Введение

Полиномиальная функция 5-й степени

В математике квинтичная функция — это функция вида

где a, b, c, d, e и f являются элементами поля, обычно рациональных, действительных или комплексных чисел, при этом a не равно нулю. Иными словами, квинтичная функция определяется многочленом пятой степени. Благодаря нечетной степени, обычные квинтичные функции при графическом изображении выглядят схоже с обычными кубическими функциями, за исключением того, что они могут иметь один дополнительный локальный максимум и один дополнительный локальный минимум. Производная квинтичной функции является квартичной функцией. Приравнивание к нулю и предположение, что a ≠ 0, приводит к квинтичному уравнению вида:

Решение квинтичных уравнений с помощью радикалов (корней n-й степени) было важной проблемой в алгебре с XVI века, когда были решены кубические и квартичные уравнения, до первой половины XIX века, когда невозможность существования общего решения была доказана теоремой Абеля — Руффини.

Найти корни квинтического уравнения

Найти корни (нули) данного многочлена всегда было важной математической задачей. Решение линейных, квадратных, кубических и квартичных уравнений с использованием радикалов и элементарных арифметических операций над коэффициентами всегда возможно, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, действительными или комплексными; существуют формулы, позволяющие получить необходимые решения. Однако для решений общих уравнений пятой степени над рациональными числами не существует алгебраического выражения (то есть выраженного через радикалы); это утверждение известно как теорема Абеля — Руффини, впервые выдвинутая в 1799 году и полностью доказанная в 1824 году. Этот результат справедлив и для уравнений более высокой степени. Примером уравнения пятой степени, корни которого нельзя выразить через радикалы, является. Некоторые уравнения пятой степени могут быть решены с использованием радикалов. Однако, как правило, решение слишком сложно для практического применения. Вместо этого вычисляются численные приближения с помощью алгоритма поиска корней многочлена.

Casus irreducibilis (необратимое дело)

Аналогично кубическим уравнениям, существуют разрешимые квинтики, имеющие пять вещественных корней, все решения которых в радикалах содержат корни комплексных чисел. Это casus irreducibilis для квинтики, который рассматривается у Даммита. Действительно, если неприводимая квинтика имеет все вещественные корни, ни один из корней не может быть выражен только с помощью вещественных радикалов (что верно для всех степеней многочлена, не являющихся степенями 2).

За радикалами

Около 1835 года Джеррард показал, что квинтики можно решить, используя ультрарадикалы (также известные как радикалы Бринга), являющиеся единственным вещественным корнем для вещественных чисел a. В 1858 году Шарль Эрмит продемонстрировал, что радикал Бринга можно характеризовать в терминах тета-функций Якоби и связанных с ними эллиптических модулярных функций, используя подход, аналогичный более известному методу решения кубических уравнений посредством тригонометрических функций. Приблизительно в то же время Леопольд Кронекер, применяя теорию групп, разработал более простой способ вывода результата Эрмита, как и Франческо Бриоски. Позднее Феликс Клейн предложил метод, связывающий симметрии икосаэдра, теорию Галуа и эллиптические модулярные функции, присутствующие в решении Эрмита, что даёт объяснение их появлению, и разработал собственное решение в терминах обобщённых гипергеометрических функций. Схожие явления наблюдаются для уравнений седьмой (септических) и одиннадцатой степени, как было исследовано Клейном и описано в.