Кіріспе
Нақты сандар топологиясы
Математикада, төменгі шек топологиясы немесе оң жартылай ашық аралық топологиясы – нақты сандар жиынында , анықталатын топология; ол нақты сандардағы стандартты топологиядан (ашық аралықтармен жасалған) өзгеше және бірқатар қызықты қасиеттерге ие. Бұл, a және b нақты сандар болатын, барлық жартылай ашық аралықтар [a, b) негізімен жасалған топология. Соның нәтижесінде пайда болған топологиялық кеңістік Роберт Соргенфридің құрметіне Соргенфри сызығы деп аталады немесе "жебе" деп белгіленеді. Кантор жиыны мен ұзын сызық сияқты, Соргенфри сызығы жиі жалпы топологиядағы көптеген сенімді көрінетін болжамдарға қарсы мысал ретінде қолданылады. Оның өзімен-өзінің көбейтіндісі де Соргенфри жазығы деп аталатын пайдалы қарсы мысал болып табылады. Толық аналогия бойынша, жоғары шек топологиясын немесе сол жартылай ашық аралық топологиясын да анықтауға болады.
In mathematics, the lower limit topology or right half open interval topology is a topology defined on , the set of real numbers; it is different from the standard topology on (generated by the open intervals) and has a number of interesting properties. It is the topology generated by the basis of all half open intervals [a,b), where a and b are real numbers. The resulting topological space is called the Sorgenfrey line after Robert Sorgenfrey or the arrow and is sometimes written Like the Cantor set and the long line, the Sorgenfrey line often serves as a useful counterexample to many otherwise plausible sounding conjectures in general topology. The product of with itself is also a useful counterexample, known as the Sorgenfrey plane. In complete analogy, one can also define the upper limit topology, or left half open interval topology.
Қасиеттері
Төменгі шек топологиясы нақты сандардағы стандартты топологиядан (ашық аралықтармен жасалған) гөрі нәзік (көбірек ашық жиындарға ие). Бұл себебі әрбір ашық аралықты жартылай ашық аралықтардың (саны санаусыз) бірістігі ретінде жазуға болады. Кез келген нақты сан x және y үшін, [x, y) аралығы Sorgenfrey кеңістігінде clopen (яғни, ашық және жабық) болады. Сонымен қатар, барлық нақты сандар үшін x, жиындар (-∞, x) және (x, ∞) да clopen болады. Бұл Соргенфри сызығы толығымен үзіліссіз екенін көрсетеді. Sorgenfrey кеңістігінің кез келген компактты жиыны ең көп санаулы жиын болуы керек. Мұны көру үшін, бос емес компактты жиынды қарастырайық. Бір x-ті бекітіп, келесі ашық қаптаманы қарастырайық:
Бұл қаптама компактты болғандықтан, оның шекті ішкі қаптамасы бар, сондықтан x-тен басқа Sorgenfrey жиынында нүкте жоқ болатын нақты сан бар. Бұл барлық x үшін дұрыс. Енді бір рационалды санды таңдайық. Егер интервалдар, x-ке тәуелді, жұп-жұп ажыратылған болса, онда f функциясы инъективті болады, сондықтан жиын ең көп санаулы. Жиын төменнен шектелген және "" тәртібімен жабдықталған болса (бұл оның жоғарыдан да шектелгенін білдіреді), онда жиынның компактты екені байқалады. "Төменгі шек топологиясы" атауы келесі фактіден туындайды: Sorgenfrey кеңістігіндегі тізбек (немесе желі) x шегіне жуысады, егер және тек қана ол "оң жақтан x-ке жуысады", яғни кез келген ε үшін, x-тен үлкен және ε-дан кіші болатын элементтің индексі табылады. Соргенфри сызығы осылайша оң жақты шектерді зерттеу үшін қолданылуы мүмкін: егер f функциясы болса, онда f функциясының x нүктесіндегі стандартты оң жақты шегі (кодомен стандартты топологияны алып жүргенде), домен төменгі шек топологиясымен жабдықталғанда және кодомен стандартты топологияны алып жүргенде, f функциясының x нүктесіндегі әдеттегі шегімен бірдей болады. Айырысу аксиомалары тұрғысынан, Sorgenfrey кеңістігі толыққанды қалыпты Хаусдорф кеңістігі болып табылады. Санау аксиомалары тұрғысынан, Sorgenfrey кеңістігі бірінші санаулы және бөлінетін, бірақ екінші санаулы емес. Тығыздық қасиеттері тұрғысынан, Sorgenfrey кеңістігі Линдлеф және паракомпакт, бірақ σ-тығыз емес және жергілікті тығыз емес. Sorgenfrey кеңістігі метрикалық емес, өйткені бөлінетін метрикалық кеңістіктер екінші санаулы болады. Дегенмен, Соргенфри сызығының топологиясы квазиметриялық арқылы жасалады. Sorgenfrey кеңістігі Baire кеңістігі болып табылады. Sorgenfrey кеңістігінің байланысқан компакттамалары жоқ.