Введение
В математической области теории представлений, представление алгебры Ли — это способ описания алгебры Ли как множества матриц (или эндоморфизмов векторного пространства), таким образом, что скобка Ли задается коммутатором. С точки зрения физики, ищут векторное пространство вместе с набором операторов, действующих на это пространство, и удовлетворяющих определенному набору коммутационных соотношений, например, соотношениям, выполняемым операторами углового момента. Это понятие тесно связано с представлением группы Ли. В общих чертах, представления алгебр Ли можно рассматривать как дифференциальную форму представлений групп Ли, а представления универсальной накрывающей группы Ли — как интегральную форму представлений ее алгебры Ли. При изучении представлений алгебры Ли важную роль играет особое кольцо, называемое универсальной обволакивающей алгеброй, ассоциированной с этой алгеброй Ли. Универсальность этого кольца означает, что категория представлений алгебры Ли эквивалентна категории модулей над ее обволакивающей алгеброй.
В квантовой физике
В квантовой теории "наблюдаемые" рассматриваются как самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Коммутационные соотношения между этими операторами являются важным инструментом. Операторы углового момента, например, удовлетворяют определённым коммутационным соотношениям. Таким образом, линейная оболочка этих трёх операторов образует алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли so(3) группы вращений SO(3). Тогда, если – какое-либо подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, оно будет представлять собой представление алгебры Ли so(3). Понимание теории представлений so(3) очень полезно, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода. Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других областях квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется тесным взаимодействием между математикой и физикой.
Неизменные подпространства и необратимость
При заданном представлении алгебры Ли, мы говорим, что подпространство V алгебры V является инвариантным, если для всех x из V и A из алгебры Ли выполняется условие xA принадлежит V. Неприводимым называется нетривиальное представление, единственными инвариантными подпространствами которого являются само оно и нулевое пространство. Термин "простой модуль" также используется для обозначения неприводимого представления.
Гомоморфизмы
Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебра Ли. Пусть $V$ и $W$ — $\mathfrak{g}$-модули. Тогда линейное отображение $f: V \to W$ является гомоморфизмом $\mathfrak{g}$-модулей, если оно $\mathfrak{g}$-эквивариантно; то есть, для любого $X \in \mathfrak{g}$ и любого $v \in V$ выполняется $f(Xv) = Xf(v)$. Если $f$ биективно, то $V$ и $W$ называются эквивалентными. Такие отображения также называют переплетающими отображениями или морфизмами. Аналогично, многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся в эту ситуацию: подмодуль, фактормодуль, фактор-подмодуль, прямая сумма, ряд Йордана — Гёльдера и т.д.
Лемма Шура
Простым, но полезным инструментом при изучении неприводимых представлений является лемма Шура. Она состоит из двух частей: если V и W – неприводимые модули, а φ – гомоморфизм, то φ либо равен нулю, либо является изоморфизмом. Если V – неприводимый модуль над алгебраически замкнутым полем, а φ – гомоморфизм, то φ является скалярным кратным тождественного оператора.
If V, W are irreducible modules and is a homomorphism, then is either zero or an isomorphism. If V is an irreducible module over an algebraically closed field and is a homomorphism, then is a scalar multiple of the identity.
Полная светимость
Пусть V — представление алгебры Ли. Тогда V называется полностью редуцируемым (или полупростым), если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений (см. полупростой модуль). Если V конечномерно, то V полностью редуцируемо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W — инвариантное подпространство, то существует другое инвариантное подпространство P, такое что V является прямой суммой W и P.) Если — конечномерная полупростая алгебра Ли над полем характеристики ноль, и V конечномерно, то V является полупростым; это полная теорема о полной редуцируемости Вейля. Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т. е. простых) представлений непосредственно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, не обладающих этим специальным свойством, классификация неприводимых представлений может мало помочь в классификации общих представлений. Алгебра Ли называется редуктивной, если сопряжённое представление полупростое. Очевидно, каждая (конечномерная) полупростая алгебра Ли является редуктивной, поскольку каждое её представление полностью редуцируемо, как мы только что отметили. В обратном направлении, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она раскладывается в прямую сумму идеалов (т. е. инвариантных подпространств для сопряжённого представления), не имеющих нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные — простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли является прямой суммой коммутативной алгебры и полупростой алгебры.
If is a finite dimensional semisimple Lie algebra over a field of characteristic zero and V is finite dimensional, then V is semisimple; this is Weyl's complete reducibility theorem. Thus, for semisimple Lie algebras, a classification of irreducible (i. e. simple) representations leads immediately to classification of all representations. For other Lie algebra, which do not have this special property, classifying the irreducible representations may not help much in classifying general representations. A Lie algebra is said to be reductive if the adjoint representation is semisimple. Certainly, every (finite dimensional) semisimple Lie algebra is reductive, since every representation of is completely reducible, as we have just noted. In the other direction, the definition of a reductive Lie algebra means that it decomposes as a direct sum of ideals (i. e., invariant subspaces for the adjoint representation) that have no nontrivial sub ideals. Some of these ideals will be one dimensional and the rest are simple Lie algebras. Thus, a reductive Lie algebra is a direct sum of a commutative algebra and a semisimple algebra.
Инварианты
Элемент v из V называется инвариантным, если для всех . Множество всех инвариантных элементов обозначается .
Представление на линейных картах
Пусть — модули, — алгебра Ли. Тогда становится -модулем, если задать . В частности, ; то есть, -модульные гомоморфизмы из в — это просто элементы , инвариантные относительно только что определенного действия на . Если мы возьмем в качестве базового поля, мы восстановим действие на , заданное в предыдущем подразделе.
Теория представления полупростых алгебр Ли
См. Теория представлений полупростых алгебр Ли.
Оболочки алгебры
Каждой алгебре Ли над полем k можно сопоставить определенное кольцо, называемое универсальной обволакивающей алгеброй и обозначаемое . Универсальное свойство универсальной обволакивающей алгебры гарантирует, что каждое представление алгебры Ли порождает представление . Напротив, теорема ПБВ утверждает, что алгебра Ли лежит внутри , так что каждое представление можно ограничить до . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями алгебры Ли и представлениями .
The universal enveloping algebra plays an important role in the representation theory of semisimple Lie algebras, described above. Specifically, the finite dimensional irreducible representations are constructed as quotients of Verma modules, and Verma modules are constructed as quotients of the universal enveloping algebra. The construction of is as follows. Let T be the tensor algebra of the vector space Thus, by definition, and the multiplication on it is given by Let be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form
There is a natural linear map from into obtained by restricting the quotient map of to degree one piece. The PBW theorem implies that the canonical map is actually injective. Thus, every Lie algebra can be embedded into an associative algebra in such a way that the bracket on is given by in
If is abelian, then is the symmetric algebra of the vector space
Since is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra becomes a module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a module; namely, with the notation , the mapping defines a representation of on The right regular representation is defined similarly.
Универсальная обволакивающая алгебра играет важную роль в теории представлений полупростых алгебр Ли, описанной выше. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как фактор-модули модулей Верма, а модули Верма строятся как фактор-модули универсальной обволакивающей алгебры. Построение выглядит следующим образом. Пусть T – тензорная алгебра векторного пространства . Таким образом, по определению, и умножение на ней задается как . Пусть будет фактор-кольцом T по идеалу, порожденному элементами вида .
The universal enveloping algebra plays an important role in the representation theory of semisimple Lie algebras, described above. Specifically, the finite dimensional irreducible representations are constructed as quotients of Verma modules, and Verma modules are constructed as quotients of the universal enveloping algebra. The construction of is as follows. Let T be the tensor algebra of the vector space Thus, by definition, and the multiplication on it is given by Let be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form
There is a natural linear map from into obtained by restricting the quotient map of to degree one piece. The PBW theorem implies that the canonical map is actually injective. Thus, every Lie algebra can be embedded into an associative algebra in such a way that the bracket on is given by in
If is abelian, then is the symmetric algebra of the vector space
Since is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra becomes a module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a module; namely, with the notation , the mapping defines a representation of on The right regular representation is defined similarly.
Существует естественное линейное отображение из в , полученное ограничением факторного отображения из до части степени один. Теорема ПБВ подразумевает, что каноническое отображение является инъективным. Таким образом, каждая алгебра Ли может быть вложена в ассоциативную алгебру таким образом, что скобка на задается как в .
The universal enveloping algebra plays an important role in the representation theory of semisimple Lie algebras, described above. Specifically, the finite dimensional irreducible representations are constructed as quotients of Verma modules, and Verma modules are constructed as quotients of the universal enveloping algebra. The construction of is as follows. Let T be the tensor algebra of the vector space Thus, by definition, and the multiplication on it is given by Let be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form
There is a natural linear map from into obtained by restricting the quotient map of to degree one piece. The PBW theorem implies that the canonical map is actually injective. Thus, every Lie algebra can be embedded into an associative algebra in such a way that the bracket on is given by in
If is abelian, then is the symmetric algebra of the vector space
Since is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra becomes a module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a module; namely, with the notation , the mapping defines a representation of on The right regular representation is defined similarly.
Если алгебра Ли абелева, то является симметрической алгеброй векторного пространства .
The universal enveloping algebra plays an important role in the representation theory of semisimple Lie algebras, described above. Specifically, the finite dimensional irreducible representations are constructed as quotients of Verma modules, and Verma modules are constructed as quotients of the universal enveloping algebra. The construction of is as follows. Let T be the tensor algebra of the vector space Thus, by definition, and the multiplication on it is given by Let be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form
There is a natural linear map from into obtained by restricting the quotient map of to degree one piece. The PBW theorem implies that the canonical map is actually injective. Thus, every Lie algebra can be embedded into an associative algebra in such a way that the bracket on is given by in
If is abelian, then is the symmetric algebra of the vector space
Since is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra becomes a module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a module; namely, with the notation , the mapping defines a representation of on The right regular representation is defined similarly.
Поскольку является модулем над собой посредством сопряженного представления, обволакивающая алгебра становится модулем над , расширяя сопряженное представление. Но можно также использовать левое и правое регулярные представления, чтобы сделать обволакивающую алгебру модулем над ; а именно, с обозначением , отображение определяет представление на . Правое регулярное представление определяется аналогичным образом.
The universal enveloping algebra plays an important role in the representation theory of semisimple Lie algebras, described above. Specifically, the finite dimensional irreducible representations are constructed as quotients of Verma modules, and Verma modules are constructed as quotients of the universal enveloping algebra. The construction of is as follows. Let T be the tensor algebra of the vector space Thus, by definition, and the multiplication on it is given by Let be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form
There is a natural linear map from into obtained by restricting the quotient map of to degree one piece. The PBW theorem implies that the canonical map is actually injective. Thus, every Lie algebra can be embedded into an associative algebra in such a way that the bracket on is given by in
If is abelian, then is the symmetric algebra of the vector space
Since is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra becomes a module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a module; namely, with the notation , the mapping defines a representation of on The right regular representation is defined similarly.
Бесконечные измерения и "категория О"
Пусть $\mathfrak{g}$ будет конечной размерности полупростой алгеброй Ли над полем характеристики ноль. (В разрешимом или нилпотентном случае изучаются примитивные идеалы оборачивающей алгебры; см. Диксмье для исчерпывающего изложения.) Категория (возможно, бесконечномерных) модулей над $\mathfrak{g}$ оказывается слишком большой, особенно для эффективного применения методов гомологической алгебры: было осознано, что меньшая подкатегория, категория $\mathcal{O}$, является более подходящим местом для теории представлений в полупростом случае при нулевой характеристике. Например, категория $\mathcal{O}$ оказалась достаточного размера для формулировки знаменитой взаимности BGG.
(g,K) -модуль
Одно из наиболее важных применений представлений алгебры Ли — теория представлений вещественных редуктивных групп Ли. Это применение основано на идее, что если — представление в гильбертовом пространстве, например, связной вещественной полупростой линейной группы Ли G, то оно имеет два естественных действия: комплексификацию и связную максимальную компактную подгруппу K. Модульная структура позволяет применять алгебраические, в особенности гомологические методы, а модульная структура — проводить гармонический анализ аналогичным образом, как и для связных компактных полупростых групп Ли.