Введение
Топология на вещественных числах
В математике топология нижнего предела, или топология правых полуинтервалов, — это топология, определённая на ℝ, множестве вещественных чисел; она отличается от стандартной топологии на ℝ (порождённой открытыми интервалами) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порождённая базой, состоящей из всех полуинтервалов [a, b), где a и b — вещественные числа. Полученное топологическое пространство называется линией Соргенфрея в честь Роберта Соргенфрея или «стрелкой» и иногда обозначается как. Подобно множеству Кантора и длинной линии, линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером для многих, на первый взгляд правдоподобных, утверждений в общей топологии. Произведение ℝ на себя также является полезным контрпримером, известным как плоскость Соргенфрея. По аналогии можно также определить топологию верхнего предела, или топологию левых полуинтервалов.
In mathematics, the lower limit topology or right half open interval topology is a topology defined on , the set of real numbers; it is different from the standard topology on (generated by the open intervals) and has a number of interesting properties. It is the topology generated by the basis of all half open intervals [a,b), where a and b are real numbers. The resulting topological space is called the Sorgenfrey line after Robert Sorgenfrey or the arrow and is sometimes written Like the Cantor set and the long line, the Sorgenfrey line often serves as a useful counterexample to many otherwise plausible sounding conjectures in general topology. The product of with itself is also a useful counterexample, known as the Sorgenfrey plane. In complete analogy, one can also define the upper limit topology, or left half open interval topology.
Свойства
Топология нижнего предела более тонка (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология на вещественных числах (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал может быть записан как (счетно бесконечный) объединение полуоткрытых интервалов. Для любого вещественного числа и , интервал является замкнутым и открытым (т.е. климкнутым) в . Кроме того, для всех вещественных чисел , множества и также являются климкнутыми. Это показывает, что линия Соргенфрея совершенно несвязна. Любое компактное подмножество должно быть, как максимум, счетным множеством. Чтобы увидеть это, рассмотрим непустое компактное подмножество . Зафиксируем , рассмотрим следующее открытое покрытие :
Поскольку компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие, и, следовательно, существует вещественное число такое, что интервал не содержит точек из , кроме . Это верно для всех . Теперь выберем рациональное число . Поскольку интервалы , параметризованные , попарно не пересекаются, функция инъективна, и, следовательно, является, как максимум, счетным. Можно отметить, что подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено снизу и хорошо упорядочено при наделении отношением порядка "" (что, в частности, подразумевает, что оно ограничено сверху). Название "топология нижнего предела" происходит из следующего факта: последовательность (или сеть) в сходится к пределу тогда и только тогда, когда она "приближается к справа", то есть для каждого существует индекс такой, что . Линия Соргенфрея может быть использована для изучения правосторонних пределов: если – функция, то обычный правосторонний предел в (при стандартной топологии на кодомене) совпадает с обычным пределом в при наделении домена топологией нижнего предела и стандартной топологией на кодомене. В терминах аксиом разделения, – совершенно нормальное пространство Хаусдорфа. В терминах аксиом счетности, счетно первое и сепарабельно, но не счетно второе. В терминах свойств компактности, – Линделёфа и паракомпактно, но не σ-компактно и не локально компактно. не является метризуемым, поскольку сепарабельные метрические пространства счетно второе. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрикой. – пространство Бэйра. не имеет компактных связных расширений.