Введение
Понятие в комплексном анализе
В комплексном анализе пространства Харди (или классы Харди) Hp — это определенные пространства голоморфных функций на единичном диске или верхней полуплоскости. Они были введены Фригием Риессом, назвавшим их в честь Г. Х. Харди, в связи с работой в области вещественного анализа. В вещественном анализе пространства Харди представляют собой определенные пространства обобщенных функций на вещественной прямой, которые (в смысле обобщенных функций) являются предельными значениями голоморфных функций комплексных пространств Харди и связаны с пространствами Lp функционального анализа. Для 1 ≤ p < ∞ эти вещественные пространства Харди Hp являются определенными подмножествами Lp, в то время как для p < 1 пространства Lp обладают некоторыми нежелательными свойствами, а пространства Харди ведут себя значительно лучше. Существуют также многомерные обобщения, состоящие из определенных голоморфных функций на трубных областях в комплексном случае или определенных пространств обобщенных функций на Rn в вещественном случае. Пространства Харди имеют множество применений как в самом математическом анализе, так и в теории управления (например, H∞-методы) и в теории рассеяния.
Техники с реальными переменными на единичной круге
Методы вещественного анализа, главным образом связанные с изучением вещественных пространств Харди, определенных на Rn (см. ниже), также используются в более простой постановке на окружности. Распространенной практикой является допущение комплексных функций (или обобщенных функций) в этих "вещественных" пространствах. Следующее определение не различает вещественный и комплексный случаи. Пусть Pr обозначает ядро Пуассона на единичной окружности T. Для обобщенной функции f на единичной окружности определим
где звездочка обозначает свертку между обобщенной функцией f и функцией eiθ → Pr(θ) на окружности. А именно, (f ∗ Pr)(eiθ) – это результат действия f на гладкую функцию, определенную на единичной окружности, задаваемую выражением
Для 0 < p < ∞, вещественное пространство Харди Hp(T) состоит из обобщенных функций f, таких что M f принадлежит к Lp(T). Функция F, определенная на единичном диске как F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ), является гармонической, а M f – радиальной максимальной функцией F. Когда M f принадлежит к Lp(T) и p ≥ 1, обобщенная функция f "является" функцией в Lp(T), а именно, ее граничным значением F. Для p ≥ 1, вещественное пространство Харди Hp(T) является подмножеством Lp(T).
Реальные пространства Харди для 0 < p < 1
Когда 0 < p < 1, функцию F в Hp нельзя восстановить из действительной части её предельной функции на окружности из-за отсутствия выпуклости Lp в этом случае. Выпуклость нарушается, но сохраняется своего рода «комплексная выпуклость», а именно тот факт, что z → |z|q является субгармонической для любого q > 0. Как следствие, если
принадлежит Hp, можно показать, что cn = O(n1/p–1). Отсюда следует, что ряд Фурье
сходится в смысле распределений к распределению f на единичной окружности, и F(reiθ) = (f ∗ Pr)(θ). Функция F ∈ Hp может быть восстановлена из действительного распределения Re(f) на окружности, поскольку коэффициенты Тейлора cn функции F можно вычислить из коэффициентов Фурье Re(f). Распределения на окружности достаточно общи, чтобы работать с пространствами Харди при p < 1. Распределения, не являющиеся функциями, действительно возникают, как видно на примере функций F(z) = (1−z)−N (при |z| < 1), которые принадлежат Hp, когда 0 < Np < 1 (и N – целое число ≥ 1). Действительное распределение на окружности принадлежит пространству реальных Hp(T) тогда и только тогда, когда оно является предельным значением действительной части некоторого F ∈ Hp. Распределение Дирака δx в любой точке x единичной окружности принадлежит пространству реальных Hp(T) для всех p < 1; производные δ′x принадлежат пространству при p < 1/2, вторые производные δ′′x – при p < 1/3, и так далее.