Кіріспе
Кешенді талдаудағы ұғым. Кешенді талдауда Харди кеңістіктері (немесе Харди кластары) Hp – бірлік дискіде немесе жоғарғы жарты жазықтықтағы голоморфты функциялардың белгілі бір кеңістіктері. Оларды Фригиес Риес енгізді, және оларды Г.Х. Хардидің құрметіне оның атымен атады. Нақты талдауда Харди кеңістіктері – нақты түзудегі белгілі бір таралымдар кеңістіктері болып табылады, олар (таралымдар мағынасында) кешенді Харди кеңістіктерінің голоморфты функцияларының шекаралық мәндері және функционалдық талдаудың Lp кеңістіктерімен байланысты. 1 ≤ p < ∞ үшін бұл нақты Харди кеңістіктері Hp, Lp кеңістігінің белгілі бір ішкі жиындары болып табылады, ал p < 1 үшін Lp кеңістіктерінде кейбір қолайсыз қасиеттер бар, ал Харди кеңістіктері әлдеқайда жақсы қасиеттерге ие. Сондай-ақ, күрделі жағдайда түтік тәрізді домендердегі белгілі бір голоморфты функциялардан немесе нақты жағдайда Rn кеңістігіндегі белгілі бір таралым кеңістіктерінен тұратын жоғары өлшемді жалпыламалар бар. Харди кеңістіктері математикалық талдаудың өзінде, сондай-ақ басқару теориясында (мысалы, H∞ әдістері) және шашырау теориясында көптеген қолданысқа ие.
In complex analysis, the Hardy spaces (or Hardy classes) Hp are certain spaces of holomorphic functions on the unit disk or upper half plane. They were introduced by Frigyes Riesz , who named them after G. H. Hardy, because of the paper In real analysis Hardy spaces are certain spaces of distributions on the real line, which are (in the sense of distributions) boundary values of the holomorphic functions of the complex Hardy spaces, and are related to the Lp spaces of functional analysis. For 1 ≤ p < ∞ these real Hardy spaces Hp are certain subsets of Lp, while for p < 1 the Lp spaces have some undesirable properties, and the Hardy spaces are much better behaved. There are also higher dimensional generalizations, consisting of certain holomorphic functions on tube domains in the complex case, or certain spaces of distributions on Rn in the real case. Hardy spaces have a number of applications in mathematical analysis itself, as well as in control theory (such as H∞ methods) and in scattering theory.
Бірлік шеңбердегі нақты айнымалы техникалар
Нақты айнымалылар әдістері, негізінен Rn-де анықталған нақты Харди кеңістіктерін зерттеумен байланысты (төменде қараңыз), сонымен қатар шеңбердің қарапайым жағдайында да қолданылады. Бұл "нақты" кеңістіктерде кешенді функцияларды (немесе үлестірулерді) пайдалану – кең таралған практика. Келесі анықтама нақты және кешенді жағдайды ажыратпайды. Pr бірлік шеңбердегі Пуассон ядросын белгілейік. Бірлік шеңбердегі f үлестірімі үшін,
where the star indicates convolution between the distribution f and the function eiθ → Pr(θ) on the circle. Namely, (f ∗ Pr)(eiθ) is the result of the action of f on the C∞ function defined on the unit circle by
For 0 < p < ∞, the real Hardy space Hp(T) consists of distributions f such that M f is in Lp(T). The function F defined on the unit disk by F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ) is harmonic, and M f is the radial maximal function of F. When M f belongs to Lp(T) and p ≥ 1, the distribution f "is" a function in Lp(T), namely the boundary value of F. For p ≥ 1, the real Hardy space Hp(T) is a subset of Lp(T).
жұлдызша f үлестірімі мен eiθ → Pr(θ функциясы арасындағы конволюцияны білдіреді. Яғни, (f ∗ Pr)(eiθ) – бұл f-тің бірлік шеңберде анықталған C∞ функциясына қатысты әрекетінің нәтижесі. 0 < p < ∞ үшін, нақты Харди кеңістігі Hp(T) – M f Lp(T)-ге жататын f үлестірулерінің жиыны. Бірлік дискіде F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ) арқылы анықталған F функциясы гармоникалық, ал M f – F-тің радиалдық максималды функциясы. Егер M f Lp(T)-ге жатса және p ≥ 1 болса, f үлестірімі Lp(T)-дегі функция болып табылады, атап айтқанда, F-тің шекті мәні. p ≥ 1 үшін, нақты Харди кеңістігі Hp(T) – Lp(T)-нің ішкі жиыны.
where the star indicates convolution between the distribution f and the function eiθ → Pr(θ) on the circle. Namely, (f ∗ Pr)(eiθ) is the result of the action of f on the C∞ function defined on the unit circle by
For 0 < p < ∞, the real Hardy space Hp(T) consists of distributions f such that M f is in Lp(T). The function F defined on the unit disk by F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ) is harmonic, and M f is the radial maximal function of F. When M f belongs to Lp(T) and p ≥ 1, the distribution f "is" a function in Lp(T), namely the boundary value of F. For p ≥ 1, the real Hardy space Hp(T) is a subset of Lp(T).
0 < p < 1 үшін нақты Харди кеңістіктері
0 < p < 1 болған кезде, Hp-дағы F функциясы шеңбердегі оның шектік функциясының нақты бөлігінен қайта құрастырыла алмайды, себебі бұл жағдайда Lp-нің дөңестігі жоқ. Дөңестік орындалмайды, бірақ "кешенді дөңестік" сақталады, атап айтқанда, z → |z|q функциясы кез келген q > 0 үшін субгармониялық болады. Салдарынан, егер
is in Hp, it can be shown that cn = O(n1/p–1). It follows that the Fourier series
converges in the sense of distributions to a distribution f on the unit circle, and F(reiθ) =(f ∗ Pr)(θ). The function F ∈ Hp can be reconstructed from the real distribution Re(f) on the circle, because the Taylor coefficients cn of F can be computed from the Fourier coefficients of Re(f). Distributions on the circle are general enough for handling Hardy spaces when p < 1. Distributions that are not functions do occur, as is seen with functions F(z) = (1−z)−N (for |z| < 1), that belong to Hp when 0 < N p < 1 (and N an integer ≥ 1). A real distribution on the circle belongs to real Hp(T) iff it is the boundary value of the real part of some F ∈ Hp. A Dirac distribution δx, at any point x of the unit circle, belongs to real Hp(T) for every p < 1; derivatives δ′x belong when p < 1/2, second derivatives δ′′x when p < 1/3, and so on.
Hp-да болса, онда cn = O(n^(1/p–1)) екенін көрсетуге болады. Осыдан Фурье қатарлары бірлік шеңберіндегі f үлестіріміне таралады, және F(reiθ) = (f ∗ Pr)(θ). F ∈ Hp функциясы шеңбердегі Re(f) нақты үлестірімінен қайта құрастырылуы мүмкін, өйткені F-тің cn Тейлор коэффициенттерін Re(f) Фурье коэффициенттерінен есептеуге болады. Шеңбердегі үлестірулер p < 1 болғанда Харди кеңістіктерін қарастыру үшін жеткілікті. Үлестірулердің функциялар еместері де кездеседі, мысалы, F(z) = (1−z)−N (|z| < 1) функциялары, 0 < Np < 1 (және N – 1-ге тең немесе одан үлкен бүтін сан) болғанда Hp-ға жатады. Шеңбердегі нақты үлестіру, егер ол F ∈ Hp-ның нақты бөлігінің шектік мәні болса, нақты Hp(T)-ға жатады. Бірлік шеңбердің кез келген x нүктесіндегі Дирактың δx үлестіруі кез келген p < 1 үшін нақты Hp(T)-ға жатады; δ′x туындылары p < 1/2 болғанда, δ′′x екінші туындылары p < 1/3 болғанда жатады, және т.б.
is in Hp, it can be shown that cn = O(n1/p–1). It follows that the Fourier series
converges in the sense of distributions to a distribution f on the unit circle, and F(reiθ) =(f ∗ Pr)(θ). The function F ∈ Hp can be reconstructed from the real distribution Re(f) on the circle, because the Taylor coefficients cn of F can be computed from the Fourier coefficients of Re(f). Distributions on the circle are general enough for handling Hardy spaces when p < 1. Distributions that are not functions do occur, as is seen with functions F(z) = (1−z)−N (for |z| < 1), that belong to Hp when 0 < N p < 1 (and N an integer ≥ 1). A real distribution on the circle belongs to real Hp(T) iff it is the boundary value of the real part of some F ∈ Hp. A Dirac distribution δx, at any point x of the unit circle, belongs to real Hp(T) for every p < 1; derivatives δ′x belong when p < 1/2, second derivatives δ′′x when p < 1/3, and so on.