Математика білімі: тарих, оқыту және зерттеулер

Кіріспе

Математиканы оқыту, үйрену және ғылыми зерттеулер

Қазіргі білім беруде математика білімі – Еуропада математика дидактикасы немесе педагогикасы деп аталатын – математикалық білімді оқыту, үйрену және оны зерттеу практикасы болып табылады. Математика білімі саласындағы зерттеулер көбінесе практиканы немесе практиканы зерттеуді жеңілдететін құралдарға, әдістерге және тәсілдерге қатысты болғанымен, ол түрлі ұғымдарды, теорияларды және әдістерді қамтитын кең зерттеу саласын да қамтиды. Ұлттық және халықаралық ұйымдар математика білімін жақсарту үшін тұрақты түрде конференциялар өткізіп, ғылыми еңбектер жариялайды.

Ежелгі

Элементар математика көптеген ежелгі өркениеттердегі білім берудің маңызды бөлігі болды, оның ішінде ежелгі Мысыр, ежелгі Вавилония, ежелгі Грекия, ежелгі Рим және Ведалық Үндістан. Көбінесе, формалды білім тек жоғары дәрежелі, бай немесе касталық жағдайы жоғары ер балаларға ғана қол жетімді болды. Математика бойынша белгілі ең көне оқулық – шамамен б.з.д. 1650 жылы жазылған Ринд папирусы.

Пифагор теоремасы

Месопотамия тарихшылары Пифагор ережесінің қолданылуы Ежелгі Вавилон империясына (б.з.д. 20-16 ғасырлар) дейін жететінін және Пифагор туғанға дейін мың жылдан астам бұрын жазушылар мектептерінде оқытылғанын растады. Платонның либералды өнерлерді тривиум мен квадривиумға бөлуінде квадривиум арифметика және геометрия сияқты математикалық пәндерді қамтыды. Бұл құрылым ортағасырлық Еуропада дамыған классикалық білім беру жүйесінде сақталды. Геометрияны оқыту көбінесе Евклидтің "Элементтері" негізінде жүргізілді. Шеберханаларда, саудагерлерде және несие берушілерде оқыған шәкірттер өз мамандықтарына қатысты практикалық математиканы үйренуге мүмкіндік алды.

Орта ғасырлар мен ерте заманауи

Орта ғасырларда математиканың академиялық статусы төмендеді, себебі ол сауда-саттықпен және коммерциямен тығыз байланысты болды, сондай-ақ, белгілі бір дәрежеде христиандыққа қарсы деп есептелді. Еуропа университеттерінде оқытылуын жалғастырғанмен, ол табиғаттану, метафизика және моральдық философияны зерттеуге бағынышты саналды. Бірінші заманауи арифметикалық оқу жоспары (қосудан басталып, содан кейін алу, көбейту және бөлу) 1300 жылдары Италиядағы есептеу мектептерінде пайда болды. Сауда жолдарымен тараған бұл әдістер коммерцияда қолдану үшін әзірленген. Олар университеттерде оқытылатын Платондық математикадан өзгеше болды, ол көбірек философиялық сипатта болды және сандарды есептеу әдістерінен гөрі ұғымдар ретінде қарастырды. Математика біліміне жаңа қызығушылық 1960 жылдары оянды, ал Халықаралық комиссия қайта жанданды. 1968 жылы Ноттингемде математикалық білім беру орталығы "Shell Centre" құрылды. Математикалық білім беру жөніндегі бірінші халықаралық конгресс (ICME) 1969 жылы Лионда өтті. Екінші конгресс 1972 жылы Эксетерде өткізілді, содан бері ол әр төрт жыл сайын өткізіліп келеді. 20-шы ғасырда "электрондық дәуірдің" (Маклюхан) мәдени әсері білім беру теориясы және математиканы оқытуда да ескерілді. Бұрынғы тәсіл "арифметикадағы белгілі бір 'мәселелермен' жұмыс істеуге" бағытталған болса, жаңа құрылымдық білім беру тәсілі "кішкентай балалардың сан теориясы және 'жинақтар' туралы ойлауына" мүмкіндік берді.

Әдістер

Кез келген жағдайда қолданылатын әдіс немесе әдістер негізінен тиісті білім беру жүйесінің мақсаттарына байланысты. Математиканы оқыту әдістері: Компьютерлік математика: математикалық бағдарламалық жасақтаманы есептеудің негізгі құралы ретінде пайдалануға негізделген тәсіл. Компьютерлік математикалық білім беру: математиканы оқыту үшін компьютерлерді қолдануды қамтиды. Оқушыларға математиканы үйренуде көмектесетін мобильді қосымшалар да жасалды. Классикалық білім: классикалық білім беру бағдарламасының орта ғасырлардағы бөлігі болып табылатын квадривиумдағы математиканы оқыту, ол әдетте Эвклидтің «Элементтеріне» негізделген, дедуктивті ойлау парадигмасы ретінде оқытылған. Дәстүрлі тәсіл: математикалық ұғымдар, идеялар мен техникалардың иерархиясы арқылы біртіндеп және жүйелі түрде басшылық ету. Арифметикадан басталады, одан кейін бір мезгілде Евклид геометриясы және элементарлық алгебрадан сабақ беріледі. Оқытушының математиканың элементарлық пәндері туралы жақсы білуі қажет, өйткені дидактикалық және оқу бағдарламасының шешімдері көбінесе педагогикалық емес, пәннің логикасына байланысты. Басқа әдістер осы тәсілдің кейбір аспектілерін атап өту арқылы пайда болады. Қарым-қатынастық тәсіл: күнделікті проблемаларды шешу үшін сабақ тақырыптарын қолданады және тақырыпты ағымдағы оқиғалармен байланыстырады. Бұл тәсіл математиканың көптеген пайдасына назар аударады және студенттерге оны неге білуі керектігін түсінуге көмектеседі, сондай-ақ оларға математиканы сыныптан тыс нақты жағдайларға қолдануға көмектеседі. Тарихи әдіс: математиканың тарихи, әлеуметтік және мәдени тұрғыдағы дамуын оқыту. Оның жақтаушылары бұл әдіс дәстүрлі әдіске қарағанда адам қызығушылығын арттырады деп айтады. Ашылу математикасы: ашық сұрақтар мен манипуляциялық құралдарды қолдану арқылы математиканы оқытудың (ашылу оқыту) конструктивистік әдісі. Математика білімінің бұл түрі 2005 жылдан бастап Канаданың әртүрлі аймақтарында жүзеге асырылды. Ашылуға негізделген математика Канаданың «математикалық соғыстар» пікірталасының алдыңғы қатарында тұр, көптеген адамдар оны математикадан баллдың төмендеуі үшін сынға алады. Жаңа математика: математиканы оқыту әдісі, ол жинақтар теориясы, функциялар және оннан басқа негіздер сияқты абстрактіл ұғымдарға бағытталған. АҚШ-та кеңестік ғарыш бағдарламасының техникалық басымдығына жауап ретінде қабылданған, ол 1960-шы жылдардың соңында сынға ұшырай бастады. Жаңа математиканың ең ықпалды сыншыларының бірі Моррис Клайнның 1973 жылы жарық көрген «Неге Джонни қосуға болмайды» кітабы болды. Жаңа математикалық әдіс Том Лерердің ең танымал пародиялық әндерінің бірі болды, оның әнге кіріспе сөздерімен: «Жаңа тәсілде, сіз білесіз, маңызды нәрсе – дұрыс жауап алудан гөрі, не істеп жатқаныңызды түсіну». Көңіл көтеру математикасы: қызықты математикалық мәселелер оқушыларды математиканы үйренуге ынталандырады және олардың математикадан рақат алуын арттырады. Стандарттарға негізделген математика: АҚШ және Канадада колледжге дейінгі математика білім беруінің көрінісі, математикалық идеялар мен процедураларды студенттердің терең түсінуіне бағытталған және Мектеп математикасының қағидалары мен стандарттарын жасаған Ұлттық математика мұғалімдері кеңесімен ресмилендірілген. Шеберлік: бұл әдіс бойынша оқушылардың басым көпшілігі жоғары деңгейге жетуі керек. Проблеманы шешу: математикалық тапқырлықты, шығармашылықты және эвристикалық ойлауды дамыту, оқушыларға ашық, ерекше және кейде шешілмеген проблемаларды қою арқылы. Мәселелер қарапайым сөздік проблемалардан бастап, Халықаралық математикалық олимпиада сияқты халықаралық математикалық жарыстардан туындаған проблемаларға дейін жетуі мүмкін. Мәселелерді шешу жаңа математикалық білімді қалыптастырудың құралы ретінде қолданылады, әдетте студенттердің алдыңғы түсініктеріне негізделеді. Жаттығулар: қарапайым бөлшектерді қосу немесе квадраттық теңдеулерді шешу сияқты ұқсас жаттығуларды көптеп орындау арқылы математикалық дағдыларды нығайту. Жазбаша оқу: математикалық нәтижелерді, анықтамалар мен ұғымдарды қайталау және жаттап алу арқылы оқыту, әдетте мағынасыз немесе математикалық ойлау арқылы қолдау табады. «Бұрғылап өлтіру» деген мағынасы бар. Дәстүрлі білім беруде, жаттап үйрену көбейту кестелерін, анықтамалар, формулалар және математиканың басқа да аспектілерін үйрету үшін қолданылады. Математикалық саяхат: қоршаған ортадағы заттар мен көріністерді математикалық тілге аудару арқылы жүзеге асырылатын саяхат.

The method or methods used in any particular context are largely determined by the objectives that the relevant educational system is trying to achieve. Methods of teaching mathematics include the following:

Computer based math: an approach based on the use of mathematical software as the primary tool of computation. Computer based mathematics education: involves the use of computers to teach mathematics. Mobile applications have also been developed to help students learn mathematics. Classical education: the teaching of mathematics within the quadrivium, part of the classical education curriculum of the Middle Ages, which was typically based on Euclid's Elements taught as a paradigm of deductive reasoning. Conventional approach: the gradual and systematic guiding through the hierarchy of mathematical notions, ideas and techniques. Starts with arithmetic and is followed by Euclidean geometry and elementary algebra taught concurrently. Requires the instructor to be well informed about elementary mathematics since didactic and curriculum decisions are often dictated by the logic of the subject rather than pedagogical considerations. Other methods emerge by emphasizing some aspects of this approach. Relational approach: uses class topics to solve everyday problems and relates the topic to current events. This approach focuses on the many uses of mathematics and helps students understand why they need to know it as well as helps them to apply mathematics to real world situations outside of the classroom. Historical method: teaching the development of mathematics within a historical, social, and cultural context. Proponents argue it provides more human interest than the conventional approach. Discovery math: a constructivist method of teaching (discovery learning) mathematics which centres around problem based or inquiry based learning, with the use of open ended questions and manipulative tools. This type of mathematics education was implemented in various parts of Canada beginning in 2005. Discovery based mathematics is at the forefront of the Canadian "math wars" debate with many criticizing it for declining math scores. New Math: a method of teaching mathematics which focuses on abstract concepts such as set theory, functions, and bases other than ten. Adopted in the US as a response to the challenge of early Soviet technical superiority in space, it began to be challenged in the late 1960s. One of the most influential critiques of the New Math was Morris Kline's 1973 book Why Johnny Can't Add. The New Math method was the topic of one of Tom Lehrer's most popular parody songs, with his introductory remarks to the song: " in the new approach, as you know, the important thing is to understand what you're doing, rather than to get the right answer." Recreational mathematics: mathematical problems that are fun can motivate students to learn mathematics and can increase their enjoyment of mathematics. Standards based mathematics: a vision for pre college mathematics education in the United States and Canada, focused on deepening student understanding of mathematical ideas and procedures, and formalized by the National Council of Teachers of Mathematics which created the Principles and Standards for School Mathematics. Mastery: an approach in which most students are expected to achieve a high level of competence before progressing. Problem solving: the cultivation of mathematical ingenuity, creativity, and heuristic thinking by setting students open ended, unusual, and sometimes unsolved problems. The problems can range from simple word problems to problems from international mathematics competitions such as the International Mathematical Olympiad. Problem solving is used as a means to build new mathematical knowledge, typically by building on students' prior understandings. Exercises: the reinforcement of mathematical skills by completing large numbers of exercises of a similar type, such as adding simple fractions or solving quadratic equations. Rote learning: the teaching of mathematical results, definitions and concepts by repetition and memorisation typically without meaning or supported by mathematical reasoning. A derisory term is drill and kill. In traditional education, rote learning is used to teach multiplication tables, definitions, formulas, and other aspects of mathematics. Math walk: a walk where experience of perceived objects and scenes is translated into mathematical language.

Стандарттар

Тарихтың көп бөлігінде математика білімінің стандарттары жергілікті мектептер немесе мұғалімдер тарапынан белгіленді, олар өз оқушылары үшін маңызды, нақты және әлеуметтік жағынан қабылданатын жетістік деңгейлеріне сүйенді. Қазіргі заманда аймақтық немесе ұлттық стандарттарға қарай ұмтылыс күшейді, әдетте кең ауқымды мектептік оқу бағдарламасы аясында. Мысалы, Англияда математика білімінің стандарттары Англияның Ұлттық оқу бағдарламасының бір бөлігі ретінде белгіленеді, ал Шотландия өз білім беру жүйесін сақтайды. Көптеген елдерде ұлттық стандарттар мен оқу бағдарламаларын, кейде тіпті оқулықтарды бекітетін орталықтандырылған министрліктер бар. Ма (2000) басқа зерттеушілердің нәтижелерін қорытындылады, олар ұлттық деңгейдегі деректерге сүйене отырып, стандартталған математикалық тесттерде жоғары ұпай алған оқушылар жоғары сыныптарда математика курстарын көбірек оқығандарын анықтады. Бұл кейбір штаттарды математиканы екі жыл емес, үш жыл оқуға міндеттеді. Алайда, бұл талап көбінесе төмен деңгейдегі математика курсын қосымша алу арқылы орындалғандықтан, қосымша курстар жетістік деңгейін көтеруде шектеулі әсер етті. Солтүстік Америкада Ұлттық математика мұғалімдері кеңесі (NCTM) 2000 жылы АҚШ және Канада үшін «Мектеп математикасының қағидаттары мен стандарттарын» жариялады, бұл математика реформасына бағытталған үрдісті күшейтті. 2006 жылы NCTM «Оқу бағдарламасының негізгі тұстары» атты құжатты ұсынды, онда 8-сыныпқа дейінгі әр сыныпқа ең маңызды математикалық тақырыптар ұсынылды. Дегенмен, бұл стандарттар американдық штаттар мен канадтық провинциялардың таңдауы бойынша жүзеге асырылатын нұсқаулар болды. 2010 жылы Ұлттық губернаторлар қауымдастығының үздік тәжірибелер орталығы және Мемлекеттік мектептердің бас директорлары кеңесі АҚШ штаттары үшін «Жалпы негізгі мемлекеттік стандарттарды» жариялады, оларды көптеген штаттар қабылдады. Математикадағы жалпы негізгі мемлекеттік стандарттарды қабылдау әр штаттың қалауына байланысты, федералды үкімет міндеттей алмайды. «Штаттар академиялық стандарттарын үнемі қарап отырады және оқушыларының қажеттіліктерін ең жақсы қанағаттандыру үшін стандарттарды өзгертуге немесе толықтыруға құқылы». NCTM-нің штаттық деңгейде әртүрлі білім беру стандарттарын ұстанатын филиалдары бар. Мысалы, Миссури штатында Миссури математика мұғалімдері кеңесі (MCTM) бар, оның веб-сайтында білім берудің негізгі қағидалары мен стандарттары жарияланған. MCTM сонымен қатар мұғалімдер мен болашақ мұғалімдерге математика білім беру стандарттарындағы өзгерістер туралы хабардар болу үшін мүшелікке қатысу мүмкіндігін ұсынады. Халықаралық студенттерді бағалау бағдарламасы (PISA), Экономикалық ынтымақтастық және даму ұйымы (ЭЫДҰ) құрған, 15 жастағы оқушылардың оқу, ғылым және математика қабілеттерін зерттейтін жаһандық бағдарлама болып табылады. Алғашқы бағалау 2000 жылы 43 елдің қатысуымен жүргізілді. PISA үш жыл сайын осы бағалауды қайталап, салыстыруға болатын деректер ұсынады, жастарды болашақ экономикаға жақсы дайындауға бағытталған жаһандық білім беруді дамытуға көмектеседі. PISA бағалауларының нәтижелеріне байланысты көптеген салдарлар болды, олар мүдделі тараптардың жасырын және ашық реакцияларына байланысты білім беру реформалары мен саясаттағы өзгерістерге әкелді. Алайда, балалардың математиканы қалай үйренуіне қатысты пайдалы теориялар бар және соңғы онжылдықтарда осы теорияларды оқыту процесінде қалай қолдануға болатынын зерттеу үшін көптеген зерттеулер жүргізілді. Төмендегі нәтижелер математика білімі саласындағы қазіргі зерттеулердің мысалдары болып табылады. === Маңызды нәтижелер) Бұл байланыстарды процедураның мағынасын түсіндіру, стратегияларды және проблемаларды шешуді салыстыратын сұрақтар қою, бір проблеманың екінші проблеманың ерекше жағдайы екенін байқау, оқушыларды негізгі ойды еске түсіру, сабақтардың байланысын талқылау және т.б. арқылы орнатуға болады. Математикалық идеялармен саналы және жемісті күрес – оқушылар маңызды математикалық идеялармен күш салғанда, тіпті бұл күрес бастапқыда шатасу мен қателіктерге әкелсе де, оқу үлкен нәтиже береді. Бұл күрес қасақана қиындықтар тудыратын, жақсы ұйымдастырылған оқытудан немесе қасақана шатастыратын, дұрыс емес оқытудан туындаған жағдайда да солай.

Throughout most of history, standards for mathematics education were set locally, by individual schools or teachers, depending on the levels of achievement that were relevant to, realistic for, and considered socially appropriate for their pupils. In modern times, there has been a move towards regional or national standards, usually under the umbrella of a wider standard school curriculum. In England, for example, standards for mathematics education are set as part of the National Curriculum for England, while Scotland maintains its own educational system. Many other countries have centralized ministries which set national standards or curricula, and sometimes even textbooks. Ma (2000) summarized the research of others who found, based on nationwide data, that students with higher scores on standardized mathematics tests had taken more mathematics courses in high school. This led some states to require three years of mathematics instead of two. But because this requirement was often met by taking another lower level mathematics course, the additional courses had a “diluted” effect in raising achievement levels. In North America, the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) published the Principles and Standards for School Mathematics in 2000 for the United States and Canada, which boosted the trend towards reform mathematics. In 2006, the NCTM released Curriculum Focal Points, which recommend the most important mathematical topics for each grade level through grade 8. However, these standards were guidelines to implement as American states and Canadian provinces chose. In 2010, the National Governors Association Center for Best Practices and the Council of Chief State School Officers published the Common Core State Standards for US states, which were subsequently adopted by most states. Adoption of the Common Core State Standards in mathematics is at the discretion of each state, and is not mandated by the federal government. "States routinely review their academic standards and may choose to change or add onto the standards to best meet the needs of their students." The NCTM has state affiliates that have different education standards at the state level. For example, Missouri has the Missouri Council of Teachers of Mathematics (MCTM) which has its pillars and standards of education listed on its website. The MCTM also offers membership opportunities to teachers and future teachers so that they can stay up to date on the changes in math educational standards. The Programme for International Student Assessment (PISA), created by the Organisation for the Economic Co operation and Development (OECD), is a global program studying the reading, science, and mathematics abilities of 15 year old students. The first assessment was conducted in the year 2000 with 43 countries participating. PISA has repeated this assessment every three years to provide comparable data, helping to guide global education to better prepare youth for future economies. There have been many ramifications following the results of triennial PISA assessments due to implicit and explicit responses of stakeholders, which have led to education reform and policy change. However, there are useful theories on how children learn mathematics, and much research has been conducted in recent decades to explore how these theories can be applied to teaching. The following results are examples of some of the current findings in the field of mathematics education. === Important results) These connections can be made through explanation of the meaning of a procedure, questions comparing strategies and solutions of problems, noticing how one problem is a special case of another, reminding students of the main point, discussing how lessons connect, and so on. Deliberate, productive struggle with mathematical ideas refers to the fact that when students exert effort with important mathematical ideas, even if this struggle initially involves confusion and errors, the result is greater learning. This is true whether the struggle is due to intentionally challenging, well implemented teaching, or unintentionally confusing, faulty teaching.

Құрастырушылық бағалау

Формативтік бағалау – оқушылардың үлгерімін, олардың қызығушылығын және мұғалімдердің кәсіби қанағаттануын арттырудың ең тиімді әрі экономикалық жолы. Оның нәтижелері сынып санын кемітуден немесе мұғалімдердің пән білімін жетілдіруден де жоғары. Тиімді бағалау оқушылардың не білу керектігін нақтылауға, қажетті мәліметтерді алу үшін сәйкес тапсырмалар құруға, сапалы кері байланыс беруге, оқушыларды өз білімдерін өзектендіруге және бір-біріне көмектесуге негізделген.

Үй тапсырмасы

Оқушыларды өткен сабақтарды жаттықтыруға немесе болашақ сабақтарға дайындауға бағытталған үй тапсырмалары, ағымдағы сабақты қарастырудан гөрі тиімдірек. Оқушылар кері байланыстан пайда көреді. Оқу қиындықтары бар немесе мотивациясы төмен оқушылар сыйлықтардан үлкен пайда көруі мүмкін. Кішкентай балалар үшін үй тапсырмасы қарапайым дағдыларды дамытуға көмектеседі, бірақ жалпы жетістіктерді арттырмайды. === Қиындықтары бар оқушылар. Көптеген зерттеулер "аралас" сипатта болады, қажеттілікке қарай сандық және сапалық зерттеулердің элементтерін бірге қолданады.

Рандомизацияланған сынақтар

Әр түрлі зерттеулердің салыстырмалы күші туралы пікірталас туды. "Не жұмыс істейді" дегенге қатысты нақты, объективті дәлелдерді кездейсоқ сынақтар ғана береді деген пікірге байланысты, саясаткерлер көбінесе тек осы зерттеулерді қарастырады. Кейбір ғалымдар оқыту әдістерін сыныптарға кездейсоқ түрде тағайындау арқылы көбірек кездейсоқ эксперименттер жүргізуді ұсынды. Адамдарға қатысты басқа ғылым салаларында – биомедицина, психология және саясатты бағалауда – бақыланатын, кездейсоқ эксперименттер емдеуді бағалаудың басым әдісі болып табылады. Білім беру статистикасымен айналысатын мамандар және кейбір математика оқытушылары оқыту әдістерін бағалау үшін кездейсоқ эксперименттерді қолдануды ұлғайтуға тырысады. Бұл, нақты мектеп ортасында тәуелсіз айнымалыны қатаң бақылаудың қиындығына байланысты. АҚШ-та Ұлттық математика жөніндегі кеңесшіл комиссия (NMAP) 2008 жылы зерттеулер негізінде есеп жариялады, олардың кейбіреулері сыныптар немесе студенттер сияқты тәжірибелік бірліктерге емдеуді кездейсоқ түрде тағайындады. NMAP есебінің кездейсоқ эксперименттерге басымдық беруі кейбір ғалымдардан сыни пікірлерге ұшырады. 2010 жылы What Works Clearinghouse (Білім министрлігінің ғылыми бөлімі) дауды тоқтату үшін зерттеу базасын кеңейтіп, эксперименттік емес зерттеулерді, соның ішінде регрессиялық үздіксіздік дизайнын және жекелеген жағдайларды зерттеуді де қамтыды.