Кіріспе

Математикалық өкілдік теориясы саласындағы Лай алгебрасының бейнелеуі немесе Лай алгебрасының өкілдігі – Лай алгебрасын матрицалар жиынтығы (немесе векторлық кеңістіктің эндоморфизмдері) түрінде жазудың әдісі болып табылады, онда Лай жақшасы коммутатор арқылы беріледі. Физика тілінде, белгілі бір тұрақты коммутациялық қатынастарды қанағаттандыратын векторлық кеңістік және операторлар жиынтығы іздестіріледі, мысалы, бұрыштық импульс операторлары қанағаттандыратын қатынастар сияқты. Бұл ұғым Лай тобының өкілдігімен тығыз байланысты. Шамамен айтқанда, Лай алгебраларының өкілдіктері Лай топтарының өкілдіктерінің дифференциалданған нысаны, ал Лай тобының әмбебап жабынының өкілдіктері оның Лай алгебрасының өкілдіктерінің интегралданған нысаны болып табылады. Лай алгебрасының өкілдіктерін зерттеуде, Лай алгебрасымен байланысты универсалды орау алгебрасы деп аталатын нақты бір сақина маңызды рөл атқарады. Бұл сақинаның универсалдығы Лай алгебрасының өкілдіктері санаты оның орау алгебрасы бойынша модульдер санатымен сәйкес екенін көрсетеді.

Кванттық физикада

Кванттық теорияда гильберт кеңістігіндегі өзіне-қосымша операторлар "көзденуге болатын шамалар" ретінде қарастырылады. Осы операторлар арасындағы коммутациялық қатынастар маңызды құрал болып табылады. Мысалы, бұрыштық импульс операторлары осы коммутациялық қатынастарды қанағаттандырады. Осы үш оператордың құрамындағы кеңістік Ли алгебрасын құрайды, ол айналыс тобы SO(3) Ли алгебрасына изоморфты. Егер кванттық гильберт кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі бұрыштық импульс операторларына қатысты инвариантты болса, онда ол so(3) Ли алгебрасының бейнесін құрайды. so(3) бейнелеу теориясын түсіну, мысалы, сутек атомы сияқты айналу симметриясы бар Гамильтондықтарды талдауға үлкен көмек береді. Кванттық физиканың басқа салаларында да көптеген басқа қызықты Ли алгебралары (және олардың бейнелері) кездеседі. Шындығында, бейнелеу теориясының тарихы математика мен физика арасындағы бай өзара әрекеттесумен сипатталады.

Өзгермейтін кіші кеңістіктер мен азайтылмаушылық

Ли алгебрасының бейнеленуі берілген болса, кеңістіктің "V" ішкі кеңістігі инвариантты деп аталады, егер барлық "x" және "A" үшін орындалса. Нөлдік емес бейнелену, егер жалғыз инвариантты ішкі кеңістіктер өзі және нөлдік кеңістік болса, ирредуктивті (толыққанды келтірілмейтін) деп айтылады. Ирредуктивті бейнелену үшін "қарапайым модуль" термині де қолданылады.

Гомоморфизмдер

Бұл Lie алгебрасы болсын. V, W модульдер болсын. Содан кейін сызықтық бейнелеу модульдердің гомоморфизмі болып табылады, егер ол эквивариантты болса; яғни, кез келген үшін . Егер f биективті болса, онда модульдер эквивалентті деп айтылады. Мұндай бейнелеулер өрілу карталары немесе морфизмдер деп те аталады. Сол сияқты, абстрактілік алгебрадағы модуль теориясынан көптеген басқа да құрылымдар осы жағдайға көшеді: субмодуль, бөлінді, субквотиент, тікелей қосынды, Жордан-Гёльдер қатары және т.б.

Шур леммасы

Шур леммасы - ирредукциялық өрнектерді зерттеуде қарапайым, бірақ пайдалы құрал. Оның екі бөлігі бар: егер V және W ирредукциялық модульдер болса және f : V → W гомоморфизм болса, онда f нөлдік гомоморфизм немесе изоморфизм болады. Егер V алгебралық жабық өріс үстіндегі ирредукциялық модуль болса және f : V → V гомоморфизм болса, онда f сәйкестік операторының скалярлық еселігі болады.

Толық қайталану

V-ді Лай алгебрасының бейнелеуі деп есептейік. Егер ол қысқартылмайтын бейнелеулердің тікелей қосындысына изоморф болса, онда V толықтай қысқартылатын (немесе жартылай қарапайым) деп аталады (қ. жартылай қарапайым модуль). Егер V шекті өлшемді болса, онда V толықтай қысқартылатын болады, егер және тек қана V-дің кез келген инвариантты кіші кеңістігінде инвариантты толықтырушы болса. (Яғни, егер W инвариантты кіші кеңістік болса, онда V, W мен P-нің тікелей қосындысы болатын тағы бір инвариантты P кіші кеңістігі бар.)

Егер V – нөлдік сипаттамасы бар өріс бойынша шекті өлшемді жартылай қарапайым Лай алгебрасы болса және V шекті өлшемді болса, онда V жартылай қарапайым болады; бұл Вейльдің толық қысқарту теоремасы. Осылайша, жартылай қарапайым Лай алгебралары үшін қысқартылмайтын (яғни қарапайым) бейнелеулерді жіктеу барлық бейнелеулерді жіктеуге тікелей әкеледі. Басқа Лай алгебралары үшін, егер оларда осы ерекше қасиет болмаса, қысқартылмайтын бейнелеулерді жіктеу жалпы бейнелеулерді жіктеуге көп көмектеспеуі мүмкін. Лай алгебрасы редуктивті деп аталады, егер оның қосымша бейнелеуі жартылай қарапайым болса. Әрине, кез келген (шекті өлшемді) жартылай қарапайым Лай алгебрасы редуктивті болады, өйткені оның кез келген бейнелеуі толықтай қысқартылатын болады, біз қазір атап өткендей. Керісінше, редуктивті Лай алгебрасының анықтамасы оның идеалдардың тікелей қосындысы ретінде ыдырайды дегенді білдіреді (яғни, қосымша бейнелеу үшін инвариантты кіші кеңістіктер), онда тривиалды емес кіші идеалдар жоқ. Осы идеалдардың кейбіреуі бір өлшемді болады, ал қалғандары қарапайым Лай алгебралары. Осылайша, редуктивті Лай алгебрасы коммутативті алгебра мен жартылай қарапайым алгебраның тікелей қосындысы болып табылады.

Өзгермейтіндер

V жиынындағы v элементі, егер ол барлық жағдайларда өзгермейтін болса, инвариант деп аталады. Барлық инвариант элементтер жиыны деп белгіленеді.

Сызықтық карталарда бейнелеу

Модульдер болсын, және – Ли алгебрасы. Онда модульді былай деп орнату арқылы модульге айналады: . Атап айтқанда, ; яғни, -ден -ға модуль гомоморфизмдері – осылай анықталған -тың әрекетіне қатысты өзгермейтін элементтері ғана болып табылады. Егер бізді негізгі өріс деп алсақ, бұл -тың -ға қатысты әрекетін алдынғы тақырыпшада келтірілгендей қайта аламыз.

Жартылай қарапайым Ли алгебраларының бейнелеу теориясы

Жарым қарапайым Ли алгебраларының өкілдік теориясын қараңыз.

Қоршау алгебралары

К өрісі бойынша әрбір Lie алгебрасына белгілі бір сақинаны байланыстыруға болады, ол universal enveloping algebra деп аталады және оны деп белгілейміз. Universal enveloping algebra-ның универсалды қасиеті, -нің кез келген бейнелеуі -нің бейнелеуін тудыратынын кепілдендіреді. Керісінше, PBW теоремасы бізге -нің ішінде орналасқанын айтады, сондықтан -нің кез келген бейнелеуін -ге шектеуге болады. Осылайша, -нің бейнелеулері мен -нің бейнелеулері арасында бір-бірге сәйкестік бар.
Universal enveloping algebra жоғарыда сипатталған жартылай қарапайым Lie алгебраларының бейнелеу теориясында маңызды рөл атқарады. Атап айтқанда, шекті өлшемді бөлгішсіз бейнелеулер Верма модульдерінің факторлары ретінде құрастырылады, ал Верма модульдері universal enveloping algebra-ның факторлары ретінде құрастырылады. -нің құрылысы мынадай. Т векторлық кеңістіктің тензорлық алгебрасы болсын. Осылайша, анықтамасы бойынша, және оның көбейтуі арқылы беріледі. Т-нің түріндегі элементтермен туындаған идеалға қатысты Т-нің факторлық сақинасы болсын.
PBW теоремасы канондық бейнелеудің инъективті екенін білдіреді. Осылайша, әрбір Lie алгебрасын ассоциативтік алгебраға енгізуге болады, онда -дағы кронштейн берілген.
Егер - абельдік болса, онда - векторлық кеңістіктің симметриялық алгебрасы болады.
-нің өзінің үстінен қосымша бейнелеу арқылы модуль болғандықтан, enveloping algebra -нің модулі болады. Бірақ сол және оң жақты тұрақты бейнелеуді қолданып, enveloping algebra-ны модульге айналдыруға болады; атап айтқанда, белгілемемен , карталау -та бейнелеуді анықтайды. Оң жақты тұрақты бейнелеу де осылай анықталады.

Шексіз өлшемді бейнелеулер және "O санаты"

Таңбалық нөл өрісіндегі шекті өлшемді жартылай қарапайым Ли алгебрасын қарастырайық. (Шешілетін немесе нильпотент жағдайында, қоршаушы алгебраның бастапқы идеалдары зерттеледі; толық мәліметтер үшін Диксмиерге қараңыз.) -нің (мүмкін шексіз өлшемді) модульдер санаты тым кең болып шығады, әсіресе гомологиялық алгебра әдістерін қолдану үшін: нөлдік сипаттағы жартылай қарапайым жағдайда бейнелеу теориясы үшін O санатының кіші субкатегориясы тиімдірек екені анықталды. Мысалы, O санаты белгілі BGG өзара байланысын формулировать үшін қажетті өлшемге ие болып шықты.

(g,K) - модулі

Ли алгебрасы бейнелерінің ең маңызды қолдануларының бірі – нақты редуктивті Ли топтарының бейнелеу теориясы болып табылады. Бұл қолданыс, егер – байланысты нақты жартылай қарапайым сызықтық Ли тобы G-нің Гильберт кеңістігіндегі бейнелеуі болса, онда оның екі табиғи әрекеттемесі бар деген идеяға негізделген: кешендік және байланысты максималды ықшам кіші топ K. модулінің құрылымы алгебралық, әсіресе гомологиялық әдістерді қолдануға мүмкіндік береді, ал модулінің құрылымы байланысты ықшам жартылай қарапайым Ли топтарындағыдай гармониялық талдау жүргізуге мүмкіндік береді.