства 1-форм со значениями в . Пространство связностей (рассматриваемое с точки зрения главного расслоения) является аффинным пространством для векторного пространства 1-форм со значениями в , где Ad – ассоциированное сопряженное расслоение.

Аффинный пролет и основания

Для любого непустого подмножества X аффинного пространства A существует наименьшее аффинное подпространство, содержащее его, называемое аффинной оболочкой X. Оно является пересечением всех аффинных подпространств, содержащих X, а его направление – пересечением направлений аффинных подпространств, содержащих X. Аффинная оболочка X – это множество всех (конечных) аффинных комбинаций точек из X, и её направление – линейная оболочка векторов x − y для x и y из X. Если выбрать конкретную точку x₀, то направление аффинной оболочки X также является линейной оболочкой векторов x − x₀ для x из X. Также говорят, что аффинная оболочка X порождена X, и что X является порождающим множеством для её аффинной оболочки. Множество X точек аффинного пространства называется независимым, если аффинная оболочка любого собственного подмножества X является собственным подмножеством аффинной оболочки X. Аффинный базис или барицентрическая система координат (см. ниже) аффинного пространства – это порождающее множество, которое также является независимым (то есть минимальным порождающим множеством). Напомним, что размерность аффинного пространства равна размерности его ассоциированного векторного пространства. Базисы аффинного пространства конечной размерности n – это независимые подмножества, содержащие n + 1 элемент, или, эквивалентно, порождающие подмножества, содержащие n + 1 элемент. Эквивалентно, {x₀, …, xₙ} является аффинным базисом аффинного пространства тогда и только тогда, когда {x₁ − x₀, …, xₙ − x₀} является линейным базисом ассоциированного векторного пространства.

Координаты

Существует два тесно связанных типа систем координат, которые можно определить на аффинных пространствах.

Пример треугольника

Вершины неплоского треугольника образуют аффинную основу евклидовой плоскости. Барицентрические координаты позволяют легко охарактеризовать элементы треугольника, не использующие углы или расстояния: вершины – это точки с барицентрическими координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Линии, несущие стороны, – это точки с одной нулевой координатой. Сами стороны – это точки, имеющие одну нулевую координату и две неотрицательные координаты. Внутренность треугольника – это точки, все координаты которых положительны. Медианы – это точки, имеющие две равные координаты, а центроид – это точка с координатами (1/3, 1/3, 1/3).

Коэффициентное пространство

Хотя ядра не определены для аффинных пространств, факторпространства определены. Это следует из того факта, что "принадлежность к одному и тому же слою аффинного гомоморфизма" является отношением эквивалентности. Пусть E – аффинное пространство, а D – линейное подпространство ассоциированного векторного пространства. Факторпространство E/D – это фактор E по отношению эквивалентности, такому что x и y эквивалентны, если…

Это факторпространство является аффинным пространством, ассоциированным векторным пространством которого является. Для любого аффинного гомоморфизма его образ изоморфен факторпространству E по ядру соответствующего линейного отображения. Это первая теорема об изоморфизме для аффинных пространств.

Отношение к проективным пространствам

Сродственные пространства содержатся в проективных пространствах. Например, аффинную плоскость можно получить из любой проективной плоскости, удалив одну прямую и все точки на ней, и наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости путем добавления линии на бесконечности, точки которой соответствуют классам эквивалентности параллельных прямых. Аналогичные построения справедливы и в более высоких размерностях. Кроме того, преобразования проективного пространства, сохраняющие аффинное пространство (эквивалентно, оставляющие гиперплоскость на бесконечности инвариантной как множество), порождают преобразования аффинного пространства. Обратно, любое аффинное линейное преобразование единственным образом расширяется до проективного линейного преобразования, таким образом, аффинная группа является подгруппой проективной группы. Например, преобразования Мёбиуса (преобразования комплексной проективной прямой, или сферы Римана) являются аффинными (преобразованиями комплексной плоскости) тогда и только тогда, когда они фиксируют точку на бесконечности.

Аффиновая алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии аффинное многообразие (или, в более общем случае, аффинное алгебраическое множество) определяется как подмножество аффинного пространства, являющееся множеством общих нулей некоторого набора так называемых полиномиальных функций над этим аффинным пространством. Для определения полиномиальной функции над аффинным пространством необходимо выбрать аффинный базис. Тогда полиномиальная функция – это функция, для которой образ любой точки является значением некоторой многомерной полиномиальной функции от координат этой точки. Поскольку изменение аффинных координат может быть выражено линейными функциями (точнее, аффинными функциями) от координат, это определение не зависит от конкретного выбора координат. Выбор системы аффинных координат для аффинного пространства размерности n над полем k индуцирует аффинный изоморфизм между этим пространством и аффинным координатным пространством kⁿ. Это объясняет, почему для упрощения многие учебники пишут , и вводят аффинные алгебраические многообразия как общие нули полиномиальных функций над kⁿ. Поскольку всё аффинное пространство является множеством общих нулей нулевого полинома, аффинные пространства являются аффинными алгебраическими многообразиями.

Кольцо многочленных функций

Согласно вышеуказанному определению, выбор аффинного фрейма аффинного пространства позволяет отождествить полиномиальные функции на этом пространстве с полиномами от n переменных, где i-я переменная представляет функцию, отображающую точку в её i-ю координату. Следовательно, множество полиномиальных функций над полем k является k-алгеброй, обозначаемой , которая изоморфна кольцу многочленов . При изменении координат изоморфизм между и также изменяется, что индуцирует автоморфизм , отображающий каждую переменную в полином первой степени. Отсюда следует, что полная степень определяет фильтрацию , которая не зависит от выбора координат. Полная степень также определяет градуировку, но она зависит от выбора координат, поскольку изменение аффинных координат может переводить переменные в неоднородные полиномы.

Топология Зариски

Сродственные пространства над топологическими полями, такими как действительные или комплексные числа, обладают естественной топологией. Топология Зариски, определяемая для аффинных пространств над любым полем, позволяет использовать топологические методы в любом случае. Топология Зариски – это единственная топология на аффинном пространстве, у которой замкнутыми множествами являются аффинные алгебраические множества (то есть множества общих нулей полиномиальных функций над аффинным множеством). Поскольку над топологическим полем полиномиальные функции непрерывны, каждое замкнутое множество Зариски является замкнутым и в обычной топологии, если таковая существует. Иными словами, над топологическим полем топология Зариски грубее естественной топологии. Существует естественное инъективное отображение из аффинного пространства в множество простых идеалов (то есть спектр) его кольца полиномиальных функций. При выбранных аффинных координатах, это отображение сопоставляет точку с координатами максимальному идеалу. Это отображение является гомеоморфизмом (относительно топологии Зариски аффинного пространства и спектра кольца полиномиальных функций) аффинного пространства на его образ. Случай алгебраически замкнутого поля особенно важен в алгебраической геометрии, поскольку в этом случае указанный гомеоморфизм является отображением между аффинным пространством и множеством всех максимальных идеалов кольца функций (это теорема Гильберта о нулях). Это исходная идея теории схем Гротендика, которая заключается в том, чтобы при изучении алгебраических многообразий рассматривать в качестве "точек" не только точки аффинного пространства, но и все простые идеалы спектра. Это позволяет склеивать алгебраические многообразия аналогично тому, как для многообразий склеиваются атласы при построении многообразия.

Кохомология

Как и все аффинные многообразия, локальные данные об аффинном пространстве всегда можно глобально склеить: кохомология аффинного пространства тривиальна. Более точно, для всех когерентных пучков F и целых чисел. Это свойство также справедливо для всех остальных аффинных многообразий. Более того, все группы этальной кохомологии на аффинном пространстве тривиальны. В частности, любой линейный расслоение тривиально. В более общем случае, теорема Квиллена — Суслина утверждает, что любое алгебраическое векторное расслоение над аффинным пространством тривиально.