Кіріспе

Риман интегралының жалпылауы

Математикада Риман-Стильджес интегралы – Бернхард Риман мен Томас Йоаннес Стильджестің есімімен аталған Риман интегралының жалпылауы. Бұл интегралдың анықтамасы алғаш рет 1894 жылы Стильджес жариялаған. Ол Лебег интегралының түсіндірілімді және пайдалы алғышарты болып табылады, сондай-ақ дискретті және үздіксіз ықтималдыққа қолданылатын статистикалық теоремалардың эквивалентті формаларын біріктіруде құнды құрал болып табылады.

Функционалдық талдауға қолдану

Риманн-Стильджес интегралы Ф. Риез теоремасының бастапқы тұжырымдамасында қолданылады, ол [a,b] аралығындағы үздіксіз функциялардың C[a,b] Банах кеңістігінің дуалдық кеңістігін шектелген өзгерісті функцияларға қатысты Риманн-Стильджес интегралдары арқылы бейнелейді. Кейіннен бұл теорема өлшемдер түрінде қайта формулировкаланды. Риманн-Стильджес интегралы сондай-ақ Гильберт кеңістігіндегі (жинақы емес) өзіне-қосымша (немесе жалпырақ, нормальды) операторларға арналған спектральдық теореманың тұжырымдамасында да пайда болады. Бұл теоремада интеграл проекциялардың спектральдық отбасына қатысты қарастырылады.

Интегралдың болуы

Ең жақсы қарапайым теорема былай гласиды: егер f үздіксіз болса және g функциясы [a, b] аралығында шектелген өзгеруге ие болса, онда интеграл бар. Бөліктер бойынша интегралдау формуласының арқасында, егер f шектелген өзгеруге ие болса және g үздіксіз болса, яғни f және g шарттары кері болғанда да интеграл бар болады. g функциясы шектелген өзгеруге ие болуы үшін, оның екі (шекті) монотонды функцияның айырымы болуы керек және жеткілікті. Егер g шектелген өзгеруге ие болмаса, онда g-ге қатысты интегралдау мүмкін емес болатын үздіксіз функциялар табылады. Жалпы алғанда, егер f және g функциялары ортақ үзіліс нүктелеріне ие болса, онда интеграл дұрыс анықталмайды, бірақ басқа жағдайлар да кездеседі.

Жалпыланған Риманн-Стильджес интегралы

Жоғарыдағы анықтамада P бөлінісін Pε бөлінісін нақтылайтын (жетілдіретін) бөліністерді қарастыру орынды, яғни P, Pε-ден нүктелер қосылу арқылы, бірақ одан ұсақ торлы бөліністерден туындамайды. Нақтырақ айтқанда, f-тің g-ға қатысты жалпыланған Riemann-Stieltjes интегралы – бұл әр ε > 0 үшін, Pε бөлінісін нақтылайтын әр P бөлінісі үшін, [xi, xi+1] аралығындағы ci нүктелерін кез келгендей таңдағанда A саны болып табылады. Бұл жалпылау Riemann-Stieltjes интегралын [a, b] аралығының бөліністерінің бағытталған жиынындағы Мур-Смит лиміті ретінде көрсетеді. Осының салдары ретінде, осы анықтама бойынша интеграл f және g функцияларының ортақ үзіліс нүктесі болған жағдайларда да анықталуы мүмкін.

Риман интегралы

Стандартты Риман интегралы — Риман-Стильджес интегралының ерекше жағдайы, онда .

Түзетуші

Нейрондық желілерді зерттеуде қолданылатын, түзетілген сызықтық бірлік (ReLU) деп аталатын функцияны қарастырайық. Онда Риманн-Стильджес интегралы былай есептелуі мүмкін:

мұндағы оң жақ интеграл стандартты Риманн интегралы болып табылады.

Кавалери интеграциясы

Кавальери принципі Риманн-Стильджес интегралдарын қолданып, қисық сызықтармен шектелген аудандарды есептеуге болады. Риман интеграциясының интегралдау жолақтары тікбұрышты емес пішіндес жолақтармен алмастырылады. Әдіс "Кавальери аймағын" түрлендіру арқылы немесе интеграл ретінде пайдаланудан тұрады. Белгілі бір функция үшін [a, b] интервалында, "қозғалыс функциясы" интервалдағы кез келген ығысу үшін функцияны дәл бір рет кесіп өтуі керек. "Кавальери аймағы" содан кейін f(x) функциясы, x осьі және x = a және x = b түзулерімен шектеледі. Аймақтың ауданы келесідей есептеледі:

∫[a,b] f(x) dx, мұнда a және b – f(x) және x осьінің қиылыс нүктелерінің абсциссалары.