Кіріспе
5-дәрежелі полиномдық функция
In mathematics, a quintic function is a function of the form
where a, b, c, d, e and f are members of a field, typically the rational numbers, the real numbers or the complex numbers, and a is nonzero. In other words, a quintic function is defined by a polynomial of degree five. Because they have an odd degree, normal quintic functions appear similar to normal cubic functions when graphed, except they may possess one additional local maximum and one additional local minimum. The derivative of a quintic function is a quartic function. Setting and assuming a ≠ 0 produces a quintic equation of the form:
Solving quintic equations in terms of radicals (nth roots) was a major problem in algebra from the 16th century, when cubic and quartic equations were solved, until the first half of the 19th century, when the impossibility of such a general solution was proved with the Abel–Ruffini theorem.
Математикада, квинтикалық функция – a, b, c, d, e және f өріс мүшелері болып табылады, әдетте рационалдық сандар, нақты сандар немесе кешенді сандар, және a нөлге тең емес. Басқаша айтқанда, квинтикалық функция бесінші дәрежелі полином арқылы анықталады. Жота дәрежелі болғандықтан, стандартты квинтикалық функциялар график бойынша стандартты кубикалық функцияларға ұқсас болып көрінеді, бірақ оларда бір қосымша жергілікті максимум және бір қосымша жергілікті минимум болуы мүмкін. Квинтикалық функцияның туындысы төртінші дәрежелі функция болып табылады. a ≠ 0 деп қойып, қабылдасақ, квинтикалық теңдеу мына түрде жазылады:
In mathematics, a quintic function is a function of the form
where a, b, c, d, e and f are members of a field, typically the rational numbers, the real numbers or the complex numbers, and a is nonzero. In other words, a quintic function is defined by a polynomial of degree five. Because they have an odd degree, normal quintic functions appear similar to normal cubic functions when graphed, except they may possess one additional local maximum and one additional local minimum. The derivative of a quintic function is a quartic function. Setting and assuming a ≠ 0 produces a quintic equation of the form:
Solving quintic equations in terms of radicals (nth roots) was a major problem in algebra from the 16th century, when cubic and quartic equations were solved, until the first half of the 19th century, when the impossibility of such a general solution was proved with the Abel–Ruffini theorem.
Квинтикалық теңдеулерді радикалдар (n-ші тамырлар) арқылы шешу 16-шы ғасырдан бастап, кубтық және төртінші дәрежелі теңдеулер шешілгеннен бастап, 19-шы ғасырдың бірінші жартысына дейін алгебрадағы маңызды мәселе болып келді, сол кезде мұндай жалпы шешімнің болмауы Абель-Руффини теоремасымен дәлелденді.
In mathematics, a quintic function is a function of the form
where a, b, c, d, e and f are members of a field, typically the rational numbers, the real numbers or the complex numbers, and a is nonzero. In other words, a quintic function is defined by a polynomial of degree five. Because they have an odd degree, normal quintic functions appear similar to normal cubic functions when graphed, except they may possess one additional local maximum and one additional local minimum. The derivative of a quintic function is a quartic function. Setting and assuming a ≠ 0 produces a quintic equation of the form:
Solving quintic equations in terms of radicals (nth roots) was a major problem in algebra from the 16th century, when cubic and quartic equations were solved, until the first half of the 19th century, when the impossibility of such a general solution was proved with the Abel–Ruffini theorem.
Квинтикалық теңдеудің түбірлерін табу
Берілген көпмүшенің түбірлерін (нөлдерін) табу – маңызды математикалық мәселе. Сызықтық, квадраттық, кубтық және төртінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар мен коэффициенттерге қатысты қарапайым арифметикалық амалдар арқылы шешуге болады, түбірлердің рационал немесе иррационал, нақты немесе кешенді болуына қарамастан; қажетті шешімдерді беруге қабілетті формулалар бар. Дегенмен, жалпы бесінші дәрежелі теңдеулердің рационал сандардағы шешімдері үшін радикалдар түрінде алгебралық өрнек жоқ; бұл тұжырым Абель-Руффини теоремасы деп белгілі, ол алғаш рет 1799 жылы айтылған және 1824 жылы толыққанды дәлелденген. Бұл нәтиже жоғары дәрежелі теңдеулерге де қатысты. Түбірлері радикалдар арқылы өрнектеле алмайтын бесінші дәрежелі теңдеудің мысалы: Кейбір бесінші дәрежелі теңдеулер радикалдар арқылы шешілуі мүмкін. Алайда, мұндай шешім әдетте іс жүзінде қолдануға тым күрделі болады. Оның орнына, көпмүшелер үшін түбір табу алгоритмін пайдаланып, сандық жуықтамалар есептеледі.
Some quintics may be solved in terms of radicals. However, the solution is generally too complicated to be used in practice. Instead, numerical approximations are calculated using a root finding algorithm for polynomials.
Casus irreducibilis (қауымдық қылмыс)
Кубтық теңдеулерге ұқсас, бес нақты түбірі бар және радикалдар арқылы оның барлық шешімдері кешенді сандардың түбірлерін қамтитын шешілетін квинтиктер де бар. Бұл квинтика үшін "casus irreducibilis" деп аталады, және ол Дэммитте талқыланады. Расында, егер редукцияланбайтын квинтиктің барлық түбірлері нақты болса, онда ешбір түбірді тек нақты радикалдар арқылы өрнектеу мүмкін емес (бұл 2-нің дәрежесі емес, барлық полиномдар дәрежесі үшін де дұрыс).
Радикалдардан тыс
1835 жылы Джеррард квинтиктерді ультрарадикалдарды (Бринг радикалдары деп те аталады) қолдану арқылы шешуге болатынын көрсетті, ол a нақты саны үшін бірегей нақты түбір. 1858 жылы Чарльз Гермит Брин радикалын Якоби тета функциялары және олармен байланысты эллипстік модульдік функциялар тұрғысынан сипаттауға болатынын көрсетті, бұл тригонометриялық функциялар арқылы кубтық теңдеулерді шешуге қолданылатын әдіске ұқсас тәсіл. Соған шамамен бір уақытта Леопольд Кронекер топтар теориясын қолданып, Франческо Бриоски сияқты Гермит нәтижесін алудың оңай жолын жасады. Кейін Феликс Клейн икосаэдрдің симметриясын, Галуа теориясын және Гермит шешімінде кездесетін эллипстік модульдік функцияларды байланыстыратын әдіс ойлап тапты, соның салдарынан олар неге пайда болады екенін түсіндірді және жалпыланған гипергеометриялық функциялар арқылы өзінің шешімін ұсынды. 7 (септикалық теңдеулер) және 11 дәрежеде де осыған ұқсас құбылыстар кездеседі, оларды Клейн зерттеген және талқылаған.