Введение

Изучение математики и культуры

В математическом образовании этноматематика – это изучение взаимосвязи между математикой и культурой. Часто ассоциируется с «культурами, не имеющими письменности», она также может быть определена как «математика, практикуемая внутри определенных культурных групп». Это относится к широкому спектру идей, от различных численных и математических систем до многокультурного математического образования. Цель этноматематики – внести вклад как в понимание культуры, так и в понимание математики, и главным образом – способствовать осознанию взаимосвязей между ними.

Числа

Некоторые из систем представления чисел в прошлых и настоящих культурах хорошо известны. Римские цифры используют несколько букв алфавита для представления чисел до тысяч, но не предназначены для произвольно больших чисел и могут представлять только положительные целые числа. Арабские цифры – это семейство систем, возникших в Индии и перешедших в средневековую исламскую цивилизацию, затем в Европу, и теперь являющихся стандартом в мировой культуре – и претерпевших множество любопытных изменений со временем и в разных географических регионах – могут представлять произвольно большие числа и были адаптированы для отрицательных чисел, дробей и действительных чисел. Менее известные системы включают в себя некоторые, которые можно прочитать и сегодня, например, еврейский и греческий метод использования букв алфавита последовательно для обозначения цифр от 1 до 9, десятков от 10 до 90 и сотен от 100 до 900. Совершенно иная система – это система кипу, в которой числа записывались на узелковых веревках. Этноматематики интересуются тем, как развивались системы счисления, а также их сходствами и различиями и причинами, обусловившими их появление. Особенно интригует большое разнообразие способов представления чисел.

Названия для чисел

Это означает, каким образом образуются числительные.

Английский

Например, в английском языке существует четыре различные системы счисления. Числительные от одного до девяти и число десять – особые случаи. Следующие два числительных – это сокращенные формы англосаксонских выражений "один сверх десяти" и "два сверх десяти" (то есть после счета до десяти). Числа, кратные десяти, от "двадцати" до "девяноста", образуются из числительных от одного до девяти по единому образцу. Числа от тринадцати до девятнадцати, и несколько иначе – от двадцати одного до девяносто девяти (исключая названия десятков), образуются путем сложения названий десятков и единиц. Более крупные числа также формируются на основе десяти и его степеней ("сотня" и "тысяча"). Можно предположить, что это связано с древней традицией счета на пальцах. Следы древнего счета по двадцатичным и двенадцатичным системам сохранились в словах "двадцать" (score), "дюжина" (dozen) и "гросс" (gross). (Более крупные числительные, такие как "миллион", не входят в состав первоначальной английской системы; это научные термины, восходящие в конечном итоге к латыни.) В прошлом существовали расхождения в употреблении термина "миллиард" в американском и британском английском языках. Однако эти расхождения были устранены, и современные носители английского языка единообразно называют 1 000 000 000 "одним миллиардом".

Немецкий

Немецкий и голландский языки считают аналогично английскому, но в числах больше двадцати единица ставится перед десятками. Например, "26" – это "sechsundzwanzig", что буквально означает "шесть и двадцать". Эта система была распространена в английском языке и ранее, что видно на примере из английской детской считалки "Sing a Song of Sixpence": Sing a song of sixpence, / a pocket full of rye. / Двадцать четыре чёрных дрозда, / испечённых в пироге. Она сохранилась в некоторых детских песнях, например, "One and Twenty".

Французский

В французском языке, используемом во Франции, можно заметить некоторые различия. Soixante dix (буквально «шестьдесят десять») используется для обозначения числа «семьдесят». Слова "quatre vingt" (буквально «четыре двадцать», или 80) и "quatre vingt dix" (буквально «четыре двадцать десять», 90) основаны на числе 20 ("vingt") вместо 10. Швейцарский и бельгийский варианты французского языка не используют эти формы, предпочитая более стандартные латинские формы: septante для 70, huitante (ранее octante) для 80 (только в швейцарском французском) и nonante для 90.

Китайский

Числовые слова в китайском языке формируются из слов, обозначающих числа от "один" до "девять", и слов, обозначающих степени десятки. Например, то, что на английском языке записывается как "twelve thousand three hundred forty five", в китайском языке будет "一万二千三百四十五" (упрощенный) / "一萬二千三百四十五" (традиционный), иероглифы которого переводятся как "одна десять тысяч, две тысячи, три сотни, четыре десятка, пять".

Месопотамия

В древней Месопотамии основой для построения чисел было 60, при этом 10 использовалось как вспомогательная основа для чисел меньше 60.

Западная Африка

Многие западноафриканские языки основывают свои числительные на сочетании 5 и 20, происходящем из представления о полной руке или полном наборе пальцев, включающем пальцы рук и ног. Фактически, в некоторых языках слова для 5 и 20 обозначают эти части тела (например, слово для 20 может означать "полный человек"). Числительные меньше 20 основаны на 5, а более высокие числа формируются путем комбинирования меньших чисел с кратными и степенями 20. Разумеется, это описание сотен африканских языков сильно упрощено; более подробную информацию и ссылки можно найти в работе Заславского (1973).

Подсчет пальцев

Многие системы счёта на пальцах были и до сих пор используются в различных частях мира. Большинство из них не так просты, как демонстрация определённого количества пальцев. Важно может быть положение пальцев. Одно из распространённых применений счёта на пальцах – общение о ценах на рынке между людьми, говорящими на разных языках. В отличие от счёта на пальцах, народ юки (коренные американцы из Северной Калифорнии) ведет счёт, используя четыре промежутка между пальцами, а не сами пальцы. Это известная как восьмеричная (основание 8) система счисления.

Некоторые примеры и основные участники

Отличными примерами служат обзор Д'Амброзио 1980 года об эволюции математики, его призыв 1985 года к включению этноматематики в историю математики и его статья 2002 года об историографических подходах к не западной математике. Кроме того, попытка Франкенштейна и Пауэлла 1989 года переосмыслить математику с не европоцентрической точки зрения и концепции Андерсона о всемирной математике 1990 года представляют собой значительный вклад в эту область. Также были представлены подробные исследования истории математического развития неевропейских цивилизаций, таких как математика древней Японии, Ирака, Египта, а также исламской, еврейской и инкской цивилизаций.

Философия и культурная природа математики

Основная тема любых дебатов о культурной природе математики в конечном итоге приводит к исследованию самой природы математики. Один из старейших и наиболее спорных вопросов в этой области – является ли математика внутренней или внешней, восходящий к аргументам Платона, сторонника внешней позиции, и Аристотеля, сторонника внутренней позиции. С одной стороны, интерналисты, такие как Бишоп, Стиглер и Баранес, считают математику культурным продуктом. С другой стороны, экстерналисты, такие как Барроу, Шевальяр и Пенроуз, рассматривают математику как независимую от культуры и, как правило, являются основными критиками этноматематики. Наряду со спорами о природе математики возникают вопросы о природе этноматематики и о том, является ли этноматематика частью математики или нет. Бартон, внесший основной вклад в исследования этноматематики и философии, задается вопросом, является ли "этноматематика предшественницей, параллельным корпусом знаний или телом знаний, существовавшим до колонизации" математики, и возможно ли нам идентифицировать все виды математики, опираясь на западный эпистемологический фундамент.

Политическая математика

Вклады в этой области стремятся прояснить, как математика повлияла на сферы общества, не связанные с академической средой. Одним из наиболее спорных и провокационных политических аспектов этноматематики являются ее расовые последствия. Этноматематики заявляют, что приставка "этно" не должна пониматься как относящаяся к расе, а скорее к культурным традициям различных групп людей. Однако в таких местах, как Южная Африка, понятия культуры, этнической принадлежности и расы не только тесно переплетены, но и несут в себе сильные, разделяющие негативные коннотации. Поэтому, несмотря на то, что может быть прямо заявлено, что этноматематика не является "расистской доктриной", она подвержена ассоциациям с расизмом. Другая важная сторона этой области изучает взаимосвязь между гендером и математикой. Она охватывает такие темы, как различия в успеваемости мальчиков и девочек по математике в образовании и выборе карьеры, социальные причины этих различий, вклад женщин в математические исследования и разработки и т.д.

Некоторые примеры и основные участники

Письма Гердеса о том, как математику можно использовать в школьных системах Мозамбика и Южной Африки, а также обсуждение Д’Амброзио в 1990 году о роли математики в создании демократического и справедливого общества – примеры того, какое влияние математика может оказывать на формирование идентичности общества. В 1990 году Бишоп также писал о сильном и доминирующем влиянии западной математики. Более конкретные примеры политического воздействия математики можно найти в исследовании Книжика 1993 года о том, как бразильские фермеры, выращивающие сахарный тростник, могли бы быть политически и экономически усилены благодаря математическим знаниям, и в анализе Осмонда, посвященном оценке ценности математических знаний работодателями (2000).

Математика разных культур

В этой области основное внимание уделяется представлению математических идей людей, которые обычно исключаются из обсуждений формальной, академической математики. Исследование математики этих культур указывает на две несколько противоречивые точки зрения. Первая поддерживает объективность математики и утверждает, что она открывается, а не конструируется. Исследования показывают, что все культуры обладают базовыми методами счета, сортировки и дешифровки, и что они возникали независимо друг от друга в разных частях света. Это можно использовать в качестве аргумента в пользу того, что эти математические концепции обнаруживаются, а не создаются. Однако другие подчеркивают, что практическая ценность математики склонна скрывать ее культурную обусловленность. Естественно, не вызывает удивления, что такие исключительно практичные понятия, как числа и счет, возникли во всех культурах. Однако универсальность этих понятий представляется все более сложной для обоснования, поскольку все больше исследований выявляют практики, типично математические по своей природе – такие как счет, упорядочивание, сортировка, измерение и взвешивание – выполняемые радикально различными способами (см. Раздел 2.1: Числа и системы именования). Одной из проблем, с которой сталкиваются исследователи в этой области, является то, что они ограничены собственными математическими и культурными рамками. При обсуждении математических идей других культур они переосмысливаются в рамках западной традиции, чтобы их можно было идентифицировать и понять. Это ставит вопрос о том, сколько математических идей остаются незамеченными просто потому, что им не хватает аналогичных западных математических соответствий, и о том, как провести границу между математическими и не математическими идеями.

Некоторые примеры и основные участники

Большинство исследований в этой области посвящены интуитивному математическому мышлению представителей небольших, традиционных, коренных культур, включая аборигенов Австралии, коренные народы Либерии, коренных американцев в Северной Америке, жителей островов Тихого океана, бразильских прорабов и различные племена Африки.

Игры навыков

Огромное разнообразие игр, которые можно анализировать математически, игралось во всем мире и на протяжении всей истории. Интерес этноматематика обычно сосредоточен на том, как игра отражает неформальное математическое мышление как часть повседневной жизни общества, но иногда распространяется и на математический анализ самих игр. Она не включает в себя детальный анализ оптимальной стратегии игры, но может включать социальные или математические аспекты такого анализа. Математическая игра, хорошо известная в европейской культуре, – это крестики-нолики. Это геометрическая игра, которая ведется на поле 3x3; цель состоит в том, чтобы построить прямую линию из трех одинаковых символов. Существует множество схожих игр, распространенных по всей Англии, и это лишь одна из стран, где они встречаются. Другой вид геометрических игр включает в себя фигуры, которые перемещаются или перепрыгивают друг через друга внутри определенной формы («игрового поля»). Возможны взятия фигур. Целью может быть уничтожение фигур противника или просто создание определенной конфигурации, например, расположение фигур в соответствии с заданным правилом. Одной из таких игр является «Моррис» (или «Мельница»); у нее бесчисленное множество вариантов, в которых может меняться игровое поле, начальная расстановка или правила хода, иногда весьма существенно. В такую игру удобно играть на открытом воздухе, используя камни на земле, хотя сейчас для нее часто используют пластиковые фигуры на бумажном или деревянном поле. Математическая игра, распространенная в Западной Африке, заключается в том, чтобы нарисовать определенную фигуру линией, которая не прерывается, пока не замкнется, достигнув начальной точки (в математической терминологии это эйлеров путь в графе). Дети рисуют эти фигуры палками на земле или песке, и, конечно, в нее можно играть с ручкой и бумагой. Игры в шашки, шахматы, оуэре (и другие игры манкала) и го также могут рассматриваться как объекты изучения этноматематики.

Математика в народном искусстве

Один из способов проявления математики в искусстве – это симметрии. Узоры в тканях или коврах (для примера) часто имеют ту или иную симметричную структуру. Прямоугольный ковер нередко демонстрирует прямоугольную симметрию в общем рисунке. Тканые изделия могут относиться к одному из семнадцати типов плоских групп симметрии; подробнее см. в иллюстрированном математическом исследовании африканских ткацких узоров, представленном в работе Crowe (2004). Некоторые типы узоров, обнаруженные этноматематическими сообществами, связаны с технологиями; об иллюстрированном математическом исследовании узоров и симметрии в Евразии см. Berczi (2002). После анализа индонезийских народных ткацких узоров и традиционных архитектурных орнаментов народа Батак, Хокки Ситунгкир проанализировал геометрию традиционных индонезийских мотивов батика, что в итоге привело к созданию нового жанра фрактальных батиков как формы генеративного искусства; подробности реализации см. в работе Situngkir и Surya (2007).

Математическое образование

Этноматематика и математическое образование рассматривает, во-первых, как культурные ценности могут влиять на преподавание, обучение и учебные программы, а во-вторых, как математическое образование может влиять на политическую и социальную динамику в культуре. Одна из распространенных точек зрения среди педагогов заключается в том, что необходимо учитывать культурный контекст учащихся, преподавая математику, основанную на их культуре и понятную им. Может ли преподавание математики через культурную значимость и личный опыт помочь учащимся лучше понимать реальность, культуру, общество и самих себя? (Роберт, 2006)

Другой подход, предлагаемый преподавателями математики, – это ознакомление учащихся с математикой различных культурных контекстов, часто называемой мультикультурной математикой. Это может быть использовано как для повышения социальной осведомленности учащихся, так и для представления альтернативных способов решения традиционных математических задач, например, умножения (Эндрю, 2005).

Примеры

Различные педагоги математики исследовали способы интеграции культуры и математики в учебном процессе, например: Барбер и Эстрин (1995) и Брэдли (1984) в контексте образования коренных американцев, Гердес (1988b и 2001) с предложениями по использованию африканского искусства и игр, Маллой (1997) об афроамериканских учащихся и Флорес (1997), разработавший методики обучения для учащихся латиноамериканского происхождения.

Критика

Некоторые критики утверждают, что математическое образование уделяет чрезмерное внимание этноматематике в целях продвижения мультикультурализма, при этом недостаточно времени отводится основному математическому содержанию, что часто приводит к преподаванию псевдонауки. Ричард Аски исследовал учебник "Фокус на алгебре" (издательства Addison Wesley, подвергшийся критике в авторской колонке Марианны М. Дженнингс) и, помимо прочих недостатков, обнаружил в нём повторение опровергнутых утверждений об астрономии народа догон. В последнее время изменения в учебной программе, предложенные школьным округом Сиэтла, вызвали критику этноматематики. Некоторые оценили предложенные изменения, включающие структуру для интеграции математики и этнических исследований, за включение вопросов, таких как "Насколько важно быть правым?" и "Кто определяет, является ли ответ правильным?".