Кіріспе

Ықтималдық теориясындағы теорема. Ықтималдық теориясында толық дисперсия заңы немесе дисперсияның ыдырау формуласы, немесе шартты дисперсия формулалары, сондай-ақ Ив заңы деп те аталатын қайталанған дисперсиялар заңы, егер және бірдей ықтималдық кеңістікте кездейсоқ шамалар болса және дисперсиясы шекті болса, онда…

Статистиктерге ықтималдық теорияшыларынан гөрі жақсы таныс тілмен айтқанда, екі термин дисперсияның тиісінше "түсіндірілмейтін" және "түсіндірілген" компоненттері болып табылады (қ.с. түсіндірілмеген дисперсияның үлесі, түсіндірілген өзгеріс). Актуарлық ғылымда, әсіресе сенімділік теориясында, бірінші компонент процесс дисперсиясының күтілетін мәні (EVPV) деп, ал екіншісі – гипотетикалық орташаның дисперсиясы (VHM) деп аталады. Осы екі компонент "Ив заңы" терминіне де негіз болады, "дисперсияның күтілуі" және "күтілудің дисперсиясы" деген сөздердің бас әріптерінен – EV VE.

Түсіндірме

Жоғарыдағы формуланы түсіну үшін кездейсоқ айнымалыларды түсіну қажет. Бұл айнымалылар берілген мәні үшін: тәуелді және тұрақты сандар болып табылады. Біз -ның мүмкін мәндерін пайдаланып нәтижелерді топтастырамыз, содан кейін әрбір топтың күтілетін мәндері мен дисперсиясын есептейміз. "Түсіндірілмеген" компонент – бұл әр топтағы -ның дисперсияларының орташасы. "Түсіндірілген" компонент – күтілетін мәндердің дисперсиясы, яғни ол әр топ үшін -ның орташа мәнінің өзгеруімен түсіндірілетін дисперсияның бөлігін білдіреді. Мысал ретінде иттер көрмесінің мысалын қарастырайық (дисперсиялық талдаудың таңдалған үзіндісі#Мысал). Кездейсоқ айнымалы иттің салмағына, ал екіншісі тұқымына сәйкес болсын. Бұл жағдайда салмақтағы дисперсияның басым бөлігін тұқым түсіндіреді деп күту орынды, себебі тұқымдардың орташа салмақтарында үлкен айырмашылық бар. Әрине, әр тұқымның салмағында да дисперсия болады, ол "түсіндірілмеген" компонентте ескеріледі. "Түсіндірілген" терминінің шын мәнінде "орташа мәндермен түсіндірілгенін" білдіретінін ескеріңіз. Егер әрбір белгілі (мысалы, жоғарыдағы мысалдағы әр тұқым үшін) дисперсиялар өте ерекше болса, онда бұл дисперсиялар "түсіндірілмеген" компонентте біріктіріледі.

2-ші мысал

X - бұл монетаны лақтыру, оның сырға түсу ықтималдығы h деп есептеліңіз. Егер X сырға түссе, Y қалыпты таралымнан орташасы μ₁ және стандартты ауытқуы σ₁ болатын мәндермен алынады, ал егер X құйрыққа түссе, Y қалыпты таралымнан орташасы μ₂ және стандартты ауытқуы σ₂ болатын мәндермен алынады. Онда жоғарыдағы формуланың оң жағындағы бірінші, "түсіндірілмеген" мүше – дисперсиялардың салмақталған орташасы, ал екінші, "түсіндірілген" мүше – h ықтималдығымен μ₁ және 1-h ықтималдығымен μ₂ мәнін беретін таралымның дисперсиясы.

Динамикалық жүйелерге қолданылатын жалпы дисперсиялық ыдырау

Келесі формула жалпы, өлшемдік теориялық дисперсияны ыдырату формуласын стохастикалық динамикалық жүйелерге қалай қолдануға болатынын көрсетеді. демек, жүйелік айнымалының t уақытындағы мәні болсын. Бізде ішкі тарихтар (табиғи сүзгілер) бар делік, олардың әрқайсысы жүйелік айнымалылардың әртүрлі жиынтығының тарихына (траекториясына) сәйкес келеді. Жиынтықтар өзара шектес болмауы мүмкін. -ның дисперсиясын кез келген t уақытында келесідей компоненттерге ыдыратуға болады:

Бұл ыдырату бірегей емес. Ол тізбекті ыдыратудағы шарттылықтың ретіне байланысты.