Введение

Полином с ведущим коэффициентом 1

В алгебре моничный полином — это ненулевой полином от одной переменной (то есть полином в одной переменной), в котором старший коэффициент (не нулевой коэффициент наивысшей степени) равен 1. Иными словами, моничный полином — это полином, который можно записать как

с

Применение

Монические полиномы широко используются в алгебре и теории чисел, поскольку они приводят ко многим упрощениям и позволяют избежать делений и знаменателей. Вот несколько примеров. Любой многочлен связан с единственным моническим полиномом. В частности, свойство единственной факторизации многочленов можно сформулировать так: любой многочлен можно единственным образом разложить на произведение его старшего коэффициента и произведение монических неприводимых полиномов. Формулы Виета проще в случае монических полиномов: i-я элементарная симметричная функция корней монического полинома степени n равна , где – коэффициент при (n−i)-й степени переменной. Евклидово деление многочлена на монический полином не приводит к делению коэффициентов. Следовательно, оно определено для многочленов с коэффициентами в коммутативном кольце. Алгебраические целые числа определяются как корни монических полиномов с целочисленными коэффициентами.

Неотъемлемые элементы

Монические полиномиальные уравнения лежат в основе теории алгебраических целых и, в более общем смысле, интегральных элементов. Пусть R – подкольцо поля F; это подразумевает, что R является целостным кольцом. Элемент a поля F является целым над R, если он является корнем момонического многочлена с коэффициентами в R.

Комплексное число, являющееся целым над целыми числами, называется алгебраическим целым. Эта терминология обусловлена тем, что целые числа – это как раз рациональные числа, которые также являются алгебраическими целыми. Это следует из теоремы о рациональных корнях, которая утверждает, что если рациональное число p/q является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то q является делителем старшего коэффициента; следовательно, если многочлен момонический, то q = 1 и число p является целым. Обратно, целое число p является корнем мономического многочлена.

Можно доказать, что если два элемента поля F являются целыми над подкольцом R поля F, то их сумма и произведение также являются целыми над R. Отсюда следует, что элементы F, являющиеся целыми над R, образуют кольцо, называемое интегральным замыканием R в F. Целостное кольцо, равное своему интегральному замыканию в своем поле частных, называется интегрально замкнутым кольцом. Эти понятия фундаментальны в алгебраической теории чисел. Например, многие из многочисленных неверных доказательств последней теоремы Ферма, написанных за более чем три столетия, были ошибочными, поскольку авторы неверно полагали, что алгебраические целые в алгебраическом числовом поле имеют единственную факторизацию.