Введение

Фаза цикла
В классической и квантовой механике геометрическая фаза — это разность фаз, приобретаемая в течение цикла, когда система подвергается циклическим адиабатическим процессам, что является следствием геометрических свойств пространства параметров гамильтониана. Это явление было независимо открыто С. Панчаратнамом (1956) в классической оптике и Х. К. Лонгуэтом-Хиггинсом (1958) в молекулярной физике; обобщено оно было Майклом Берри в 1984 году. Она также известна как фаза Панчаратнама — Берри, фаза Панчаратнама или фаза Берри. Её можно наблюдать в конических пересечениях потенциальных энергетических поверхностей и в эффекте Ааронова — Бома. Геометрическая фаза вблизи конического пересечения, включающего основное электронное состояние молекулярного иона C6H3F3+, обсуждается на страницах 385–386 учебника Банкера и Дженсена. В случае эффекта Ааронова — Бома адиабатическим параметром является магнитное поле, охватываемое двумя интерференционными путями, и оно циклично в том смысле, что эти два пути образуют замкнутую петлю. В случае конического пересечения адиабатическими параметрами являются молекулярные координаты. Помимо квантовой механики, она возникает в различных других волновых системах, таких как классическая оптика. Как правило, она может возникать, когда существует по крайней мере два параметра, характеризующих волну вблизи некоторой сингулярности или «дыры» в топологии; два параметра необходимы, поскольку либо множество несингулярных состояний не будет просто связным, либо будет наблюдаться ненулевая голономия. Волны характеризуются амплитудой и фазой и могут изменяться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически), и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать вращения, но также и трансляции частиц, которые, по-видимому, компенсируются в конце. Можно ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, характеризуемое амплитудами и фазами (с учетом течения времени). Однако, если изменения параметров соответствуют замкнутому контуру, а не возвратно-поступательному изменению, то начальное и конечное состояния могут различаться по фазе. Эта разность фаз и является геометрической фазой, и её появление обычно указывает на то, что зависимость системы от параметров является сингулярной (её состояние не определено) для некоторой комбинации параметров. Для измерения геометрической фазы в волновой системе требуется интерференционный эксперимент. Маятник Фуко — пример из классической механики, который иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как угол Ханнея.

Фаза ягоды в квантовой механике

В квантовой системе, находящейся в n-м собственном состоянии, адиабатическое изменение гамильтониана приводит к тому, что система остаётся в n-м собственном состоянии гамильтониана, при этом приобретая фазовый множитель. Приобретённая фаза состоит из вклада, связанного со временной эволюцией состояния, и вклада, обусловленного изменением собственного состояния при изменении гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри, и для нециклических изменений гамильтониана его можно обнулить, выбрав другую фазу, связанную с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции. Однако, если изменение является циклическим, фазу Берри нельзя аннулировать; она является инвариантной и становится наблюдаемым свойством системы. Проанализировав доказательство адиабатической теоремы, представленное Максом Борном и Владимиром Фоком в Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928), мы можем охарактеризовать всё изменение в адиабатическом процессе как фазовый член. В рамках адиабатического приближения коэффициент n-го собственного состояния в адиабатическом процессе задаётся выражением

где – фаза Берри относительно параметра t. Заменив переменную t на обобщённые параметры, мы можем переписать фазу Берри в виде

где параметризует циклический адиабатический процесс. Следует отметить, что нормировка подразумевает, что подынтегральное выражение является мнимым, следовательно, является вещественным. Она описывает замкнутый путь в соответствующем параметрическом пространстве. Геометрическая фаза вдоль замкнутого пути также может быть вычислена путём интегрирования кривизны Берри по поверхности, ограниченной .

Маятник Фуко

Один из самых простых примеров — маятник Фуко. Вильчек и Шапере дают простое объяснение с точки зрения геометрических фаз:

Другими словами, нет инерционных сил, способных вызвать прецессию маятника, поэтому прецессия (относительно направления движения траектории, вдоль которой перемещается маятник) полностью обусловлена поворотом этой траектории. Таким образом, ориентация маятника подвергается параллельному переносу. Для исходного маятника Фуко траекторией является окружность широты, и согласно теореме Гаусса — Бонне, фазовый сдвиг определяется заключенным телесным углом.

Поляризованный свет в оптическом волокне

Второй пример – линейно поляризованный свет, входящий в одномодовое оптическое волокно. Предположим, волокно описывает некоторую траекторию в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в котором он вошел. Тогда сравним начальную и конечную поляризации. В полуклассическом приближении волокно функционирует как волновод, и импульс света в любой момент времени является касательной к волокну. Поляризацию можно рассматривать как ориентацию, перпендикулярную импульсу. По мере того, как волокно описывает свою траекторию, вектор импульса света описывает траекторию на сфере в импульсном пространстве. Траектория замкнута, поскольку начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация является вектором, касательным к сфере. Переход в импульсное пространство эквивалентен построению карты Гаусса. Нет сил, которые могли бы повернуть поляризацию, есть лишь ограничение оставаться касательной к сфере. Таким образом, поляризация подвергается параллельному переносу, а фазовый сдвиг определяется заключенным телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастического насоса

Стохастический насос — это классическая стохастическая система, которая реагирует ненулевыми, в среднем, токами на периодические изменения параметров. Эффект стохастического насоса может быть интерпретирован с точки зрения геометрической фазы в эволюции функции, генерирующей моменты стохастических токов.

Свернуть

Геометрическая фаза может быть точно вычислена для спиновой частицы в магнитном поле. Аналогичная геометрическая фаза может быть определена и для совершенно иных систем, таких как нелинейные диссипативные системы, обладающие определенными циклическими аттракторами. Было показано, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенной симметрией. В этом обобщении фазы Берри можно выделить несколько важных аспектов: 1) В отличие от параметрического пространства для исходной фазы Берри, обобщение Нинга Хакена определяется в фазовом пространстве; 2) В отличие от адиабатической эволюции в квантовомеханической системе, эволюция системы в фазовом пространстве не обязана быть адиабатической. Отсутствуют какие-либо ограничения на временной масштаб эволюции; 3) В отличие от эрмитовой системы или неэрмитовой системы с линейным затуханием, системы могут быть в общем случае нелинейными и неэрмитовыми.

Геометрическая фаза и квантование циклотрона

Электрон, находящийся в магнитном поле, движется по круговой (циклотронной) орбите. Классически допустимы любые значения радиуса циклотрона. Квантовомеханически разрешены только дискретные энергетические уровни (уровни Ландау), и поскольку радиус связан с энергией электрона, это соответствует квантованным значениям радиуса. Условие квантования, полученное из уравнения Шрёдингера, имеет вид, например, для свободных электронов (в вакууме) или для электронов в графене, где. Хотя вывод этих результатов не представляет сложности, существует альтернативный подход, который в некотором отношении обеспечивает лучшее физическое понимание квантования уровней Ландау. Этот альтернативный подход основан на полуклассическом условии квантования Бора — Зоммерфельда,

которое включает в себя геометрическую фазу, приобретаемую электроном при его движении (в реальном пространстве) по замкнутой траектории циклотронной орбиты. Для свободных электронов, а для электронов в графене. Оказывается, что геометрическая фаза напрямую связана с для свободных электронов и с для электронов в графене.