Введение
Математический термин
В математике, присоединенное представление (или присоединенное действие) группы Ли G — это способ представления элементов группы в виде линейных преобразований алгебры Ли группы, рассматриваемой как векторное пространство. Например, если G — группа реальных обратимых матриц размера n на n, то присоединенное представление является групповым гомоморфизмом, который отображает обратимую матрицу размера n на n в эндоморфизм векторного пространства всех линейных преобразований, определяемый следующим образом:
Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (то есть взятия дифференциала) действия G на себя посредством сопряжения. Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями.
For any Lie group, this natural representation is obtained by linearizing (i. e. taking the differential of) the action of G on itself by conjugation. The adjoint representation can be defined for linear algebraic groups over arbitrary fields.
Примеры
Если G – абелева группа размерности n, то присоединенное представление G является тривиальным n-мерным представлением. Если G – матричная группа Ли (то есть замкнутая подгруппа GL(n, R)), то её алгебра Ли является алгеброй n×n матриц с коммутатором в качестве скобки Ли (то есть субальгеброй GL(n, R)). В этом случае сопряжённое отображение задаётся формулой Adg(x) = gxg−1. Если G – SL(2, R) (действительные 2×2 матрицы с определителем 1), то алгебра Ли G состоит из действительных 2×2 матриц с нулем в качестве следа. Это представление эквивалентно представлению, заданному действием G посредством линейной замены на пространстве бинарных (то есть двух переменных) квадратичных форм.
Корни полупростых групп Ли
Если G полупроста, то ненулевые веса присоединенного представления образуют корневую систему. (В общем случае, необходимо перейти к комплексификации алгебры Ли, прежде чем продолжить.) Чтобы понять, как это работает, рассмотрим случай G = SL(n, R). Мы можем взять группу диагональных матриц diag(t1, ..., tn) в качестве максимального тора T. Таким образом, T действует тривиально на диагональную часть алгебры Ли G и с собственными векторами titj−1 на различные внедиагональные элементы. Корни G – это веса, отображающие diag(t1, ..., tn) в titj−1. Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SLn(R) как множества векторов вида ei−ej.
Thus, T acts trivially on the diagonal part of the Lie algebra of G and with eigenvectors titj−1 on the various off diagonal entries. The roots of G are the weights diag(t1, , tn) → titj−1. This accounts for the standard description of the root system of G = SLn(R) as the set of vectors of the form ei−ej.
Варианты и аналоги
Присоединенное представление также может быть определено для алгебраических групп над любым полем. Сопряженное представление является контраградиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в сопряженном представлении является симплектическим многообразием. Согласно философии в теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом индексированы ее сопряженными орбитами. Эта связь наиболее тесна в случае нильпотентных групп Ли.