Кіріспе
Сан теориясында, Виферихтің алғашқы саны – p² саны 2^(p-1) – 1 санына бөлінетін алғашқы сан, демек бұл алғашқы сандарды Ферманың кішкентай теоремасымен байланыстырады, онда әрбір тақ алғашқы сан p, 2^(p-1) – 1 санына бөлінеді. Виферихтің алғашқы сандарын алғаш рет 1909 жылы Артур Виферих Ферманың соңғы теоремасына қатысты жұмыстарында сипаттады, сол кезде Ферманың екі теоремасы да математиктерге жақсы белгілі болды. Содан бері Виферихтің алғашқы саны мен математикадағы басқа да тақырыптар арасындағы байланыстар табылды, оның ішінде Мерсен және Ферма сандары сияқты басқа сандар мен алғашқы сандар, псевдоалғашқы сандардың нақты түрлері және Виферихтің алғашқы санының бастапқы анықтамасынан туындаған сандардың кейбір түрлері де бар. Уақыт өте келе, ашылған байланыстар белгілі бір алғашқы сандардың қосымша қасиеттерін, сондай-ақ сандық өрістер және abc болжамы сияқты жалпылама тақырыптарды қамтыды. Қазірге дейін белгілі Виферихтің алғашқы сандары – 1093 және 3511.
In number theory, a Wieferich prime is a prime number p such that p2 divides 1=2^(p − 1) − 1, therefore connecting these primes with Fermat's little theorem, which states that every odd prime p divides 1=2^(p − 1) − 1. Wieferich primes were first described by Arthur Wieferich in 1909 in works pertaining to Fermat's Last Theorem, at which time both of Fermat's theorems were already well known to mathematicians. Since then, connections between Wieferich primes and various other topics in mathematics have been discovered, including other types of numbers and primes, such as Mersenne and Fermat numbers, specific types of pseudoprimes and some types of numbers generalized from the original definition of a Wieferich prime. Over time, those connections discovered have extended to cover more properties of certain prime numbers as well as more general subjects such as number fields and the abc conjecture. , the only known Wieferich primes are 1093 and 3511 .
Теңдес анықтамалар
Ферманың кіші теоремасының күшті нұсқасы, оны Виферихтің алғашқы саны қанағаттандырады, әдетте конгруенция қатынасы ретінде көрсетіледі: 2^(p-1) ≡ 1 (mod p^2). Бұлың санның конгруенция қатынасының анықтамасынан, бұл қасиет бастапқыда берілген анықтамамен тең екендігі шығады. Демек, егер p жай саны осы конгруенцияны қанағаттандырса, онда бұл жай сан Ферма тиесімін бөледі. Келесі екі мысал 11 және 1093 жай сандарында қарастырылады: p = 11 үшін, нәтиже 93 болады, ал 11-ге бөлгенде 5 қалдық қалады, сондықтан 11 Виферихтің жай саны емес. p = 1093 үшін, нәтиже 485439490310852893958515 (түсініктілік үшін 302 аралық сан жіберіліп қалды), ал 1093-қа бөлгенде 0 қалдық қалады, сондықтан 1093 – Виферихтің жай саны. Виферихтің жай сандарын басқа да эквивалентті конгруенциялар арқылы анықтауға болады. Егер p Виферихтің жай саны болса, онда конгруенцияның екі жағын да 2-ге көбейту арқылы 1 = 2^(p-1) ≡ 1 (mod p^2) теңдігінен 1 = 2^p ≡ 2 (mod p^2) теңдігіне жетуге болады. Конгруенцияның екі жағын p дәрежесіне көтеру Виферихтің жай саны 1 = 2^(p^2) ≡ 2^p ≡ 2 (mod p^2) теңдігін қанағаттандыратындығын көрсетеді, демек 1 = 2^(p^k) ≡ 2 (mod p^2) барлық k ≥ 1 үшін де орындалады. Керісі де дұрыс: егер 1 = 2^(p^k) ≡ 2 (mod p^2) болса, онда 2 модулі бойынша p^2-нің көбейту реті (gcd(p^k - 1, φ(p^2)) = p - 1) бөледі, яғни 1 = 2^(p-1) ≡ 1 (mod p^2) және демек p – Виферихтің жай саны. Бұл сондай-ақ Виферихтің жай сандарын p жай саны ретінде анықтауға болады, мұнда 2 модулі бойынша p және p^2 көбейту реті бірдей: ord_p^2(2) = ord_p(2). (Айта кетейік, ord_1093(2) = 364, және ord_3511(2) = 1755). Х.С. Вандивер 1 = 2^(p-1) ≡ 1 (mod p^3) егер және тек егер… деп дәлелдеді.
For p = 11, we get which is 93 and leaves a remainder of 5 after division by 11, hence 11 is not a Wieferich prime. For p = 1093, we get or 485439490310 852893958515 (302 intermediate digits omitted for clarity), which leaves a remainder of 0 after division by 1093 and thus 1093 is a Wieferich prime. Wieferich primes can be defined by other equivalent congruences. If p is a Wieferich prime, one can multiply both sides of the congruence 1=2^(p−1) ≡ 1 (mod p^(2)) by 2 to get 1=2^(p) ≡ 2 (mod p^(2)). Raising both sides of the congruence to the power p shows that a Wieferich prime also satisfies 1=2^(p^(2)) ≡2^(p) ≡ 2 (mod p^(2)), and hence 1=2^(p^(k)) ≡ 2 (mod p^(2)) for all 1=k ≥ 1. The converse is also true: 1=2^(p^(k)) ≡ 2 (mod p^(2)) for some 1=k ≥ 1 implies that the multiplicative order of 2 modulo p2 divides gcd1=(p^(k) − 1, φ1=(p^(2))) = p − 1, that is, 1=2^(p−1) ≡ 1 (mod p^(2)) and thus p is a Wieferich prime. This also implies that Wieferich primes can be defined as primes p such that the multiplicative orders of 2 modulo p and modulo p2 coincide: 1=ordp^(2) 2 = ordp 2, (By the way, ord10932 = 364, and ord35112 = 1755). H. S. Vandiver proved that 1=2^(p−1) ≡ 1 (mod p^(3)) if and only if .
Тарих және іздеу жағдайы
1902 жылы Мейер ap − 1 ≡ 1 (mod pr) конгруенциясының шешімдері туралы теореманы дәлелдеді. Сол онжылдықта Артур Виферих Ферманың соңғы теоремасының бірінші жағдайында тақ жай сан көрсеткіште шешімдері болса, онда бұл жай сан a = 2 және r = 2 үшін конгруенцияны қанағаттандыруы керек екенін көрсетті. Басқаша айтқанда, егер xp + yp + zp = 0 толық сандары x, y, z және p — xyz-ға бөлінбейтін тақ жай сан болса, онда p 2p − 1 ≡ 1 (mod p2) теңдігі орындалады. 1913 жылы Бахман қалдықтарды зерттеді. Ол бұл қалдық қашан нөлге теңеледі деген сұрақ қойды және осы сұраққа жауап беру үшін өрнектер табуға тырысты. 1093 саны 1913 жылы lt=W. Мейснер анықтаған Виферих жай саны екені және 2000-дан төменгі жалғыз осындай жай сан екені расталды. Ол барлық p < 2000 жай сандары үшін ең кіші қалдықты есептеп, бұл қалдық t = 364 және p = 1093 үшін нөлге тең екенін тапты, осылайша Виферих конгруенциясының мүмкін еместігі туралы Гравтың болжамына қарсы мысал келтірді. lt=E. Хаентшель кейіннен Мейснердің конгруенциясының дұрыстығын тек элементарлы есептеулер арқылы тексеруді тапсырды. Эйлердің бұрынғы еңбегінен шабыттанған ол 10932 | (2182 + 1) екенін көрсету арқылы Мейснердің дәлелін жеңілдетіп, (2182 + 1) саны (2364 − 1) санының көбейткіші екенін атап өтті. Мейснердің әдісіне қайшы, 1093 Виферих жай саны екенін комплекс сандарды қолданбай дәлелдеуге болады, бірақ Мейснердің өзі мұндай дәлелдің бар екенін білгенін айтқан. Ал 1965 жылы Гай Виферих жай саны екенін дәлелдеді. 1960 жылы Кравиц lt=Fröberg белгілеген бұрынғы рекордты екі есе арттырды, ал 1961 жылы Рисел BESK көмегімен іздеуді 500000-ға дейін кеңейтті. 1980 жылдары Лехмер 6 іздеу шегіне жетті. Бұл шек 2006 жылы 2,5-тен асты. 2007–2016 жылдары Wieferich@Home жобасы арқылы Виферих жай сандарын іздеу жүргізілді. 2011–2017 жылдары PrimeGrid жобасы да іздеу жұмыстарын жүргізді, бірақ кейіннен бұл жобада жасалған жұмыс бекер кеткені мәлім болды. Бұл жобалардың ешқайсысы 1-ден жоғары іздеу шегіне жеткенімен, тұрақты нәтижелер туралы хабарламады. 2020 жылы PrimeGrid Виферих және Валл–Сун–Сун жай сандарын бір уақытта іздейтін жаңа жобаны бастады. Жаңа жоба әр субинтервалдың тәуелсіз екі рет тексеруін қамтамасыз ету үшін тексеру сомаларын қолданады, осылайша ақаулы жабдықтардың салдарынан мысалдарды жіберіп алу қаупін азайтады. Жоба 2022 жылдың желтоқсанында аяқталды, үшінші Виферих жай саны 264-тен (шамамен 18-ден) асып түсуі керек екенін нақты дәлелдеді. (Уилсон жай сандары сияқты) шексіз көп Виферих жай сандары бар және x-тен төмен Виферих жай сандарының саны шамамен log(log(x)) тең деген болжам бар, бұл жай сан p үшін 1/(p − 1) дәрежелі біртінделік түбірлері p2 модулі бойынша көбейту тобында біркелкі таратылған деген сенімді болжамнан туындайды. Сондай-ақ, FLTI жай сан p үшін сәтсіз болады, егер Ферма теңдеуіне сол p үшін шешімдер болса, әйтпесе FLTI жай сан p үшін орындалады. 1910 жылы Мириманов теореманы кеңейтіп, егер теореманың алғышарттары кейбір жай сан p үшін орындалса, онда p2 сонымен қатар 1 ≡ 3^(p − 1) (mod p2) теңдігін бөледі. Гранвилл мен Монаган бұдан әрі p2 әр m ≤ 89 үшін 1 ≡ m^(p − 1) (mod p2) теңдігін бөледі екенін дәлелдеді. Судзуки дәлелді барлық m ≤ 113 жай сандарына дейін кеңейтті. Hp — 1-дің ең үлкен ортақ бөлгіші ретінде 1 бар бүтін сандар жұбының жиынтығы, p — x, y және x + y-ге жай сан, (x + y)^(p − 1) ≡ 1 (mod p2), (x + ξy) — K идеалының p-ші дәрежесі, мұнда ξ = cos 2π/p + i sin 2π/p. K = Q(ξ) — алгебралық сан ξ-тің барлық полиномдарын рационалдық сандар өрісіне қосу арқылы алынған өрістің кеңейтілуі (мұндай кеңейту сан өрісі деп аталады немесе осы жағдайда, ξ — біртінделік түбірі болғандықтан, циклотомдық сан өрісі). Ол abc болжамы тек α-ға байланысты тұрақтының бар екенін білдіретінін көрсетті, яғни p ≤ X жай сандарының саны α негізінде Виферих емес жай сандары log(X)-тен үлкен, X шексізге жақындағанда. Сандық дәлелдер белгілі бір аралықтағы жай сандардың өте аз бөлігі Виферих жай сандары екенін көрсетеді. Виферих жай сандарының жиыны мен Виферих емес жай сандарының жиыны, кейде сәйкесінше W2 және W2c деп белгіленеді, бір-бірін толықтыратын жиындар, сондықтан егер олардың біреуі шекті болып көрсетілсе, екіншісі шексіз болуы керек. Кейіннен шексіз көп Виферих емес жай сандарының бар екендігі ABC (k, ε) болжамы деп аталатын abc болжамының әлсіз нұсқасынан туындайтындығы көрсетілді. Сондай-ақ, шексіз көп Виферих емес жай сандарының болуы шексіз көп квадратты еркін Мерсен сандарының бар екендігінен де туындайды, сондай-ақ нақты сан ξ-тің бар екендігінен де туындайды, онда {n ∈ N : λ(2n − 1) < 2 − ξ} жиынының тығыздығы 1-ге тең, мұнда n бүтін санының құрамының көрсеткіші λ(n) келесідей анықталады: және , яғни n-нің барлық жай көбейткіштерінің көбейтіндісін береді. Осылайша, Мерсен жай саны Виферих жай саны бола алмайды. Маңызды шешілмеген мәселе — барлық Мерсен сандарының жай көрсеткіштері квадратты еркін екенін анықтау. Егер q жай сан болса және Мерсен саны Mq квадратты еркін болмаса, яғни p2 Mq-ны бөлетін жай сан p болса, онда p Виферих жай саны болады. Сондықтан, егер Виферих жай сандары шекті болса, онда жай көрсеткіштері квадратты еркін емес Мерсен сандары да шекті болады. Роткович байланысты нәтижені көрсетті: егер шексіз көп квадратты еркін Мерсен сандары болса, онда шексіз көп Виферих емес жай сандары болады. Сол сияқты, егер p жай сан болса және p2 кейбір Ферма саны Fn = 2^(2^n) + 1-ді бөлетін болса, онда p Виферих жай саны болуы керек. Шындығында, p2 (мұндағы Φn — n-ші циклотомдық полином) бөлетін жай сан p және натурал сан n бар, егер және тек қана p Виферих жай саны болса. Мысалы, 10932 Φ364-ті бөледі, 35112 Φ1755-ті бөледі. Мерсен және Ферма сандары — осының ерекше жағдайлары. Осылайша, егер 1093 және 3511 — жалғыз Виферих жай сандары болса, онда барлық Φn квадратты еркін, тек Φ364 және Φ1755 емес (Шындығында, егер p2 кейбір Φn-ді бөлетін жай сан болса, онда ол Виферих жай саны болады); және егер n жай сан болса, онда ол Виферих жай саны бола алмайды. (Кез келген тақ жай сан p тек бір Φn-ді бөледі және n p − 1-ді бөледі, және егер және тек қана 1/p-нің екілік жүйедегі периоды n болса, онда p бөледі). Сонымен қатар, егер және тек қана p Виферих жай саны болса, онда 1/p және 1/p2-нің екілік жүйедегі периодтары бірдей (әйтпесе, ол p еселенген). 1093 және 3511 жай сандары үшін олардың ешқайсысы да жай көрсеткіштері квадратты еркін емес Мерсен санының немесе Ферма санының бөлгіші емес екені көрсетілді, өйткені 364 және 1755 жай сан немесе 2-нің дәрежесі емес.
In 2007–2016, a search for Wieferich primes was performed by the distributed computing project Wieferich@Home. In 2011–2017, another search was performed by the PrimeGrid project, although later the work done in this project was claimed wasted. While these projects reached search bounds above 1, neither of them reported any sustainable results. In 2020, PrimeGrid started another project that searches for Wieferich and Wall–Sun–Sun primes simultaneously. The new project uses checksums to enable independent double checking of each subinterval, thus minimizing the risk of missing an instance because of faulty hardware. The project ended in December 2022, definitely proving that a third Wieferich prime must exceed 264 (about 18). It has been conjectured (as for Wilson primes) that infinitely many Wieferich primes exist, and that the number of Wieferich primes below x is approximately log(log(x)), which is a heuristic result that follows from the plausible assumption that for a prime p, the 1=(p − 1) th degree roots of unity modulo p2 are uniformly distributed in the multiplicative group of integers modulo p2. and FLTI is said to fail for a prime p, if solutions to the Fermat equation exist for that p, otherwise FLTI holds for p.
In 1910, Mirimanoff expanded the theorem by showing that, if the preconditions of the theorem hold true for some prime p, then p2 must also divide 1=3^(p − 1) − 1. Granville and Monagan further proved that p2 must actually divide 1=m^(p − 1) − 1 for every prime m ≤ 89. Suzuki extended the proof to all primes m ≤ 113. Let Hp be a set of pairs of integers with 1 as their greatest common divisor, p being prime to x, y and x + y, (x + y)p−1 ≡ 1 (mod p2), (x + ξy) being the pth power of an ideal of K with ξ defined as cos 2π/p + i sin 2π/p. K = Q(ξ) is the field extension obtained by adjoining all polynomials in the algebraic number ξ to the field of rational numbers (such an extension is known as a number field or in this particular case, where ξ is a root of unity, a cyclotomic number field). More precisely he showed that the abc conjecture implies the existence of a constant only depending on α such that the number of non Wieferich primes to base α with p less than or equal to a variable X is greater than log(X) as X goes to infinity. Numerical evidence suggests that very few of the prime numbers in a given interval are Wieferich primes. The set of Wieferich primes and the set of non Wieferich primes, sometimes denoted by W2 and W2c respectively, are complementary sets, so if one of them is shown to be finite, the other one would necessarily have to be infinite. It was later shown that the existence of infinitely many non Wieferich primes already follows from a weaker version of the abc conjecture, called the ABC (k, ε) conjecture. Additionally, the existence of infinitely many non Wieferich primes would also follow if there exist infinitely many square free Mersenne numbers as well as if there exists a real number ξ such that the set {n ∈ N : λ(2n − 1) < 2 − ξ} is of density one, where the index of composition λ(n) of an integer n is defined as and , meaning gives the product of all prime factors of n.
Thus, a Mersenne prime cannot also be a Wieferich prime. A notable open problem is to determine whether or not all Mersenne numbers of prime index are square free. If q is prime and the Mersenne number Mq is not square free, that is, there exists a prime p for which p2 divides Mq, then p is a Wieferich prime. Therefore, if there are only finitely many Wieferich primes, then there will be at most finitely many Mersenne numbers with prime index that are not square free. Rotkiewicz showed a related result: if there are infinitely many square free Mersenne numbers, then there are infinitely many non Wieferich primes. Similarly, if p is prime and p2 divides some Fermat number Fn 1== 2^(2^(n)) + 1, then p must be a Wieferich prime. In fact, there exists a natural number n and a prime p that p2 divides (where is the n th cyclotomic polynomial) if and only if p is a Wieferich prime. For example, 10932 divides , 35112 divides Mersenne and Fermat numbers are just special situations of Thus, if 1093 and 3511 are only two Wieferich primes, then all are square free except and (In fact, when there exists a prime p which p2 divides some , then it is a Wieferich prime); and clearly, if is a prime, then it cannot be Wieferich prime. (Any odd prime p divides only one and n divides 1=p − 1, and if and only if the period length of 1/p in binary is n, then p divides Besides, if and only if p is a Wieferich prime, then the period length of 1/p and 1/p2 are the same (in binary). Otherwise, this is p times than that.) For the primes 1093 and 3511, it was shown that neither of them is a divisor of any Mersenne number with prime index nor a divisor of any Fermat number, because 364 and 1755 are neither prime nor powers of 2.
Басқа теңдеулермен байланыс
Скотт пен Стайер px – 2y = d теңдеуінің оң бүтін сандар (x, y) бойынша ең көп дегенде бір шешімі бар екенін көрсетті, егер p4 | 2ordp 2 – 1 болса, егер p ≢ 65 (mod 192) болса немесе p2 | 2ordp 2 – 1 болса, мұнда ordp 2 – 2-нің p модуль бойынша көбейту ретін білдіреді. Олар сондай-ақ ±ax1 ± 2y1 = ±ax2 ± 2y2 = c теңдеуінің шешімі белгілі бір теңдеулер жиынтығынан шығуы керек екенін көрсетті, бірақ егер a 1.25 x 1015-тен үлкен Виферихтің алғашқы саны болса, онда бұл орындалмайды.
P - 1 бинарлық кезеңділігі
Джонсон екі белгілі Виферих алғашқы санының периодты екілік өрнектемедегі сандардан бірге үлкен екенін байқады (1092 = 0100010001002 = 44416; 3510 = 1101101101102 = 66668). Wieferich@Home жобасы Виферих алғашқы сандарын кезеңдік екілік өрнектемесі бар сандардан бірге үлкен сандарды тексеру арқылы іздеді, бірақ сынақтан өткен екілік сандардың 3500 "биттік псевдо ұзындығына" дейін, 24 биттік ұзындығы бар биттік тізбектердің комбинациясымен жасалғандардың арасында жаңа Виферих алғашқы саны табылған жоқ.
P - 1 санының көптігі
Белгілі болғандай, белгілі Виферихтің жай сандары өзара достық сандардан бірге үлкен (олардың ортақ молдық көрсеткіші 112/39-ға тең).
Псевдопримдермен байланыс
Белгілі екі Виферих алғашқы саны 2-ге дейінгі барлық квадрат емес бос негізді Фермат псевдопримдерінің квадрат факторлары болып табылатыны байқалды. Кейінгі есептеулер 1012-ге дейінгі псевдопримдердің қайталанатын бірден-бір көбейткіштері 1093 және 3511 екенін көрсетті. Сонымен қатар, келесі байланыс бар: n негізіндегі 2 псевдопримі және p n-нің алғашқы бөлгіші болсын. Егер , онда да болады. Барлық тақ алғашқы сандар үшін 1=L(p^(n+1)) = p · L(p^(n)) немесе 1=L(p^(n+1)) = L(p^(n)) екені көрсетілді. Бұдан басқа, келесі нәтиже алынды: q – тақ алғашқы сан, k және p – алғашқы сандар, мұндағы 1=p = 2k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q), p ≢ −1 (mod q^(3)) және q модулі k бойынша реті болып табылады. Егер q h+ -ді бөлсе, онда q – Виферих алғашқы саны. h+ – нақты циклотомиялық өрістің сыныптық саны, бұл циклотомиялық өріс бірліктің p-ші түбірі мен оның керісін рационалдық сандар өрісіне қосу арқылы алынады. Бұл сондай-ақ, егер p ≡ −1 (mod q) және p ≢ −1 (mod q^(3)) шарттары p ≡ −3 (mod q) және p ≢ −3 (mod q^(3)) шарттарымен ауыстырылса, ал p ≡ −1 (mod q) шарты p ≡ −5 (mod q) шартымен ауыстырылса (бұл жағдайда q – Wall–Sun–Sun алғашқы саны) және сәйкессіздік шарты p ≢ −5 (mod q^(3)) шартымен ауыстырылса да орындалады.
Let n be a base 2 pseudoprime and p be a prime divisor of n. If , then also It was shown, that for all odd prime numbers either 1=L(p^(n+1)) = p · L(p^(n)) or 1=L(p^(n+1)) = L(p^(n)). Furthermore, the following result was obtained: Let q be an odd prime number, k and p are primes such that 1=p = 2k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q), p ≢ −1 (mod q^(3)) and the order of q modulo k is Assume that q divides h+, the class number of the real cyclotomic field , the cyclotomic field obtained by adjoining the sum of a p th root of unity and its reciprocal to the field of rational numbers. Then q is a Wieferich prime. This also holds if the conditions p ≡ −1 (mod q) and p ≢ −1 (mod q^(3)) are replaced by p ≡ −3 (mod q) and p ≢ −3 (mod q^(3)) as well as when the condition p ≡ −1 (mod q) is replaced by p ≡ −5 (mod q) (in which case q is a Wall–Sun–Sun prime) and the incongruence condition replaced by p ≢ −5 (mod q^(3)).
Виферих сандары
Виферих саны — 2<sup>φ(n)</sup> ≡ 1 (mod n<sup>2</sup>) конгруенциясын қанағаттандыратын n тақ табиғи сан, мұнда φ(n) — Эйлердің тотиент функциясы (Эйлер теоремасы бойынша, 2<sup>φ(n)</sup> ≡ 1 (mod n) кез келген тақ табиғи n саны үшін). Егер Виферих саны n жай сан болса, онда ол Виферихтің жай саны деп аталады. Алғашқы бірнеше Виферих сандары: 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463.
1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463,
It can be shown that if there are only finitely many Wieferich primes, then there are only finitely many Wieferich numbers. In particular, if the only Wieferich primes are 1093 and 3511, then there exist exactly 104 Wieferich numbers, which matches the number of Wieferich numbers currently known. Another definition specifies a Wieferich number as odd natural number n such that n and are not coprime, where m is the multiplicative order of 2 modulo n. The first of these numbers are:
21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399,
As above, if Wieferich number q is prime, then it is a Wieferich prime.
Егер Виферихтің жай сандарының саны шекті болса, онда Виферих сандарының саны да шекті екенін көрсетуге болады. Атап айтқанда, егер Виферихтің жай сандары тек 1093 және 3511 болса, онда дәл 104 Виферих саны бар, бұл қазіргі кезде белгілі Виферих сандарының санына сәйкес келеді. Тағы бір анықтама бойынша Виферих саны — n және φ(n) өзара жай болмайтын n тақ табиғи саны, мұнда m — 2-нің n модуль бойынша көбейту реті. Бұл сандардың алғашқылары: 21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399.
1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463,
It can be shown that if there are only finitely many Wieferich primes, then there are only finitely many Wieferich numbers. In particular, if the only Wieferich primes are 1093 and 3511, then there exist exactly 104 Wieferich numbers, which matches the number of Wieferich numbers currently known. Another definition specifies a Wieferich number as odd natural number n such that n and are not coprime, where m is the multiplicative order of 2 modulo n. The first of these numbers are:
21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399,
As above, if Wieferich number q is prime, then it is a Wieferich prime.
Жоғарыда айтылғандай, егер Виферих саны q жай сан болса, онда ол Виферихтің жай саны.
1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463,
It can be shown that if there are only finitely many Wieferich primes, then there are only finitely many Wieferich numbers. In particular, if the only Wieferich primes are 1093 and 3511, then there exist exactly 104 Wieferich numbers, which matches the number of Wieferich numbers currently known. Another definition specifies a Wieferich number as odd natural number n such that n and are not coprime, where m is the multiplicative order of 2 modulo n. The first of these numbers are:
21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399,
As above, if Wieferich number q is prime, then it is a Wieferich prime.
Лукас-Виферих алғашқы сандары
P және Q бүтін сандар болсын. (P, Q) жұбымен байланысты бірінші түрдегі Лукас тізбегі былай анықталады:
әрбір (P, Q) жұбымен байланысты Лукас-Виферихтік жай сан – бұл p жай саны, онда Up−ε(P, Q) ≡ 0 (mod p2) теңдігі орындалады, мұнда ε – Лежандр символы. Барлық Виферих жай сандары (3, 2) жұбымен байланысты Лукас-Виферих жай сандары болып табылады.