Кіріспе
Математикалық термин – нормаланған векторлық кеңістіктегі әлсіз топология. Математикада әлсіз топология – топологиялық векторлық кеңістіктерде немесе сызықтық операторлардың кеңістіктерінде, мысалы, Гилберт кеңістігінде қолданылатын кейбір бастапқы топологиялардың балама атауы. Бұл термин ең көп қолданылатыны – топологиялық векторлық кеңістіктің (мысалы, нормаланған векторлық кеңістіктің) үздіксіз қосарғысына қатысты бастапқы топологиясы. Осы мақаланың қалған бөлігі функционалдық анализдің ұғымдарының бірі болып табылатын осы жағдайды қарастырады. Топологиялық векторлық кеңістіктің ішкі жиындары әлсіз жабық (сәйкесінше, әлсіз жиынтық, және т.б.) деп аталады, егер олар әлсіз топологияға қатысты жабық (сәйкесінше, жиынтық, және т.б.) болса. Сол сияқты, функциялар кейде әлсіз үздіксіз (сәйкесінше, әлсіз дифференциалданатын, әлсіз аналитикалық, және т.б.) деп аталады, егер олар әлсіз топологияға қатысты үздіксіз (сәйкесінше, дифференциалданатын, аналитикалық, және т.б.) болса.
the weak topology on a normed vector space
In mathematics, weak topology is an alternative term for certain initial topologies, often on topological vector spaces or spaces of linear operators, for instance on a Hilbert space. The term is most commonly used for the initial topology of a topological vector space (such as a normed vector space) with respect to its continuous dual. The remainder of this article will deal with this case, which is one of the concepts of functional analysis. One may call subsets of a topological vector space weakly closed (respectively, weakly compact, etc.) if they are closed (respectively, compact, etc.) with respect to the weak topology. Likewise, functions are sometimes called weakly continuous (respectively, weakly differentiable, weakly analytic, etc.) if they are continuous (respectively, differentiable, analytic, etc.) with respect to the weak topology.
Тарих
1900-шы жылдардың басында Дэвид Хилберт және Марсель Риес әлсіз конвергенцияны кеңінен пайдаланды. Функционалдық талдаудың алғашқы зерттеушілері норма конвергенциясын әлсіз конвергенциядан басым деп санамады және көбінесе әлсіз конвергенцияны тиімдірек деп қарастырды. 1929 жылы Банах нормаланған кеңістіктер үшін әлсіз конвергенцияны енгізді, сондай-ақ оған ұқсас әлсіз * конвергенцияны да енгізді. Әлсіз топология француз тілінде topologie faible, ал неміс тілінде schwache Topologie деп аталады.
Әлсіз және мықты топологиялар
Топологиялық өріс болсын, яғни қосу, көбейту және бөлу амалдары үздіксіз болатын топологиясы бар өріс. Көп жағдайда бұл өріс кешенді сандар өрісі немесе белгілі топологиясы бар нақты сандар өрісі болады.
Каноникалық дуалдық
Енді Y – X-тің алгебралық қосалқы кеңістігінің векторлық подпространствосы (яғни, X-тегі сызықтық функционалдардың векторлық кеңістігі) болатын ерекше жағдайды қарастырамыз. Бұл жұптастыру, немесе , деп аталады каноникалық жұптастыру, оның билинеарлық бейнесі – каноникалық бағалау бейнесі, ол барлық үшін және анықталған. Атап айтқанда, бұл – белгіленетін тағы бір тәсіл, яғни, болжам. Егер Y – X алгебралық қосалқы кеңістігінің векторлық подпространствосы болса, онда олар каноникалық жұптастырумен байланысты деп есептейміз.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
Бұл жағдайда, X-тегі әлсіз топология (сәйкесінше, -тегі әлсіз топология), σ(X,Y) (сәйкесінше, σ(Y,X)) арқылы белгіленеді, каноникалық жұптастыруға қатысты X (сәйкесінше, Y) топологиясы болып табылады.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
σ(X,Y) топологиясы – Y-ға қатысты X-тің бастапқы топологиясы. Егер Y – X-тегі сызықтық функционалдардың векторлық кеңістігі болса, онда σ(X,Y) топологиясына қатысты X-тің үздіксіз дуалы Y-ге тең болады.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
Әлсіз және әлсіз* топологиялар
X топологиялық векторлық кеңістік (TVS) болсын, яғни, X – векторлық қосу және скалярлық көбейту үздіксіз болатындай топологиямен жабдықталған векторлық кеңістік. X-тің бастапқы, негізгі немесе берілген топологиясын осы кеңістіктің бастапқы топологиясы деп атаймыз (оқырманға бастапқы топологияны атау үшін «бастапқы топология» және «күшті топология» терминдерін қолданудан сақтану керек, себебі олардың белгілі бір мағыналары бар, сондықтан оларды қолдану шатасуға алып келуі мүмкін). X-тегі басқа мүмкін топологияны топологиялық немесе үздіксіз қос кеңістік арқылы анықтауға болады, ол берілген топологияға қатысты үздіксіз болатын X-тен негізгі өріске дейінгі барлық сызықтық функционалдардан тұрады. Естеріңізге сала кетейік, бұл барлық үшін және , әсіресе, анықтамасы бойынша анықталатын канондық бағалау картасы. X-тегі әлсіз топология – канондық жұптастыруға қатысты X-тегі әлсіз топология, яғни ол X-тегі барлық карталарды үздіксіз ететін ең әлсіз топология, өйткені диапазондар X-тен жоғары. Анықтама: X-тегі әлсіз топология – канондық жұптастыруға қатысты әлсіз топология, яғни ол барлық карталарды үздіксіз ететін ең әлсіз топология, өйткені x X-тен жоғары. Бұл топология сондай-ақ әлсіз* топология деп те аталады. Төменде басқа анықтамалар келтірілген.
Definition. The weak topology on X is the weak topology on X with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on X making all maps continuous, as ranges over
Definition: The weak topology on is the weak topology on with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on making all maps continuous, as x ranges over X. This topology is also called the weak* topology. We give alternative definitions below.
Жалғаспалы қос кеңістіктен туындаған әлсіз топология
Басқаша айтқанда, TVS кеңістігі X-тегі әлсіз топология – бұл берілген отбасыға қатысты бастапқы топология. Яғни, бұл X-тегі ең жуан топология, онда отбасының әрбір мүшесі үздіксіз функция болып қалады. Әлсіз топологияның суббазасы – бұл түріндегі жиындықтардың жиыны, мұнда және U – базалық өрістің ашық ішкі жиыны. Басқаша айтқанда, X-тің ішкі жиыны әлсіз топологияда ашық болады, егер және тек егер оны (мүмкін шексіз көп) жиындықтардың біріктірілісі ретінде жазуға болады, олардың әрқайсысы түріндегі шекті көп жиынтықтардың қиылысы болып табылады. Осы тұрғыдан алғанда, әлсіз топология – ең жуан полярлық топология.
From this point of view, the weak topology is the coarsest polar topology.
Таратулар
Көбінесе таралым кеңістіктері сынақ функциялары кеңістігінің күшті дуалдысын құру арқылы алынады (мысалы, шектеулі қолдауға ие тегіс функциялар). Мұндай кеңістіктерді құрудың балама жолы – L^(2) сияқты Хилберт кеңістігіндегі сынақ функциялары кеңістігінің әлсіз дуалдысын алу болып табылады. Осылайша, құрылымдалған Хилберт кеңістігі идеясын қарастыруға болады.
Алгебралық дуалдықпен туындаған әлсіз топология
X векторлық кеңістік және X# – X-тің алгебралық жұптас кеңістігі (яғни X-тегі барлық сызықтық функционалдардың векторлық кеңістігі) болсын. Егер X-ке X# тудырған әлсіз топология берілген болса, онда X-тің үздіксіз жұптас кеңістігі X^(#) болады, X-тің кез келген шектелген ішкі жиыны X-тің шекті өлшемді векторлық ішкі кеңістігіне кіреді, X-тің кез келген векторлық ішкі кеңістігі жабық және топологиялық толықтыруға ие.