Введение

Расстояние от нуля до числа. Абсолютная величина действительных и комплексных чисел.

В математике абсолютная величина или модуль действительного числа , обозначается как <math>, представляет собой неотрицательное значение , не зависящее от его знака. А именно, если является положительным числом, и если отрицательным (в этом случае взятие противоположного числа делает его положительным), и <math>. Например, абсолютная величина 3 равна 3, а абсолютная величина −3 также равна 3. Абсолютную величину числа можно рассматривать как его расстояние от нуля. Обобщения абсолютной величины для действительных чисел встречаются в самых разных математических областях. Например, абсолютная величина также определяется для комплексных чисел, кватернионов, упорядоченных колец, полей и векторных пространств. Абсолютная величина тесно связана с понятиями величины, расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначение

В 1806 году Жан Роберт Арган ввёл термин «модуль», означающий единицу измерения во французском языке, специально для комплексного абсолютного значения, и он был заимствован в английский язык в 1866 году как латинский эквивалент «modulus», а также в 1857 году в английском языке. Обозначение | | с вертикальными полосами по обе стороны было введено Карлом Вейерштрассом в 1841 году. Другими названиями абсолютной величины являются числовое значение или супремум нормы вектора в ℝⁿ, хотя двойные вертикальные черты с индексами (|| ||ₚ и || ||∞ соответственно) являются более распространённым и менее неоднозначным обозначением.

Функция абсолютных значений

Функция абсолютной величины действительного числа непрерывна во всех точках. Она дифференцируема во всех точках, кроме x = 0. Она монотонно убывает на интервале (-∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, +∞). Поскольку действительное число и его противоположность имеют одинаковую абсолютную величину, это чётная функция и, следовательно, не является обратимой. Функция абсолютной величины действительного числа является кусочно-линейной, выпуклой функцией. Как для действительных, так и для комплексных чисел функция абсолютной величины является идемпотентной (то есть абсолютная величина любой абсолютной величины равна самой себе).

Заказанные кольца

Определение абсолютного значения, данное выше для действительных чисел, может быть расширено на любое упорядоченное кольцо. То есть, если a является элементом упорядоченного кольца R, то абсолютное значение a, обозначаемое |a|, определяется как:

|a| = { a, если a ≥ 0;
-a, если a < 0 }

где −a является аддитивной инверсией a, 0 — аддитивный нуль, а < и ≥ имеют обычное значение относительно порядка в кольце.

Алгебры композиции

Каждая композиционная алгебра A имеет инволюцию x → x*, называемую её сопряжением. Произведение в A элемента x и его сопряжённого x* записывается как N(x) = x x* и называется нормой x. Действительные числа, комплексные числа и кватернионы — все это композиционные алгебры с нормами, заданными определенными квадратичными формами. Абсолютная величина в этих алгебрах деления определяется как квадратный корень из нормы композиционной алгебры. В общем случае норма композиционной алгебры может быть квадратичной формой, которая не является определенной и имеет нулевые векторы. Однако, как и в случае алгебр деления, если элемент x имеет ненулевую норму, то у x есть мультипликативная обратная, задаваемая как x*/N(x).