Математическое образование: история, методика и исследования.

Введение

Преподавание, обучение и научные исследования в математике

В современном образовании математическое образование, известное в Европе как дидактика или педагогика математики, – это практика преподавания, обучения и проведения научных исследований, направленных на передачу математических знаний. Хотя исследования в области математического образования в основном сосредоточены на инструментах, методах и подходах, способствующих практике или изучению практики, они также охватывают широкую область исследований, включающую разнообразные концепции, теории и методы. Национальные и международные организации регулярно проводят конференции и публикуют научные труды с целью совершенствования математического образования.

Древние

Элементарная математика являлась ключевой частью образования во многих древних цивилизациях, включая Древний Египет, Древнюю Вавилонию, Древнюю Грецию, Древний Рим и Ведийскую Индию. В большинстве случаев формальное образование было доступно лишь мальчикам, обладавшим достаточно высоким статусом, богатством или происхождением из определенной касты. Самый древний из известных учебников по математике – папирус Ринда, датируемый приблизительно 1650 годом до нашей эры.

Теорема Пифагора

Историки Месопотамии подтвердили, что использование теоремы Пифагора восходит ко Древней Вавилонской империи (20–16 вв. до н.э.) и что её преподавали в школах писцов более чем за тысячу лет до рождения Пифагора. В разделении либеральных искусств, предложенном Платоном, на тривиум и квадривиум, квадривиум включал математические дисциплины арифметики и геометрии. Эта структура сохранилась в системе классического образования, разработанной в средневековой Европе. Обучение геометрии почти повсеместно основывалось на «Началах» Евклида. Подмастерья в таких ремеслах, как каменное дело, торговля и ростовщичество, могли рассчитывать на изучение практической математики, необходимой для их профессии.

Средневековье и раннее новое время

В Средние века академический статус математики снизился, поскольку она была тесно связана с торговлей и коммерцией и считалась несколько несовместимой с христианством. Хотя математику продолжали преподавать в европейских университетах, она рассматривалась как подчиненная изучению естественной, метафизической и моральной философии. Первая современная программа по арифметике (начиная со сложения, затем вычитания, умножения и деления) возникла в итальянских школах счетоводства в 1300-х годах. Распространяясь по торговым путям, эти методы были разработаны для использования в коммерции. Они контрастировали с платонической математикой, преподаваемой в университетах, которая была более философской и рассматривала числа как концепции, а не как методы вычисления. Возрождение интереса к математическому образованию произошло в 1960-х годах, и Международная комиссия была вновь активизирована. В 1968 году в Ноттингеме был основан Центр математического образования Shell. Первый Международный конгресс по математическому образованию (ICME) состоялся в Лионе в 1969 году. Второй конгресс прошел в Эксетере в 1972 году, и после этого он проводится каждые четыре года. В XX веке культурное влияние "электронной эпохи" (Маклюэн) также было воспринято образовательной теорией и преподаванием математики. Если предыдущий подход был сосредоточен на "работе со специализированными "задачами" в арифметике", то новый структурный подход к знаниям предполагал, что "маленькие дети размышляют о теории чисел и "множествах"".

Методы

Метод или методы, используемые в конкретном контексте, во многом определяются целями, которые соответствующая образовательная система стремится достичь. Методы преподавания математики включают в себя следующее:

Математика на основе компьютера: подход, основанный на использовании математического программного обеспечения в качестве основного инструмента вычислений. Компьютерное математическое образование: предполагает использование компьютеров для обучения математике. Также были разработаны мобильные приложения, помогающие студентам изучать математику. Классическое образование: преподавание математики в рамках квадривиума – части классической учебной программы Средневековья, которая обычно основывалась на «Началах» Евклида, преподаваемых как образец дедуктивного мышления. Традиционный подход: постепенное и систематическое руководство по иерархии математических понятий, идей и техник. Начинается с арифметики, затем следует евклидова геометрия и элементарная алгебра, преподаваемые одновременно. Требует от преподавателя хорошего знания элементарной математики, поскольку дидактические и учебные решения часто диктуются логикой предмета, а не педагогическими соображениями. Другие методы возникают путем акцентирования определенных аспектов этого подхода. Реляционный подход: использует темы, изучаемые в классе, для решения повседневных проблем и связывает их с текущими событиями. Этот подход фокусируется на многочисленных применениях математики, помогает студентам понять, зачем им это нужно знать, а также применять математику в реальных ситуациях вне классной комнаты. Исторический метод: преподавание развития математики в историческом, социальном и культурном контексте. Сторонники утверждают, что он вызывает больший интерес, чем традиционный подход. Математика открытий: конструктивистский метод обучения математике (обучение через открытия), который строится вокруг проблемного или исследовательского обучения с использованием открытых вопросов и наглядных пособий. Этот тип математического образования был внедрен в различных регионах Канады, начиная с 2005 года. Математика, основанная на открытиях, находится в центре канадских дебатов о «математических войнах», и многие критикуют ее за снижение успеваемости по математике. Новая математика: метод обучения математике, который фокусируется на абстрактных понятиях, таких как теория множеств, функции и системы счисления, отличными от десятичной. Был принят в США в ответ на вызов, брошенный ранним советским техническим превосходством в космосе, но начал подвергаться критике в конце 1960-х годов. Одной из наиболее влиятельных критических работ в отношении Новой математики стала книга Морриса Клайна 1973 года «Почему Джонни не может сложить». Метод Новой математики стал темой одной из самых популярных пародийных песен Тома Лера, с его вводными словами к песне: «В новом подходе, как вы знаете, важно понимать, что ты делаешь, а не получать правильный ответ». Математика для развлечения: интересные математические задачи могут мотивировать студентов к изучению математики и повышать их интерес к ней. Математика, основанная на стандартах: концепция математического образования довузовского уровня в США и Канаде, ориентированная на углубление понимания студентами математических идей и процедур, формализованная Национальным советом учителей математики, который разработал «Принципы и стандарты школьной математики». Обучение на уровне мастерства: подход, при котором от большинства студентов ожидается достижение высокого уровня компетентности перед переходом к следующему этапу. Решение проблем: развитие математической изобретательности, креативности и эвристического мышления путем постановки перед студентами открытых, нестандартных и иногда нерешенных задач. Задачи могут варьироваться от простых текстовых задач до задач международных математических соревнований, таких как Международная математическая олимпиада. Решение проблем используется как средство для построения новых математических знаний, обычно опираясь на предыдущий опыт студентов. Упражнения: закрепление математических навыков путем выполнения большого количества однотипных упражнений, например, сложения простых дробей или решения квадратных уравнений. Заучивание: обучение математическим результатам, определениям и понятиям путем повторения и запоминания, как правило, без понимания смысла или обоснования математическими рассуждениями. Презрительным термином является «зубрежка». В традиционном образовании заучивание используется для обучения таблице умножения, определениям, формулам и другим аспектам математики. Математическая прогулка: прогулка, в ходе которой восприятие объектов и сцен переводится на язык математики.

Computer based math: an approach based on the use of mathematical software as the primary tool of computation. Computer based mathematics education: involves the use of computers to teach mathematics. Mobile applications have also been developed to help students learn mathematics. Classical education: the teaching of mathematics within the quadrivium, part of the classical education curriculum of the Middle Ages, which was typically based on Euclid's Elements taught as a paradigm of deductive reasoning. Conventional approach: the gradual and systematic guiding through the hierarchy of mathematical notions, ideas and techniques. Starts with arithmetic and is followed by Euclidean geometry and elementary algebra taught concurrently. Requires the instructor to be well informed about elementary mathematics since didactic and curriculum decisions are often dictated by the logic of the subject rather than pedagogical considerations. Other methods emerge by emphasizing some aspects of this approach. Relational approach: uses class topics to solve everyday problems and relates the topic to current events. This approach focuses on the many uses of mathematics and helps students understand why they need to know it as well as helps them to apply mathematics to real world situations outside of the classroom. Historical method: teaching the development of mathematics within a historical, social, and cultural context. Proponents argue it provides more human interest than the conventional approach. Discovery math: a constructivist method of teaching (discovery learning) mathematics which centres around problem based or inquiry based learning, with the use of open ended questions and manipulative tools. This type of mathematics education was implemented in various parts of Canada beginning in 2005. Discovery based mathematics is at the forefront of the Canadian "math wars" debate with many criticizing it for declining math scores. New Math: a method of teaching mathematics which focuses on abstract concepts such as set theory, functions, and bases other than ten. Adopted in the US as a response to the challenge of early Soviet technical superiority in space, it began to be challenged in the late 1960s. One of the most influential critiques of the New Math was Morris Kline's 1973 book Why Johnny Can't Add. The New Math method was the topic of one of Tom Lehrer's most popular parody songs, with his introductory remarks to the song: " in the new approach, as you know, the important thing is to understand what you're doing, rather than to get the right answer." Recreational mathematics: mathematical problems that are fun can motivate students to learn mathematics and can increase their enjoyment of mathematics. Standards based mathematics: a vision for pre college mathematics education in the United States and Canada, focused on deepening student understanding of mathematical ideas and procedures, and formalized by the National Council of Teachers of Mathematics which created the Principles and Standards for School Mathematics. Mastery: an approach in which most students are expected to achieve a high level of competence before progressing. Problem solving: the cultivation of mathematical ingenuity, creativity, and heuristic thinking by setting students open ended, unusual, and sometimes unsolved problems. The problems can range from simple word problems to problems from international mathematics competitions such as the International Mathematical Olympiad. Problem solving is used as a means to build new mathematical knowledge, typically by building on students' prior understandings. Exercises: the reinforcement of mathematical skills by completing large numbers of exercises of a similar type, such as adding simple fractions or solving quadratic equations. Rote learning: the teaching of mathematical results, definitions and concepts by repetition and memorisation typically without meaning or supported by mathematical reasoning. A derisory term is drill and kill. In traditional education, rote learning is used to teach multiplication tables, definitions, formulas, and other aspects of mathematics. Math walk: a walk where experience of perceived objects and scenes is translated into mathematical language.

Стандарты

На протяжении большей части истории стандарты математического образования устанавливались на местном уровне, отдельными школами или учителями, в зависимости от уровней достижений, которые были актуальны, реалистичны и считались социально приемлемыми для их учеников. В современное время наблюдается переход к региональным или национальным стандартам, как правило, в рамках более широкой стандартной школьной учебной программы. Например, в Англии стандарты математического образования устанавливаются в рамках Национальной учебной программы Англии, в то время как Шотландия сохраняет свою собственную систему образования. Во многих других странах существуют централизованные министерства, которые устанавливают национальные стандарты или учебные программы, а иногда даже учебники. Ма (2000) обобщил исследования других ученых, которые, основываясь на общенациональных данных, обнаружили, что студенты с более высокими баллами в стандартизированных математических тестах изучали больше математических курсов в старшей школе. Это привело к тому, что некоторые штаты потребовали три года изучения математики вместо двух. Однако, поскольку это требование часто выполнялось за счет посещения еще одного курса математики начального уровня, дополнительные курсы оказывали «размытое» влияние на повышение уровня успеваемости. В Северной Америке Национальный совет учителей математики (NCTM) опубликовал в 2000 году «Принципы и стандарты школьной математики» для Соединенных Штатов и Канады, что способствовало тенденции к реформированию математического образования. В 2006 году NCTM выпустил «Ключевые точки учебной программы», в которых рекомендовались наиболее важные математические темы для каждого класса до 8-го класса. Однако эти стандарты были лишь рекомендациями, которые американские штаты и канадские провинции могли внедрять по своему усмотрению. В 2010 году Национальный центр ассоциации губернаторов по лучшим практикам и Совет главных государственных школьных управлений опубликовали Общие государственные основные стандарты для штатов США, которые впоследствии были приняты большинством штатов. Принятие Общих государственных основных стандартов по математике находится в ведении каждого штата и не является обязательным требованием федерального правительства. «Штаты регулярно пересматривают свои образовательные стандарты и могут изменять или дополнять их, чтобы наилучшим образом удовлетворить потребности своих учеников». У NCTM есть региональные отделения, которые устанавливают различные образовательные стандарты на уровне штатов. Например, в штате Миссури действует Совет учителей математики штата Миссури (MCTM), на веб-сайте которого перечислены его основные принципы и стандарты образования. MCTM также предлагает возможность членства учителям и будущим учителям, чтобы они могли быть в курсе изменений в стандартах математического образования. Программа международной оценки учащихся (PISA), созданная Организацией экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), представляет собой глобальную программу, изучающую навыки чтения, естественных наук и математики у 15-летних учащихся. Первая оценка была проведена в 2000 году с участием 43 стран. PISA повторяет эту оценку каждые три года, чтобы предоставлять сопоставимые данные, помогая направлять глобальное образование для лучшей подготовки молодежи к будущим экономикам. Результаты трехлетних оценок PISA имели множество последствий из-за явных и неявных реакций заинтересованных сторон, что привело к реформе образования и изменению политики. Однако существуют полезные теории о том, как дети учатся математике, и в последние десятилетия было проведено много исследований, чтобы изучить, как эти теории можно применять в обучении. Ниже приведены примеры некоторых современных результатов в области математического образования. === Важные результаты) Эти связи можно установить посредством объяснения смысла процедуры, вопросов, сравнивающих стратегии и решения задач, замечая, как одна задача является частным случаем другой, напоминая учащимся об основной идее, обсуждая взаимосвязь уроков и так далее. Осознанная, продуктивная работа с математическими идеями подразумевает, что когда учащиеся прилагают усилия для освоения важных математических идей, даже если эта работа изначально связана с путаницей и ошибками, результатом является более глубокое обучение. Это верно независимо от того, вызвана ли эта работа намеренно сложным, хорошо реализованным обучением или непреднамеренно запутанным, ошибочным обучением.

Throughout most of history, standards for mathematics education were set locally, by individual schools or teachers, depending on the levels of achievement that were relevant to, realistic for, and considered socially appropriate for their pupils. In modern times, there has been a move towards regional or national standards, usually under the umbrella of a wider standard school curriculum. In England, for example, standards for mathematics education are set as part of the National Curriculum for England, while Scotland maintains its own educational system. Many other countries have centralized ministries which set national standards or curricula, and sometimes even textbooks. Ma (2000) summarized the research of others who found, based on nationwide data, that students with higher scores on standardized mathematics tests had taken more mathematics courses in high school. This led some states to require three years of mathematics instead of two. But because this requirement was often met by taking another lower level mathematics course, the additional courses had a “diluted” effect in raising achievement levels. In North America, the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) published the Principles and Standards for School Mathematics in 2000 for the United States and Canada, which boosted the trend towards reform mathematics. In 2006, the NCTM released Curriculum Focal Points, which recommend the most important mathematical topics for each grade level through grade 8. However, these standards were guidelines to implement as American states and Canadian provinces chose. In 2010, the National Governors Association Center for Best Practices and the Council of Chief State School Officers published the Common Core State Standards for US states, which were subsequently adopted by most states. Adoption of the Common Core State Standards in mathematics is at the discretion of each state, and is not mandated by the federal government. "States routinely review their academic standards and may choose to change or add onto the standards to best meet the needs of their students." The NCTM has state affiliates that have different education standards at the state level. For example, Missouri has the Missouri Council of Teachers of Mathematics (MCTM) which has its pillars and standards of education listed on its website. The MCTM also offers membership opportunities to teachers and future teachers so that they can stay up to date on the changes in math educational standards. The Programme for International Student Assessment (PISA), created by the Organisation for the Economic Co operation and Development (OECD), is a global program studying the reading, science, and mathematics abilities of 15 year old students. The first assessment was conducted in the year 2000 with 43 countries participating. PISA has repeated this assessment every three years to provide comparable data, helping to guide global education to better prepare youth for future economies. There have been many ramifications following the results of triennial PISA assessments due to implicit and explicit responses of stakeholders, which have led to education reform and policy change. However, there are useful theories on how children learn mathematics, and much research has been conducted in recent decades to explore how these theories can be applied to teaching. The following results are examples of some of the current findings in the field of mathematics education. === Important results) These connections can be made through explanation of the meaning of a procedure, questions comparing strategies and solutions of problems, noticing how one problem is a special case of another, reminding students of the main point, discussing how lessons connect, and so on. Deliberate, productive struggle with mathematical ideas refers to the fact that when students exert effort with important mathematical ideas, even if this struggle initially involves confusion and errors, the result is greater learning. This is true whether the struggle is due to intentionally challenging, well implemented teaching, or unintentionally confusing, faulty teaching.

Формирующая оценка

Формирующая оценка – это одновременно и самый эффективный, и самый экономичный способ повысить успеваемость, вовлеченность учащихся и профессиональную удовлетворенность учителей. Её результаты превосходят результаты уменьшения численности классов или повышения уровня знаний учителей по предмету. Эффективная оценка строится на четком определении того, что должны знать учащиеся, разработке соответствующих заданий для сбора необходимых данных, предоставлении качественной обратной связи, стимулировании самостоятельности учащихся в обучении и создании условий для взаимообучения.

Домашняя работа

Домашние задания, которые позволяют учащимся практиковать пройденный материал или готовиться к будущим урокам, более эффективны, чем задания, посвященные повторению текущего урока. Учащиеся извлекают пользу из обратной связи. Учащиеся с особенностями развития или низкой мотивацией могут получить пользу от поощрений. Для младших школьников домашние задания помогают освоить базовые навыки, но не оказывают существенного влияния на общую успеваемость. === Учащиеся, испытывающие трудности. Многие исследования являются "смешанными", то есть одновременно сочетают элементы количественного и качественного анализа, в зависимости от поставленных задач.

Рандомизированные испытания

Существует некоторая полемика относительно относительной значимости различных типов исследований. Поскольку существует мнение, что рандомизированные контролируемые исследования предоставляют ясные, объективные доказательства эффективности, политики часто учитывают только такие исследования. Некоторые ученые выступают за проведение большего числа рандомизированных экспериментов, в которых методы обучения случайным образом распределяются по классам. В других областях, связанных с изучением человека, таких как биомедицина, психология и оценка государственной политики, контролируемые рандомизированные эксперименты по-прежнему считаются предпочтительным методом оценки эффективности различных подходов. Статистики в области образования и некоторые преподаватели математики работают над расширением использования рандомизированных экспериментов для оценки методов обучения. Это связано и с трудностями обеспечения строгого контроля независимой переменной в динамичных, реальных школьных условиях. В Соединенных Штатах Национальная консультативная группа по математике (NMAP) опубликовала отчет в 2008 году, основанный на исследованиях, в некоторых из которых применялось рандомизированное распределение изучаемых факторов экспериментальным группам, таким как классы или учащиеся. Приоритет, отдаваемый рандомизированным экспериментам в отчете NMAP, вызвал критику со стороны некоторых ученых. В 2010 году "What Works Clearinghouse" (фактически исследовательское подразделение Министерства образования) отреагировало на продолжающиеся споры, расширив свою базу исследований, включив в нее неэкспериментальные исследования, такие как регрессионный анализ скачков и отдельные тематические исследования.