Копроизведение в теории категорий

Введение

Категорно-теоретическое построение
Сопроизведения в категориях

В теории категорий сопроизведение, или категорическая сумма, — это построение, примерами которого являются дизъюнктное объединение множеств и топологических пространств, свободное произведение групп, а также прямая сумма модулей и векторных пространств. Сопроизведение семейства объектов по существу является "наименее конкретным" объектом, в который каждый объект из семейства допускает морфизм. Это категорно-теоретическое двойственное понятие к категорному произведению, что означает, что определение такое же, как и для произведения, но со всеми стрелками, направленными в противоположную сторону. Несмотря на это, казалось бы, незначительное изменение в названии и обозначениях, сопроизведения могут быть и обычно существенно отличаются от произведений.

Примеры

Сопродукт в категории множеств — это просто непересекающееся объединение, причём отображения ij являются отображениями включения. В отличие от прямых произведений, сопродукты в других категориях не всегда очевидным образом основаны на понятии для множеств, поскольку объединения плохо сохраняют операции (например, объединение двух групп не обязательно является группой), и поэтому сопродукты в различных категориях могут существенно отличаться друг от друга. Например, сопродукт в категории групп, называемый свободным произведением, довольно сложен. С другой стороны, в категории абелевых групп (и аналогично для векторных пространств) сопродукт, называемый прямой суммой, состоит из элементов прямого произведения, имеющих лишь конечное число ненулевых слагаемых. (Следовательно, он точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа сомножителей.) Для коммутативного кольца R сопродукт в категории коммутативных R-алгебр является тензорным произведением. В категории (некоммутативных) R-алгебр сопродукт является фактор-алгеброй тензорной алгебры (см. свободное произведение ассоциативных алгебр). В случае топологических пространств сопродуктами являются непересекающиеся объединения с соответствующей топологией непересекающегося объединения. То есть это непересекающееся объединение базовых множеств, а открытые множества — это множества, открытые в каждом из пространств, в довольно очевидном смысле. В категории точечных пространств, фундаментальной в теории гомотопий, сопродукт является клиновой суммой (которая заключается в соединении коллекции пространств с базовыми точками в общей базовой точке). Концепция непересекающегося объединения скрыто лежит в основе вышеприведённых примеров: прямая сумма абелевых групп — это группа, порождённая «почти» непересекающимся объединением (непересекающееся объединение всех ненулевых элементов вместе с общим нулём), аналогично для векторных пространств: пространство, порождённое «почти» непересекающимся объединением; свободное произведение для групп порождается множеством всех букв из аналогичного «почти непересекающегося» объединения, где не допускается коммутация двух элементов из разных множеств. Этот принцип применим к любому многообразию в смысле универсальной алгебры. Сопродукт в категории банаховых пространств с короткими отображениями — это l¹-сумма, которую нельзя так легко представить как «почти» непересекающуюся сумму, но единичный шар которой почти непересекающим образом порождается единичным шаром кофакторов. Сопродукт категории частично упорядоченных множеств — это операция присоединения.

The coproduct in the category of sets is simply the disjoint union with the maps ij being the inclusion maps. Unlike direct products, coproducts in other categories are not all obviously based on the notion for sets, because unions don't behave well with respect to preserving operations (e. g. the union of two groups need not be a group), and so coproducts in different categories can be dramatically different from each other. For example, the coproduct in the category of groups, called the free product, is quite complicated. On the other hand, in the category of abelian groups (and equally for vector spaces), the coproduct, called the direct sum, consists of the elements of the direct product which have only finitely many nonzero terms. (It therefore coincides exactly with the direct product in the case of finitely many factors.) Given a commutative ring R, the coproduct in the category of commutative R algebras is the tensor product. In the category of (noncommutative) R algebras, the coproduct is a quotient of the tensor algebra (see free product of associative algebras). In the case of topological spaces, coproducts are disjoint unions with their disjoint union topologies. That is, it is a disjoint union of the underlying sets, and the open sets are sets open in each of the spaces, in a rather evident sense. In the category of pointed spaces, fundamental in homotopy theory, the coproduct is the wedge sum (which amounts to joining a collection of spaces with base points at a common base point). The concept of disjoint union secretly underlies the above examples: the direct sum of abelian groups is the group generated by the "almost" disjoint union (disjoint union of all nonzero elements, together with a common zero), similarly for vector spaces: the space spanned by the "almost" disjoint union; the free product for groups is generated by the set of all letters from a similar "almost disjoint" union where no two elements from different sets are allowed to commute. This pattern holds for any variety in the sense of universal algebra. The coproduct in the category of Banach spaces with short maps is the l^(1) sum, which cannot be so easily conceptualized as an "almost disjoint" sum, but does have a unit ball almost disjointly generated by the unit ball is the cofactors. The coproduct of a poset category is the join operation.