Введение
Математический термин – слабая топология на нормированном векторном пространстве.
the weak topology on a normed vector space
В математике слабая топология – это альтернативный термин для определенных начальных топологий, часто рассматриваемых на топологических векторных пространствах или пространствах линейных операторов, например, на гильбертовом пространстве. Этот термин наиболее часто используется для начальной топологии топологического векторного пространства (такого как нормированное векторное пространство) относительно его непрерывного сопряженного. В дальнейшем в этой статье будет рассматриваться именно этот случай, являющийся одним из понятий функционального анализа. Подмножества топологического векторного пространства называют слабо замкнутыми (соответственно, слабо компактными и т.д.), если они замкнуты (соответственно, компактны и т.д.) относительно слабой топологии. Аналогично, функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно, слабо дифференцируемыми, слабо аналитическими и т.д.), если они непрерывны (соответственно, дифференцируемы, аналитичны и т.д.) относительно слабой топологии.
История
Начиная с начала 1900-х годов, Давид Гильберт и Марсель Риес активно использовали слабое сходимость. Первопроходцы функционального анализа не ставили сходимость по норме выше слабой сходимости и зачастую считали слабую сходимость более предпочтительной. В 1929 году Банах ввёл слабое сходимость для нормированных пространств, а также ввёл аналогичную слабую* сходимость. Слабая топология также называется *topologie faible* во французском языке и *schwache Topologie* в немецком языке.
Слабая и сильная топологии
Пусть это топологическое поле, то есть поле с топологией, такой что сложение, умножение и деление непрерывны. В большинстве случаев это будет либо поле комплексных чисел, либо поле действительных чисел с обычными топологиями.
Каноническая двойственность
Теперь рассмотрим специальный случай, когда Y является векторным подпространством алгебраического двойственного пространства X (то есть векторным пространством линейных функционалов на X). Существует спаривание, обозначаемое или , называемое каноническим спариванием, чье билинейное отображение является каноническим оценочным отображением, определяемым как для всех и . Отметьте, в частности, что – это просто другой способ обозначения , то есть .
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
Предположение. Если Y является векторным подпространством алгебраического двойственного пространства X, то мы будем считать, что они связаны каноническим спариванием.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
В этом случае слабая топология на X (соответственно, слабая топология на Y), обозначаемая 𝜎(X,Y) (соответственно, 𝜎(Y,X)), является слабой топологией на X (соответственно, на Y) относительно канонического спаривания.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
Топология σ(X,Y) является начальной топологией на X относительно Y. Если Y является векторным пространством линейных функционалов на X, то непрерывное двойственное пространство X относительно топологии σ(X,Y) точно равно Y.
Assumption. If Y is a vector subspace of the algebraic dual space of X then we will assume that they are associated with the canonical pairing
In this case, the weak topology on X (resp. the weak topology on ), denoted by 𝜎(X,Y) (resp. by 𝜎(Y,X)) is the weak topology on X (resp. on Y) with respect to the canonical pairing
The topology σ(X,Y) is the initial topology of X with respect to Y. If Y is a vector space of linear functionals on X, then the continuous dual of X with respect to the topology σ(X,Y) is precisely equal to Y.
Слабая и слабая* топологии
Пусть X — топологическое векторное пространство (TVS) над ℵ, то есть X — векторное пространство, снабжённое топологией, при которой сложение векторов и умножение на скаляр непрерывны. Топологию, с которой изначально задано X, мы называем исходной, начальной или данной топологией (читателю не рекомендуется использовать термины «первоначальная топология» и «сильная топология» для обозначения исходной топологии, поскольку они уже имеют устоявшиеся значения, и их использование может привести к путанице). Мы можем определить, возможно, другую топологию на X, используя топологическое или непрерывное двойственное пространство X′, которое состоит из всех линейных функционалов из X в базовое поле ℵ, непрерывных относительно данной топологии. Напомним, что ⟨⋅,⋅⟩ — каноническое отображение оценки, определяемое для всех x ∈ X и f ∈ X′ как ⟨x, f⟩ = f(x). В частности,
Definition. The weak topology on X is the weak topology on X with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on X making all maps continuous, as ranges over
Definition: The weak topology on is the weak topology on with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on making all maps continuous, as x ranges over X. This topology is also called the weak* topology. We give alternative definitions below.
Определение. Слабая топология на X — это слабая топология на X относительно канонического спаривания ⟨⋅,⋅⟩. То есть, это слабейшая топология на X, делающая все отображения f ↦ ⟨x, f⟩ непрерывными для всех x ∈ X.
Definition. The weak topology on X is the weak topology on X with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on X making all maps continuous, as ranges over
Definition: The weak topology on is the weak topology on with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on making all maps continuous, as x ranges over X. This topology is also called the weak* topology. We give alternative definitions below.
Определение. Слабая* топология на X′ — это слабая топология на X′ относительно канонического спаривания ⟨⋅,⋅⟩. То есть, это слабейшая топология на X′, делающая все отображения x ↦ ⟨x, f⟩ непрерывными для всех f ∈ X′. Эта топология также называется слабой* топологией. Ниже мы приводим альтернативные определения.
Definition. The weak topology on X is the weak topology on X with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on X making all maps continuous, as ranges over
Definition: The weak topology on is the weak topology on with respect to the canonical pairing That is, it is the weakest topology on making all maps continuous, as x ranges over X. This topology is also called the weak* topology. We give alternative definitions below.
Слабая топология, вызванная непрерывным двойным пространством
В качестве альтернативы, слабая топология на TVS X является начальной топологией относительно семейства непрерывных линейных функционалов. Другими словами, это самая слабая топология на X, при которой каждый элемент семейства остается непрерывной функцией. Подбазой для слабой топологии является множество множеств вида {x ∈ X : |f(x)| < ε}, где f принадлежит семейству и U – открытое подмножество базового поля. Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда оно может быть представлено в виде объединения (возможно, бесконечного числа) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида {x ∈ X : |f(x)| < ε}. С этой точки зрения, слабая топология является самой слабой полярной топологией.
From this point of view, the weak topology is the coarsest polar topology.
Распространение
Пространства обобщенных функций обычно получают, формируя сильный дуал пространства тестовых функций (например, бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на ℝⁿ). В альтернативной конструкции таких пространств можно взять слабый дуал пространства тестовых функций в гильбертовом пространстве, таком как L². Таким образом, возникает идея ригованого гильбертова пространства.
Слабая топология, вызванная алгебраической двойственностью
Предположим, что X — векторное пространство, а X# — алгебраическое двойственное пространство к X (то есть векторное пространство всех линейных функционалов на X). Если X наделено слабой топологией, индуцированной X#, то непрерывное двойственное пространство X есть X^(#), каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X, каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение.