Кіріспе

Математика мен мәдениетті зерттеу. Математика білімінде этноматематика – математика мен мәдениет арасындағы қатынасты зерттеу саласы. Көбінесе "жазбаша тілі жоқ мәдениеттермен" байланыстырылатын бұл термин, сондай-ақ "нақты анықталған мәдени топтар арасында қолданылатын математика" деп те анықталуы мүмкін. Этноматематика – ерекше сандық және математикалық жүйелерден бастап, көпмәдениетті математика біліміне дейінгі идеялардың кең спектрін қамтиды. Этноматематиканың мақсаты – мәдениетті және математиканы түсінуге үлес қосу, ең бастысы – екеуінің арасындағы байланысты бағалауға жетелеу.

Сандар

Бұрынғы және қазіргі мәдениеттердегі сандарды көрсетудің кейбір жүйелері жақсы белгілі. Рим цифрлары мыңға дейінгі сандарды көрсету үшін әліпбидің бірнеше әрпін пайдаланады, бірақ олар шексіз үлкен сандар үшін емес және тек оң бүтін сандарды ғана көрсете алады. Араб цифрлары – Үндістанда пайда болған және ортағасырлық ислам цивилизациясы арқылы Еуропаға жеткен жүйелер тобы. Қазір бұл жүйелер әлемдік мәдениетте стандартты болып табылады және уақыт өте келе географиялық орналасуға байланысты көптеген қызықты өзгерістерге ұшырады. Олар шексіз үлкен сандарды көрсетуге қабілетті және теріс сандарға, бөлшектерге, нақты сандарға бейімделген. Кем белгілі жүйелердің қатарында бүгін де жазылып, оқыла алатын жүйелер бар, мысалы, еврей және грек әдісі, онда әліпби әріптері 1-ден 9-ға дейінгі сандарды, 10-нан 90-ға дейінгі ондықтарды және 100-ден 900-ға дейінгі жүздіктерді көрсету үшін ретімен қолданылады. Мүлдем басқа жүйе – кипу, ол түйіндер арқылы сандарды жазады. Этноматематиктер сандық жүйелердің қалай дамығанын, олардың ұқсастықтары мен айырмашылықтарын және осы себептерді зерттейді. Сандарды көрсетудің алуан түрлі әдістері ерекше қызығушылық тудырады.

Сандардың атаулары

Бұл сандардың қалай жасалатынын білдіреді.

Ағылшынша

Мысалы, ағылшын тілінде төрт түрлі жүйе бар. Бірлік сандары (бірден тоғызға дейін) және он ерекше. Келесі екеуі – англосаксон тіліндегі "бір артық" және "екі артық" (яғни, онға дейін санағаннан кейін) сөздерінің қысқартылған түрі. "Жиырмадан" "тоқсанға" дейінгі ондық еселік сандар бірден тоғызға дейінгі бірлік сандарынан бір үлгі бойынша құралады. Он үштен он тоғызға дейін, ал сәл өзгеше жолмен жиырма бірден тоқсан тоғызға дейін (ондық сандарды қоспағанда) ондық және бірлік сандардан жасалады. Ірі сандар да он мен оның дәрежелері ("жүз" және "мың") негізінде құралады. Бұл ежелгі саусақпен санау дәстүріне байланысты болуы мүмкін. Ежелгі 20-лық және 12-лік санаудың іздері "ондық", "дюжина" және "жүздік" сөздерінде сақталып қалған. ("Миллион" сияқты ірі сандар сөздері бастапқы ағылшын жүйесіне жатпайды; олар латын тілінен бастау алатын ғылыми терминдер.) "Миллиард" терминінің қолданылуында американдық және британдық ағылшын тілдері арасында тарихи келіспеушіліктер болған. Бұл мәселелер кейін шешілді және қазіргі ағылшын тілінде сөйлейтін барлық адамдар 1,000,000,000 санын "бір миллиард" деп атайды.

Неміс тілі

Неміс және голланд тілдерінде ағылшын тіліндегідей саналады, бірақ жиырмадан жоғары сандарда бірлік ондықтан бұрын келеді. Мысалы, "26" саны "sechsundzwanzig" деп айтылады, яғни "алты және жиырма". Бұл жүйе бұрын ағылшын тілінде де қолданылған, оны ағылшын балалар өлеңі "Sing a Song of Sixpence" мысалынан көруге болады: Sixpence әнін шырқаңыз, / ржимен толы қалта. / Жиырма төрт қара қарға, / пісірілген торт ішінде. Бұл ереже "Бір және жиырма" сияқты кейбір балалар әндерінде сақталған.

Француз тілі

Француз тілінде, Францияда қолданылатынында, кейбір айырмашылықтар байқалады. Soixante dix (сөзбе-сөз "алпыс он") саны "жетпіс" ретінде қолданылады. "quatre vingt" (сөзбе-сөз "төрт жиырма", яғни 80) және "quatre vingt dix" (сөзбе-сөз "төрт жиырма он", яғни 90) сөздері 10 емес, 20 ("vingt") санына негізделген. Швейцария және Бельгия француз тілінде бұл формалар қолданылмайды, олар латын тілінен алынған стандартты формаларды жақсы көреді: 70 үшін septante, 80 үшін huitante (бұрын octante деп аталған) және 90 үшін nonante.

Қытай

Қытай тіліндегі сандар "бір" сөзінен "тоғыз" сөзге дейін және ондық қуаттарды білдіретін сөздерден құралады. Мысалы, ағылшын тілінде "он екі мың үш жүз қырық бес" деп жазылатын сан қытай тілінде "一万二千三百四十五" (жеңілдетілген) / "一萬二千三百四十五" (дәстүрлі) деп жазылады, мұндағы әрбір таңба "бір он мың, екі мың, үш жүз, төрт он, бес" деп аударылады.

Месопотамия

Ежелгі Месопотамияда сандарды құру негізі 60-тық санау жүйесі болды, ал 60-тан кіші сандар үшін 10-дық санау жүйесі аралық негіз ретінде қолданылды.

Батыс Африка

Батыс Африка тілдерінің көптегені сандық атауларын 5 және 20 сандарының комбинациясына негіздейді, бұл толық қол немесе саусақтар мен бағайдақтарды қамтитын толық жиынтық туралы ойлаудан туындаған. Шындығында, кейбір тілдерде 5 және 20 сөздері осы дене мүшелерін көрсетеді (мысалы, 20 сөзі "толық адам" дегенді білдіреді). 20-дан төмен сандар 5-ке негізделген, ал одан жоғары сандар төменгі сандарды 20-ның еселіктерімен және дәрежелерімен үйлестіреді. Әрине, жүздеген африка тілдерін сипаттау тым әрі кетіп барады; толық ақпарат пен сілтемелерді Заславскийдің (1973) еңбегінен табуға болады.

Санау

Әлемнің әртүрлі аймақтарында саусақтарды санаудың көптеген жүйелері қолданылып келеді және қазір де қолданылуда. Көпшілігі саусақтарды көтеріп санағандай айқын емес. Саусақтың қандай позда екені маңыздырақ болуы мүмкін. Саусақтарды санаудың бір пайдасы – әртүрлі тілде сөйлейтін адамдар базарда баға айтысу үшін оны қолданады. Саусақтарды санаудан өзгеше, Юки тайпасы (Солтүстік Калифорнияның жергілікті тұрғындары) саусақтардың өзінің орнына, саусақтары арасындағы төрт кеңістікті пайдаланып санайды. Бұл сегіздік (8-дік) санау жүйесі деп аталады.

Кейбір мысалдар және негізгі үлескерлер

Д'Амброзионың 1980 жылғы математика эволюциясын қарастырған шолуы, 1985 жылғы этноматематиканы математика тарихына енгізуге шақыруы және 2002 жылғы Батыс емес математиканы зерттеу тарихи-әдістемелік тәсілдері туралы мақаласы – тамаша мысалдар. Бұған қоса, Франкенштейн мен Пауэллдің 1989 жылғы математиканы еуроцентризмдік емес көзқараспен қайта анықтау әрекеті және Андерсонның 1990 жылғы әлемдік математика тұжырымдары осы саладағы маңызды үлес болып табылады. Ежелгі Жапония, Ирак, Египет, Ислам, еврей және Инка цивилизациялары сияқты Еуропадан тыс цивилизациялардың математикалық даму тарихына қатысты егжей-тегжейлі зерттеулер де ұсынылған.

Математиканың философиясы мен мәдени табиғаты

Математиканың мәдени ерекшеліктері туралы кез келген пікірталас, тікелей математиканың өзінің табиғатын зерттеуге алып келеді. Осы саладағы ең көне және ең даулы тақырыптардың бірі – математика ішкі ме, әлде сыртқы ме деген мәселе. Бұл Платон (сыртқы көзқарас ұстанушы) мен Аристотельдің (ішкі көзқарас ұстанушы) пікірлеріне дейін барып жетеді. Бір жағынан, Бишоп, Стиглер және Баранс сияқты ішкі көзқарас ұстанушылар математиканы мәдени өнім деп есептейді. Екінші жағынан, Барроу, Шевальард және Пенроуз сияқты сыртқы көзқарас ұстанушылар математиканы мәдениеттен тәуелсіз деп қарастырады және этноматематиканы қатаң сынаушылар болып табылады. Математиканың табиғаты туралы пікір қақтығыстары этноматематиканың табиғаты және оның математиканың бір бөлігі ме, жоқ па деген сұрақтарды тудырады. Этноматематика мен философия саласындағы зерттеулердің негізін қалаған Бартон: «Этноматематика математикаға дейінгі, параллель білім немесе отарлауға дейінгі білім ме?» – деп сұрайды. Сонымен қатар, батыс эпистемологиялық негізінде математиканың барлық түрлерін анықтау мүмкін бе деген мәселені де көтеріп отыр.

Саяси математика

Бұл саладағы зерттеулер математиканың қоғамның академиялық емес салаларына қандай әсер еткенін ашып көрсетуге бағытталған. Этноматематиканың ең даулы және қоздыратын саяси аспектісі – оның нәсілдік мәселелерге қатысы. Этноматематиктер «этно» префиксін нәсілмен байланыстырмай, адамдар тобының мәдени дәстүрлерін көрсетеді деп санайды. Дегенмен, Оңтүстік Африка сияқты елдерде мәдениет, этникалық принадлежность және нәсіл ұғымдары өзара тығыз байланысты және күшті, бөліп-жаратын теріс мағынаға ие. Сондықтан, этноматематика «расистік доктрина» емес екені нақты айтылса да, ол расизммен қатар қарастырылуы мүмкін. Бұл саланың тағы бір маңызды жағы – гендер мен математика арасындағы байланыс. Онда білім берудегі ерлер мен әйелдердің математикалық үлгерімдерінің арасындағы айырмашылықтар, мансаптық таңдаулар, осыған әкеп соққан әлеуметтік себептер, математиканы зерттеу және дамытуға әйелдердің қосқан үлесі сияқты мәселелер қарастырылады.

Кейбір мысалдар және негізгі үлескерлер

Гердестің Мозамбик пен Оңтүстік Африка мектептерінде математиканы қалай қолдануға болатыны туралы жазған еңбектері және Д'Амброзионың 1990 жылы демократиялық және әділ қоғам құруда математиканың атқаратын рөлі туралы талқылауы – математиканың қоғамдық сананы қалыптастыруға тигізетін әсерінің мысалы. 1990 жылы Бишоп Батыс математикасының күшті және басым ықпалы туралы да жазады. Математиканың саяси әсеріне нақты мысалдар ретінде 1993 жылы Книжиктің бразилиялық қант құмысын өндіретін шаруаларды математикалық біліммен саяси және экономикалық тұрғыдан күшейту мүмкіндігін зерттеуі, сондай-ақ Осмондтың 2000 жылы жұмыс берушілердің математикаға деген құндылығын талдауы келтіріледі.

Әр түрлі мәдениеттердің математикасы

Бұл саланың басты мақсаты – әдетте ресми, академиялық математика талқылауларынан шеттетілген адамдардың математикалық идеяларын таныстыру. Осы мәдениеттердің математикасын зерттеу екі, бір-бірімен шайқасқан көзқарасқа нұсқайды. Біріншісі математиканың объективтілігін, оның жасалмаған, ашылған нәрсе екенін қолдайды. Зерттеулер көрсеткендей, барлық мәдениеттерде қарапайым санау, сұрыптау және түсіндіру әдістері бар, және олар әлемнің әртүрлі аймақтарында тәуелсіз түрде пайда болған. Бұл математикалық ұғымдар жасалған емес, ашылғанын көрсетеді. Дегенмен, басқалары математиканың пайдалылығы оның мәдени құрылымдарын жасыруға бейім екенін айтады. Әрине, сандар мен санау сияқты өте практикалық ұғымдардың барлық мәдениеттерде пайда болуы таңқаларлық емес. Алайда, осы ұғымдардың әмбебаптығын сақтау қиынға түседі, себебі көбірек зерттеулер математикалық амалдарды, мысалы санау, реттеу, сұрыптау, өлшеу және салмақтау сияқты, түбегейлі түрде әртүрлі тәсілдермен орындалатын амалдарды ашады (2.1-бөлімді қараңыз: Сандар және атау жүйелері). Осы саладағы зерттеушілердің кездесетін бір қиындығы – олардың математикалық және мәдени шеңберлермен шектелуі. Басқа мәдениеттердің математикалық идеяларын талқылау оларды анықтау және түсіну үшін батыстық шеңберге қайта түсіріп береді. Бұл қанша математикалық идея батыстық математикалық аналогтары болмағандықтан назардан тыс қалатыны және математикалық идеяларды математикалық емес идеялардан ажырату сызығын қалай жүргізу керек деген сұрақтарды тудырады.

Кейбір мысалдар және негізгі үлескерлер

Бұл саладағы зерттеулердің көп бөлігі Австралия аборигендері, Либерияның жергілікті халқы, Солтүстік Американың түпкі тұрғындары, Тынық мұхиты аралдарының тұрғындары, Бразилия құрылыс шеберлері және Африканың түрлі тайпалары сияқты шағын, дәстүрлі, жергілікті мәдениеттердің интуитивті математикалық ойлауына арналған.

Шеберлік ойындары

Математикалық тұрғыдан талдауға болатын ойынның сансыз көп түрі әлемде және тарих бойы ойналған. Этноматематиктің қызығушылығы көбінесе ойынның әдеттегі қоғамның бір бөлігі ретінде бейресми математикалық ойлауды қалай бейнелейтініне аудар, бірақ кейде ойынның математикалық талдауына дейін жетеді. Ол жақсы ойынды мұқият талдауды қамтымайды, бірақ мұндай талдаудың әлеуметтік немесе математикалық аспектілерін қамтуы мүмкін. Еуропа мәдениетінде кең танымал математикалық ойын – tic tac toe (нольдер мен кресттер). Бұл 3x3 шаршыда ойналатын геометриялық ойын; мақсаты – бір символынан үш түзу сызықты құру. Олар Англияның барлық бөліктерінде кездесетін көптеген ұқсас ойындар бар, тек бір елді атасақ жеткілікті. Геометриялық ойынның тағы бір түрі белгілі бір пішінде ("тақта") бір-біріне қарай қозғалатын немесе секіретін нысандарды қамтиды. Тұтқындаулар болуы мүмкін. Мақсат – қарсыластың фигураларын жою немесе жай ғана белгілі бір конфигурацияны құру, мысалы, нысандарды белгілі бір ереже бойынша орналастыру. Мұндай ойынның бірі – тоғыз адамдық морис; оның көптеген туыстары бар, онда тақта, орналасуы немесе қимылдары әртүрлі болуы мүмкін, кейде күрт өзгеріп те кетеді. Бұл ойынның түрі үйдің сыртында, топырақтағы тастармен ойнауға өте ыңғайлы, бірақ қазір қағаз немесе ағаш тақтадағы пластик фигураларды қолдануға болады. Батыс Африкада кездесетін математикалық ойын – бастапқы нүктеге жеткенше фигураны жабатын түзумен белгілі бір фигураны салу (математикалық терминологияда бұл граф бойынша Эйлер жолы). Балалар бұл суреттерді таяқтармен шаңға немесе құмға салады, әрине, ойынды қалам мен қағазбен де ойнауға болады. Шахмат, шашка, овер (және басқа манкала ойындары) және Го ойындары да этноматематиканың зерттеу нысаны болып табылуы мүмкін.

Халық өнеріндегі математика

Математиканың өнерде көрініс табатынының бір жолы – симметрия арқылы. Матадан немесе кілемдерден тоқылған (мысалы, екеуін атасақ) өрнектер көбінесе қандай да бір симметриялық құрылымға ие болады. Төртбұрышты кілемнің жалпы өрнегінде көбінесе төртбұрышты симметрия кездеседі. Тоқылған матада жазықтықтағы он жеті түрлі симметрия тобының бірі болуы мүмкін; Африка тоқу өрнектерінің математикалық зерттеуі үшін Crowe (2004) еңбегіне жүгініңіз. Этноматематикалық қауымдастықтар тапқан өрнектердің бірнеше түрі технологиялармен байланысты; Еуразиядағы өрнектер мен симметрияның математикалық зерттеулері туралы Berczi (2002) еңбегін қараңыз. Индонезиялық халықтық тоқу өрнектерін және батактардың дәстүрлі сәулеттік әшекейлерін талдағаннан кейін, Хокки Ситунгкир индонезиялық дәстүрлі батик мотивтерінің геометриясын талдап, нәтижесінде фракталды батик дизайнының жаңа жанрын – генеративтік өнерді жасады; осының іске асырылуы туралы Situngkir and Surya (2007) еңбегінде мәлімет бар.

Математикалық білім беру

Этноматематика және математика білімі ең алдымен мәдени құндылықтардың оқытуға, оқуға және оқу жоспарына қалай әсер ете алатынын, ал екінші жағынан математика білімінің мәдениеттің саяси және әлеуметтік динамикасына қалай әсер ете алатынын қарастырады. Көптеген педагогтардың пікірінше, математика оқушыларының мәдени ортасын ескеру және оларға жақын мәдени негізде математиканы оқыту өте маңызды. Мәдени маңыздылық және жеке тәжірибе арқылы математиканы оқыту оқушыларға шындық, мәдениет, қоғам және өздері туралы көбірек білуге көмектеседі ме? (Роберт, 2006)

Математика оқытушылары ұсынған тағы бір тәсіл – студенттерді түрлі мәдени орталардағы математикамен таныстыру, бұл көбінесе көпмәдени математика деп аталады. Бұл студенттердің әлеуметтік санасын арттыруға және көбейту сияқты дәстүрлі математикалық амалдарға қолданудың басқаша тәсілдерін ұсынуға пайдалы болуы мүмкін. (Эндрю, 2005)

Мысалдар

Математика пәнінің әртүрлі оқытушылары сыныпта мәдениет пен математиканы байланыстырудың жолдарын қарастырды, мысалы: Барбер мен Эстрин (1995) және Брэдли (1984) американдық жергілікті халықтардың білім беруі туралы, Гердес (1988б және 2001) африкалық өнер мен ойындарды қолдану бойынша ұсыныстармен, Малой (1997) афроамерикандық студенттер туралы және Флорес (1997) испандық студенттерге арналған оқу стратегияларын жасады.

Сын

Кейбір сыншылар математика білімінде көпмәдениеттілікті қолдау үшін этноматематикаға артық көңіл бөлінеді, ал математиканың негізгі мазмұнына жеткілікті уақыт жұмсалмайды, соның салдарынан псевдонаука оқытылуы мүмкін деп санайды. Ричард Аски "Алгебраға назар аудару" (Мариан М. Дженнингстің пікір мақаласында сынаған Аддисон Уэсли оқулығы) кітабын қарастырып, басқа кемшіліктермен қатар, догон астрономиясы туралы бұрын жоққа шығарылған қате мәлімдемелерді қайталауда кінәлі деп тапты. Жақында ғана Сиэтл мектептерінде ұсынылған оқу бағдарламасы өзгерістері этноматематикаға сын тудырды. Кейбір адамдар математика мен этникалық зерттеулерді біріктіруге бағытталған ұсынылған өзгерістерді, "Дұрыс болу қаншалықты маңызды?" және "Жауаптың дұрыстығын кім анықтайды?" сияқты сұрақтарды қосуы үшін сынға алды.