Кіріспе

Математикалық термин

Математикада, Lie тобының G-нің серіктес өрнегі (немесе серіктес әрекеті) – топтың элементтерін топтың Lie алгебрасының сызықтық түрлендірулері ретінде бейнелеудің тәсілі, ол векторлық кеңістік ретінде қарастырылады. Мысалы, егер G – нақты n x n инвертирленетін матрицалардың Lie тобы болса, онда серіктес өрнек – бұл инвертирленетін n x n матрицаны барлық сызықтық түрлендірулердің векторлық кеңістігінің эндоморфизміне жіберетін топ гомоморфизмі:
Кез келген Lie тобы үшін бұл табиғи өрнек G-нің өзіне конъюгация арқылы әрекет етуінің дифференциалын алу арқылы алынады. Серіктес өрнек кез келген өрістердегі сызықтық алгебралық топтар үшін анықталуы мүмкін.

Мысалдар

Егер G n өлшемді абельдік болса, G-дің қосымша өкілдігі тривиалды n өлшемді өкілдік болып табылады. Егер G матрицалық Ли тобы болса (яғни, GL(n, R)-ның жабық кіші тобы), онда оның Ли алгебрасы коммутаторды Ли жақшасы ретінде қолданатын n×n матрицалардың алгебрасы болып табылады (яғни, GL(n, R)-ның субальгебрасы). Бұл жағдайда, қосымша бейнелеу Adg(x) = gxg−1 формуласымен беріледі. Егер G – SL(2, R) (детерминанты 1-ге тең 2×2 матрицалар) болса, G-дің Ли алгебрасы 0-ге тең ізге ие 2×2 матрицалардан тұрады. Бұл өкілдік, G-нің бинарлық (яғни, 2 айнымалы) квадраттық формалар кеңістігінде сызықтық түрлендіру арқылы әрекет етуіне эквивалентті.

Жартылай қарапайым Ли тобының түбірлері

Егер G жартылай қарапайым болса, қосымша өкілдіктің нөлдік емес салмақтары тамыр жүйесін құрайды. (Жалпы жағдайда, Lie алгебрасын кешендетіп алғаннан кейін ғана алға жылжуға болады.) Бұл қалай жұмыс істейтінін түсіну үшін G = SL(n, R) жағдайын қарастырайық. Біздің максималды торымыз T ретінде diag(t1, ..., tn) түріндегі диагональдық матрицалар тобын аламыз. T элементімен конъюгациялау

Осылайша, T, G Lie алгебрасының диагональдық бөлігіне тривиальді әсер етеді, ал диагональдық емес жазбаларға titj−1 түріндегі өзіндік векторлармен әсер етеді. G-нің тамырлары – diag(t1, ..., tn) → titj−1 салмақтары. Бұл G = SLn(R) тамыр жүйесінің стандартты сипаттамасын ei − ej түріндегі векторлар жиыны ретінде түсіндіреді.

Варианттары мен аналогтары

Қоса берікті кез келген өрісте алгебралық топтар үшін де анықтауға болады. Қоса беріктің серік өкілдігі – бұл қоса берікті өкілдігінің контраградиент өкілдігі. Александр Кириллов кез келген вектордың серік өкілдіктегі орбитасы симплектикалық көптеме болатынын байқады. Бейнелеу теориясындағы орбиталық әдіс философиясына сәйкес (Кирилловтың мінездемелік формуласын да қараңыз), Лай тобы G-нің ирредуктибелді бейнелеулері оның серік орбиталары арқылы бір жолмен индекстелуі керек. Бұл қатынас нильпотентті Лай топтарының жағдайында ең жақын.