Кіріспе
Алгебрада, бас коэффициенті 1-ге тең көптік – нөлдік емес бір айнымалы көптік (яғни, бір ғана айнымалысы бар көптік), ондағы бас коэффициент (ең жоғары дәрежелі нөлдік емес коэффициент) 1-ге тең болады. Яғни, бас коэффициенті 1-ге тең көптік мына түрде жазылуы мүмкін:
In algebra, a monic polynomial is a non zero univariate polynomial (that is, a polynomial in a single variable) in which the leading coefficient (the nonzero coefficient of highest degree) is equal to 1. That is to say, a monic polynomial is one that can be written as
мұндағы
Қолданылуы
Моник көпшелер алгебра мен сандар теориясында кеңінен қолданылады, себебі олар көптеген жеңілдетулер жасап, бөлулер мен бөлшектерден сақтануға мүмкіндік береді. Міне, бірнеше мысал. Кез келген көпше бірегей моник көпшемен байланысты. Атап айтқанда, көпшелердің бірегей жіктелу қасиетін былай тұжырымдауға болады: Кез келген көпше оның жетекші коэффициенті мен моник азайтылмайтын көпшелердің көбейтіндісі ретінде бірегей түрде жіктеледі. Виет формулалары моник көпшелер үшін қарапайым: n дәрежелі моник көпшенің түбірлерінің i-ші элементарлық симметриялық функциясы , мұнда – анықталмағанның (n-i)-ші дәрежесінің коэффициенті. Моник көпшеге көпшенің Евклидтік бөлінуі коэффициенттерді бөлуді қамтамасыз етпейді. Сондықтан, ол коммутативті сақинадағы коэффициенттері бар көпшелер үшін анықталған. Алгебралық бүтін сандар – бүтін коэффициенттері бар моник көпшелердің түбірлері ретінде анықталады.
Негізгі элементтер
Мониктік полиномиалдық теңдеулер алгебралық бүтін сандар теориясының және жалпы алғанда интегралды элементтердің негізінде жатыр. R F өрісінің суббұрышы болсын; бұл R интегралды домен екенін білдіреді. F өрісінің a элементі, егер ол R-дегі коэффициенттері бар мониктік полиномның түбірі болса, R-ге қатысты интегралды болып табылады. Бұл терминологияның себебі – бүтін сандардың дәл рационалды сандардың алгебралық бүтін сандар екендігі. Бұл рационалдық түбір теоремасынан туындайды, ол егер рационалдық сан бүтін коэффициенттері бар полиномның түбірі болса, онда q жетекші коэффициенттің бөлгіші болады; демек, егер полином мониктік болса, онда p/q = m және сан бүтін сан болады. Керісінше, p бүтін саны мониктік полиномның түбірі болып табылады.
A complex number that is integral over the integers is called an algebraic integer. This terminology is motivated by the fact that the integers are exactly the rational numbers that are also algebraic integers. This results from the rational root theorem, which asserts that, if the rational number is a root of a polynomial with integer coefficients, then q is a divisor of the leading coefficient; so, if the polynomial is monic, then and the number is an integer. Conversely, an integer p is a root of the monic polynomial
It can be proved that, if two elements of a field F are integral over a subring R of F, then the sum and the product of these elements are also integral over R. It follows that the elements of F that are integral over R form a ring, called the integral closure of R in K. An integral domain that equals its integral closure in its field of fractions is called an integrally closed domain. These concepts are fundamental in algebraic number theory. For example, many of the numerous wrong proofs of the Fermat's Last Theorem that have been written during more than three centuries were wrong because the authors supposed wrongly that the algebraic integers in an algebraic number field have unique factorization.
Егер F өрісінің екі элементі R суббұрышына қатысты интегралды болса, онда осы элементтердің қосындысы мен көбейтіндісі де R-ге қатысты интегралды болады. Осыдан, R-ге қатысты интегралды болатын F өрісінің элементтері сақина құрайды, ол R-дің K-дегі интегралды жабылуы деп аталады. Бөлгіш өрісіндегі интегралды жабылуына тең болатын интегралды домен интегралды жабық домен деп аталады. Бұл ұғымдар алгебралық сандар теориясындағы негізгі ұғымдар болып табылады. Мысалы, үш ғасырдан астам уақыт бойы жазылған Ферманың соңғы теоремасының көптеген дұрыс емес дәлелдемелері қате болды, өйткені авторлар алгебралық сандар өрісіндегі алгебралық бүтін сандардың бірегей факторлануы бар деп дұрыс емес тұжырым жасады.
A complex number that is integral over the integers is called an algebraic integer. This terminology is motivated by the fact that the integers are exactly the rational numbers that are also algebraic integers. This results from the rational root theorem, which asserts that, if the rational number is a root of a polynomial with integer coefficients, then q is a divisor of the leading coefficient; so, if the polynomial is monic, then and the number is an integer. Conversely, an integer p is a root of the monic polynomial
It can be proved that, if two elements of a field F are integral over a subring R of F, then the sum and the product of these elements are also integral over R. It follows that the elements of F that are integral over R form a ring, called the integral closure of R in K. An integral domain that equals its integral closure in its field of fractions is called an integrally closed domain. These concepts are fundamental in algebraic number theory. For example, many of the numerous wrong proofs of the Fermat's Last Theorem that have been written during more than three centuries were wrong because the authors supposed wrongly that the algebraic integers in an algebraic number field have unique factorization.