Введение

Обобщение интеграла Римана

В математике интеграл Римана — Стильтьеса является обобщением интеграла Римана, названного в честь Бернарда Римана и Томаса Иоанна Стильтьеса. Определение этого интеграла было впервые опубликовано в 1894 году Стильтьесом. Он служит поучительным и полезным предшественником интеграла Лебега и незаменимым инструментом для унификации эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятностям.

Применение в функциональном анализе

Интеграл Римана — Стильтьеса появляется в оригинальной формулировке теоремы Ф. Риеша, представляющей двойственное пространство банахова пространства C[a,b] непрерывных функций на интервале [a,b] в виде интегралов Римана — Стильтьеса по функциям ограниченной вариации. Позднее эта теорема была переформулирована в терминах мер. Интеграл Римана — Стильтьеса также используется в формулировке спектральной теоремы для (некомпактных) самосопряжённых (или, в более общем случае, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается относительно спектрального семейства проекций.

Существование интеграла

Лучшая простая теорема о существовании интеграла утверждает, что если f непрерывна, а g имеет ограниченную вариацию на [a, b], то интеграл существует. Благодаря формуле интегрирования по частям, интеграл существует также, если условия для f и g поменяны местами, то есть, если f имеет ограниченную вариацию, а g непрерывна. Функция g имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она является разностью двух (ограниченных) монотонных функций. Если g не имеет ограниченной вариации, то существуют непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по g. В общем случае, интеграл не определен корректно, если f и g имеют какие-либо общие точки разрыва, но существуют и другие случаи.

Обобщенный интеграл Римана-Стильджеса

Небольшое обобщение состоит в рассмотрении в вышеуказанном определении разбиений P, которые уточняют другое разбиение Pε, то есть P получается из Pε добавлением точек, а не из разбиений с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана — Стильтьеса функции f по функции g — это число A, такое что для любого ε > 0 существует разбиение Pε, для которого для любого разбиения P, уточняющего Pε,

выполняется для любого выбора точек ci в [xi, xi+1]. Это обобщение представляет интеграл Римана — Стильтьеса как предел Мура — Смита на направленном множестве разбиений [a, b]. Следствием этого является то, что при таком определении интеграл может быть определен даже в случаях, когда функции f и g имеют общую точку разрыва.

Интеграл Римана

Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана — Стильджеса, где .

Ректификатор

Рассмотрим функцию, используемую в исследовании нейронных сетей, называемую выпрямленной линейной единицей (ReLU). Тогда интеграл Римана — Стилтьеса можно вычислить как

где интеграл в правой части является стандартным интегралом Римана.

Интеграция Кавальери

Принцип Кавальери может быть использован для вычисления площадей, ограниченных кривыми, с помощью интегралов Римана — Стильтьеса. Интеграционные полосы интеграла Римана заменяются полосами, не имеющими прямоугольную форму. Метод заключается в преобразовании "области Кавальери" с помощью преобразования , или в использовании в качестве подынтегральной функции. Для заданной функции на интервале , "трансляционная функция" должна пересекать график функции ровно один раз для любого сдвига в пределах этого интервала. "Область Кавальери" затем ограничена графиком функции , осью абсцисс и . Площадь области тогда равна

где и — значения , при которых графики функций и пересекаются.