Математиканың түбі: Ақыл-ой қалыптастыру арқылы математиканың пайда болуы

Кіріспе

2000 жылы Лэкофф пен Нуньес жазған математика кітабы "Математика қайдан пайда болады: денелі ақыл математиканы қалай құрайды" (бұдан әрі WMCF) – когнитивтік лингвист Джордж Лэкофф пен психолог Рафаэль Э. Нуньес еңбегі. 2000 жылы жарық көрген WMCF математиканың танымдық ғылымын, концептуалды метафораға негізделген денелі математика теориясын қалыптастыруды мақсат етеді.

Адамның танымдық қабілеті мен математика

Лэкофф пен Нунестің мақсаты – математиканы шын мәнінде ғылыми тұрғыдан түсінудің негізін салу, ол барлық адам танымдарына ортақ процестерге негізделген. Олар негізгі арифметиканы төрт түрлі, бірақ өзара байланысты процестер арқылы құрылымдайды: нысандарды жинау, нысандарды құру, өлшеуіш таяқты пайдалану және жол бойымен қозғалу. WMCF Лакоффтың (1987) және Лакофф пен Джонсонның (1980, 1999) бұрынғы кітаптарына негізделген, олар екінші буын танымдық ғылымының метафоралар мен бейне схемаларының осындай тұжырымдамаларын талдайды. Осы бұрынғы кітаптардағы кейбір ұғымдар, мысалы, Лакоффтың (1987) қызықты техникалық идеялары, WMCF-те жоқ. Лэкофф пен Нунез математика адамның танымдық аппаратынан пайда болады және сондықтан танымдық тұрғыдан түсіну керек деп санайды. WMCF математиканың танымдық идеясын талдауды қолдайды (және оның кейбір мысалдарын қамтиды), ол математикалық идеяларды адам тәжірибесінің, метафоралардың, жалпылаулардың және оларды тудыратын басқа танымдық механизмдердің тұрғысынан талдайды. Стандартты математикалық білім беруде мұндай идеяларды талдау әдістері дамымайды, өйткені ол A) сананың қандай құрылымдары математиканы жасауға мүмкіндік береді немесе B) математика философиясы туралы ойларды ұстанбайды. Лэкофф пен Нунез психологиялық әдебиеттерді қарап, адамдарда 4 немесе 5-ке дейін санау, қосу және алу қабілеті бар деп қорытындылайды. Олар бұл тұжырымдамаға соңғы онжылдықтарда нәрестелерге арналған эксперименттерді сипаттайтын әдебиеттерді қарап шығып, дәлел келтіреді. Мысалы, сәбилер екі ғана ойыншықты алып, үш ойыншықты әкелгенде, олар бірден қызығады. Авторлар математиканың осы өте қарапайым деңгейден әлдеқайда асып түсетінін, өйткені көптеген метафоралық конструкциялар бар. Мысалы, Пифагордың барлық нәрсе сан деген ұстанымы және екі квадрат түбірінің иррационалдығын табумен байланысты сенім дағдарысы тек қана квадраттың диагоналінің ұзындығы мен заттардың ықтимал саны арасындағы метафоралық қатынастан туындайды. WMCF-тің көп бөлігі шексіз және шекті процестер туралы маңызды түсініктермен айналысады, шекті әлемде өмір сүретін шекті адамдар ақыр соңында нақты шексізді қалай түсіне алатынын түсіндіруге тырысады. Осылайша WMCF-тің көп бөлігі, іс жүзінде, эпистемологиялық негіздерді зерттеу. Лэкофф пен Нунез потенциалдық шексіз метафоралық емес, нақты шексіз деп қорытындылайды. Сонымен қатар, олар нақты шексіздің барлық көріністерін «Бескілікті негізгі метафора» деп атаған нәрселердің мысалы деп санайды, ол 1, 2, 3 ретінен үнемі өсіп отырады. WMCF математиканың платоникалық философиясын қатаң түрде жоққа шығарады. Олар біз білетін және білуге болатын нәрсе – адам математикасы, адам ақыл-ойынан туындайтын математика. Адамның ойлауынан тәуелсіз «трансценденттік» математика бар ма деген сұрақ – түстердің адам ойлауынан тыс екендігі туралы сұрақ сияқты мағынасыз сұрақ. Түстер – бұл тек жарықтың түрлі толқын ұзындығы, бұл оларды түстерге айналдыратын физикалық ынталандыруларды түсіндіру. WMCF (с. 81) математиктердің жабылу түсінігіне баса назар аударуын да сынға алады. Лэкофф пен Нунездің пікірінше, жабылуды күту – бұл метафора арқылы түбегейлі әртүрлі ұғымдарды байланыстыратын адам ақыл-ойының қабілетінің артефактісі. WMCF негізінен математиканың баламалы көзқарасын ұсынуға және құруға, оны адам биологиясы мен тәжірибесінің шындықтарына негіздеуге мүдделі. Бұл – математикалық немесе философиялық еңбек емес. Лэкофф пен Нунез математика философиясына дәстүрлі көзқарастар кемшілікке толы деп тұжырымдайтын алғашқылар емес. Мысалы, олар Дэвис пен Херштің (1981) кітабының мазмұнымен таныс емес сияқты, тіпті кітап Герштің қолдауын жылы қабылдаса да. Лэкофф пен Нунез өздерінің позициясын қолдау үшін Сондерс Мак Лейнді (Самуэль Эйленбергпен бірге категориялар теориясының ойлап табушысы) келтіреді. Математика, форма және функция (1986) – философтарға арналған математиканың жалпы көрінісі, математикалық ұғымдар ақыр соңында қарапайым адам іс-әрекеттеріне негізделген, көбінесе физикалық әлеммен өзара әрекеттесу. Педагогтар WMCF-тің математиканы қалай үйрену туралы және неге студенттер кейбір элементарлық ұғымдарды басқаларға қарағанда қиын деп тапқаны туралы ұсыныстарына қызығушылық танытуда. Алайда, тіпті білім беру тұрғысынан алғанда, WMCF әлі де проблемалық болып табылады. Тұжырымдамалық метафора теориясының тұрғысынан алғанда, метафоралар «нақты әлемнен», нақтыдан, абстрактіліден басқа салада тұрады. Басқаша айтқанда, математика адамның туындысы болғанымен, оқу орындарында оқытылатын белгілі математикалық білім – абстрактілі, физикалық бастауынан толыққанды бөлініп кеткен деп есептеледі. Бұл білімге қол жеткізудің жолдарын түсіндіре алмайды. WMCF сондай-ақ моноистік көзқарасы үшін де сынға ұшырайды. Біріншіден, біздің тілдік құрылымымыз – демек, математика – негізделген сенсомоторлық тәжірибе мәдениеттер мен жағдайларға қарай өзгеруі мүмкін екенін ескермейді. Екіншіден, WMCF-тің назар аударатын математикасы «оқулықтар мен оқу бағдарламаларындағы стандартты тұжырымдамалардың шамалы бөлігін ғана құрайды» (Ротман, 2008).

Lakoff and Núñez's avowed purpose is to begin laying the foundations for a truly scientific understanding of mathematics, one grounded in processes common to all human cognition. They find that four distinct but related processes metaphorically structure basic arithmetic: object collection, object construction, using a measuring stick, and moving along a path. WMCF builds on earlier books by Lakoff (1987) and Lakoff and Johnson (1980, 1999), which analyze such concepts of metaphor and image schemata from second generation cognitive science. Some of the concepts in these earlier books, such as the interesting technical ideas in Lakoff (1987), are absent from WMCF. Lakoff and Núñez hold that mathematics results from the human cognitive apparatus and must therefore be understood in cognitive terms. WMCF advocates (and includes some examples of) a cognitive idea analysis of mathematics which analyzes mathematical ideas in terms of the human experiences, metaphors, generalizations, and other cognitive mechanisms giving rise to them. A standard mathematical education does not develop such idea analysis techniques because it does not pursue considerations of A) what structures of the mind allow it to do mathematics or B) the philosophy of mathematics. Lakoff and Núñez start by reviewing the psychological literature, concluding that human beings appear to have an innate ability, called subitizing, to count, add, and subtract up to about 4 or 5. They document this conclusion by reviewing the literature, published in recent decades, describing experiments with infant subjects. For example, infants quickly become excited or curious when presented with "impossible" situations, such as having three toys appear when only two were initially present. The authors argue that mathematics goes far beyond this very elementary level due to a large number of metaphorical constructions. For example, the Pythagorean position that all is number, and the associated crisis of confidence that came about with the discovery of the irrationality of the square root of two, arises solely from a metaphorical relation between the length of the diagonal of a square, and the possible numbers of objects. Much of WMCF deals with the important concepts of infinity and of limit processes, seeking to explain how finite humans living in a finite world could ultimately conceive of the actual infinite. Thus much of WMCF is, in effect, a study of the epistemological foundations of the calculus. Lakoff and Núñez conclude that while the potential infinite is not metaphorical, the actual infinite is. Moreover, they deem all manifestations of actual infinity to be instances of what they call the "Basic Metaphor of Infinity", as represented by the ever increasing sequence 1, 2, 3,

WMCF emphatically rejects the Platonistic philosophy of mathematics. They emphasize that all we know and can ever know is human mathematics, the mathematics arising from the human intellect. The question of whether there is a "transcendent" mathematics independent of human thought is a meaningless question, like asking if colors are transcendent of human thought—colors are only varying wavelengths of light, it is our interpretation of physical stimuli that make them colors. WMCF (p. 81) likewise criticizes the emphasis mathematicians place on the concept of closure. Lakoff and Núñez argue that the expectation of closure is an artifact of the human mind's ability to relate fundamentally different concepts via metaphor. WMCF concerns itself mainly with proposing and establishing an alternative view of mathematics, one grounding the field in the realities of human biology and experience. It is not a work of technical mathematics or philosophy. Lakoff and Núñez are not the first to argue that conventional approaches to the philosophy of mathematics are flawed. For example, they do not seem all that familiar with the content of Davis and Hersh (1981), even though the book warmly acknowledges Hersh's support. Lakoff and Núñez cite Saunders Mac Lane (the inventor, with Samuel Eilenberg, of category theory) in support of their position. Mathematics, Form and Function (1986), an overview of mathematics intended for philosophers, proposes that mathematical concepts are ultimately grounded in ordinary human activities, mostly interactions with the physical world. Educators have taken some interest in what WMCF suggests about how mathematics is learned, and why students find some elementary concepts more difficult than others. However, even from an educational perspective, WMCF is still problematic. From the conceptual metaphor theory's point of view, metaphors reside in a different realm, the abstract, from that of 'real world', the concrete. In other words, despite their claim of mathematics being human, established mathematical knowledge — which is what we learn in school — is assumed to be and treated as abstract, completely detached from its physical origin. It cannot account for the way learners could access to such knowledge. WMCF is also criticized for its monist approach. First, it ignores the fact that the sensori motor experience upon which our linguistic structure — thus, mathematics — is assumed to be based may vary across cultures and situations. Second, the mathematics WMCF is concerned with is "almost entirely standard utterances in textbooks and curricula", Rotman, 2008).