Кіріспе
Математикада, негізге ие модуль – математикада, еркін модуль негізге ие модуль, яғни сызықтық тәуелсіз элементтерден тұратын генераторлық жиын. Кез келген векторлық кеңістік – еркін модуль, бірақ егер коэффициенттер сақинасы бөліну сақинасы болмаса (коммутативтік жағдайда өріс болмаса), онда еркін емес модульдер де болады. Кез келген S жиыны мен R сақинасы үшін, S негізіндегі R-дың еркін модулі бар, ол S-дегі еркін модуль немесе S элементтерінің R формалды сызықтық комбинацияларының модулі деп аталады. Еркін абельдік топ – бүтін сандардың Z сақинасы бойынша еркін модуль.
In mathematics, a free module is a module that has a basis, that is, a generating set consisting of linearly independent elements. Every vector space is a free module, but, if the ring of the coefficients is not a division ring (not a field in the commutative case), then there exist non free modules. Given any set S and ring R, there is a free R module with basis S, which is called the free module on S or module of formal R linear combinations of the elements of S.
A free abelian group is precisely a free module over the ring 'Z' of integers.
Мысалдар
R – сақина. R өзінің үстінде біртұтас ранктік еркін модуль болып табылады (сол немесе оң модуль ретінде); кез келген бірлік элементі – негіз. Жалпы алғанда, егер R коммутативті болса, R-дың нөлдік емес идеалы I еркін болады, егер және тек қана ол нөлдік емес бөлгішпен туындаған негізгі идеал болса, онда генератор негіз болып табылады. Негізгі идеалдық доменде (мысалы, ) еркін модульдің субмодулі еркін болады. Егер R коммутативті болса, онда X белгісізіндегі полиномдық сақина 1, X, X² негізімен еркін модуль болып табылады. A коммутативті сақинадағы полиномдық сақина, f – d дәрежелі мономиялық полином және t-ның B-дегі бейнесі болсын. Онда B, A-ны субсақина ретінде қамтиды және A модулі ретінде негізі бар еркін модуль болып табылады. Кез келген теріс емес n бүтін саны үшін, R-дың n көшірмесінің карталық көбейтіндісі сол R модулі ретінде еркін. Егер R-дың инвариантты негіз саны болса, онда оның ранкі n-ге тең. Еркін модульдердің тікелей қосындысы еркін, ал еркін модульдердің шексіз карталық көбейтіндісі, әдетте, еркін емес (Baer–Specker тобына қараңыз). Коммутативті жергілікті сақинадағы шекті туындаған модуль, егер және тек қана ол адал жазық болса, ғана еркін болады. Сондай-ақ, Капланский теоремасы (мүмкін коммутативті емес) жергілікті сақинадағы проективті модульдің еркін екенін көрсетеді. Кейде модульдің еркін немесе еркін емес екендігі жиынтық теориялық тұрғыдан шешілмейді. Белгілі мысал – Уайтхед мәселесі, ол Уайтхед тобының еркін немесе еркін еместігін сұрайды. Бұл мәселенің ZFC-ге тәуелді емес екені анықталды.
Let be a polynomial ring over a commutative ring A, f a monic polynomial of degree d there, and the image of t in B. Then B contains A as a subring and is free as an A module with a basis For any non negative integer n, , the cartesian product of n copies of R as a left R module, is free. If R has invariant basis number, then its rank is n.
A direct sum of free modules is free, while an infinite cartesian product of free modules is generally not free (cf. the Baer–Specker group). A finitely generated module over a commutative local ring is free if and only if it is faithfully flat. Also, Kaplansky's theorem states a projective module over a (possibly non commutative) local ring is free. Sometimes, whether a module is free or not is undecidable in the set theoretic sense. A famous example is the Whitehead problem, which asks whether a Whitehead group is free or not. As it turns out, the problem is independent of ZFC.
Жалпылау
Бос модульдерге қатысты көптеген дұрыс тұжырымдар модульдердің белгілі бір кеңірек сыныптарына да қолданылады. Проективті модульдер – бос модульдердің тікелей қосылғыштары. Жазық модульдер олармен тензорлау дәл тізбектерді сақтайтынымен анықталады. Бұралусыз модульдер одан да кең сыныпты құрайды. Шекті түрде жасалған модуль үшін, негізгі идеалдық доменде (мысалы, Z), бос, проективті, жазық және бұралусыз қасиеттері эквивалентті. Жергілікті сақина, толық сақина және Дедекинд сақинасына қараңыз.