Введение

В математике, модуль, имеющий базис. В математике, свободный модуль — это модуль, имеющий базис, то есть генерирующий набор, состоящий из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем, но если кольцо коэффициентов не является кольцом деления (не является полем в коммутативном случае), то существуют модули, не являющиеся свободными. Для любого множества S и кольца R существует свободный R-модуль с базисом S, который называется свободным модулем, порожденным S, или модулем формальных R-линейных комбинаций элементов S.

Свободная абелева группа — это, по сути, свободный модуль над кольцом Z целых чисел.

Примеры

Пусть R – кольцо. R является свободным модулем ранга один над собой (как левый или правый модуль); любой обратимый элемент является базисом. В более общем случае, если R коммутативно, то ненулевой идеал I в R свободен тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, порожденным делителем, не являющимся нулевым делителем, при этом порождающий элемент является базисом. Над областью главных идеалов (например, ), подмодуль свободного модуля свободен. Если R коммутативно, то кольцо многочленов от неопределенного X является свободным модулем с возможным базисом 1, X, X², … Пусть – кольцо многочленов над коммутативным кольцом A, f – моничный многочлен степени d там, а – образ t в B. Тогда B содержит A как подкольцо и является свободным A-модулем с базисом . Для любого неотрицательного целого числа n, , декартово произведение n копий R как левого R-модуля, свободно. Если R имеет инвариантный базисный номер, то его ранг равен n. Прямая сумма свободных модулей свободна, а бесконечное декартово произведение свободных модулей, как правило, не свободно (см. группу Баэра — Спекера). Конечно порожденный модуль над коммутативным локальным кольцом свободен тогда и только тогда, когда он верно плоский. Кроме того, теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над (возможно, некоммутативным) локальным кольцом свободен. Иногда вопрос о том, является ли модуль свободным или нет, неразрешим в теоретико-множественном смысле. Известным примером является проблема Уайтхеда, которая спрашивает, свободна ли группа Уайтхеда или нет. Как оказалось, эта проблема независима от ZFC.

Обобщения

Многие утверждения, верные для свободных модулей, распространяются на некоторые более широкие классы модулей. Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей. Плоские модули определяются свойством сохранения точных последовательностей при тензорном произведении с ними. Модули без кручения образуют ещё более широкий класс. Для конечно порожденного модуля над областью главных идеалов (например, Z), свойства свободный, проективный, плоский и без кручения эквивалентны. См. локальное кольцо, совершенное кольцо и кольцо Дедекинда.