Джордж Булос: Американ философ және математикалық логик

Кіріспе

Джордж Стивен Булос (George Stephen Boolos; 1940 жылдың 4 қыркүйегі - 1996 жылдың 27 мамыры) – американдық философ және математикалық логик, Массачусетс технология институтында сабақ берген.

Өмір

Булос грек-иудей тегінен шыққан. Ол Принстон университетін математика мамандығы бойынша бітірді, алдымен Реймонд Смуллианның жетекшілігімен "Гёделдің бірінші толық еместік теоремасының қарапайым дәлелі" атты дипломдық жұмысын аяқтағаннан кейін. Оксфорд университеті оған 1963 жылы B. Phil. дәрежесін берді. 1966 жылы ол Хилари Путнамның басшылығымен Массачусетс технология институтынан философия ғылымдарының докторы (PhD) дәрежесін алды – бұл институт тарихындағы философия бойынша алғашқы докторлық диссертация болды. Колумбия университетінде үш жыл сабақ бергеннен кейін, 1969 жылы MIT-ге қайтып келді және қалған өмірін осы жерде өткізді. Өзінің айқындығымен және өткір тілімен танымал, харизматикалық лектор Булос 1994 жылы Гёделдің екінші толық еместік теоремасын тек бір буынды сөздерді қолдана отырып түсіндірген лекция оқыған. Емтихан соңында Хилари Путнам одан: "Бұлос мырза, аналитикалық иерархияның нақты әлеммен қатысы қандай?" деп сұрады. Булос ойланбастан: "Ол оның бір бөлігі" деп жауап берді. Әртүрлі жұмбақтарға шебер, 1993 жылы Булос "Таймс" газетінің кроссвордтар байқауының Лондон аймақтық финалына өтті. Оның көрсеткен нәтижесі американдықтардың арасындағы ең жоғары нәтижелердің бірі болды. Ол "Ең қиын логикалық жұмбақ" тақырыбында мақала жазды – бұл Реймонд Смуллиан жасаған көптеген жұмбақтардың бірі. Булос 1996 жылдың 27 мамырында қарын безінің қатерлі ісігінен қайтыс болды.

Жұмыс

Болос Ричард Джеффримен математикалық логика, есептеу және логика бойынша классикалық университеттік оқулықтың алғашқы үш басылымын бірлесіп жазды. Кітап қазір бесінші басылымда, соңғы екі басылымын Джон П. Берджесс жаңартты. Курт Гёдель математикалық дәлелдеу теориясына модальдық логиканы – қажеттілік және мүмкіндік логикасын қолданатын дәлелдік логика туралы алғашқы мақала жазды, бірақ Гёдель бұл тақырыпты маңызды деңгейде дамытқан жоқ. Булос оның ерте жақтастарының және пионерлерінің бірі болды, сондай-ақ ол 1979 жылы жарық көрген «Сәйкестіктің дәлелденбеуі» атты алғашқы кітап жазды. Бірнеше жылдан кейін шешілмеген маңызды мәселенің шешімі 1993 жылы жарияланған «Дәлелдеу логикасы» атты жаңа зерттеуге әкелді. Дәлелдеуге болатындықты модальдық логикалық тұрғыдан қарастыру Гёдельдің екінші толық еместік теоремасының «ішкі мағынасын» көрсетуге көмектесті, яғни теореманың дұрыстығы дәлелдеуге болатындық предикатының нақты формулировкасына байланысты. Бұл шарттарды алғаш рет Дэвид Гильберт және Пол Бернейс өздерінің «Арифметика негіздері» еңбегінде анықтады. Екінші теореманың белгісіз статусын ондаған жылдар бойы Георг Крайзель және Леон Хенкин сияқты логиктер атап өтті, олар «Бұл сөйлем дәлелденеді» деген формальды сөйлемнің (Гедельдің «Бұл сөйлем дәлелденбейді» деген сөйлемінен өзгеше) дәлелдене алатындығын және демек, шын екенін сұрады. Мартин Лёб Хенкиннің болжамын дұрыс екенін көрсетті, сондай-ақ модальдық логикалық тәсілмен нақты кодталған маңызды «көрініс» принципін анықтады. Дәлелдеуге болатын предикаттарды бейнелеуге қатысты маңызды нәтижелердің кейбіреулері бұрын Соломон Феферманның өте ерекше әдістерін қолдана отырып алынған болатын. Булос 19 ғасырдың неміс математигі және философы Готтлоб Фреге туралы мағлұматтар берді. Булос Криспин Райтпен байланысты болжамды дәлелдеді (сондай-ақ басқалар тәуелсіз түрде дәлелдеді), Фрегенің «Негізгі заңдар» жүйесі, Расселдің парадоксымен бұзылған деп есептелген, оның аксиомаларының бірін, атақты V негізгі заңды Хьюм принципімен алмастыру арқылы сәйкессіздіктен құтылуға болатындығын көрсетті. Бұл жүйе содан бері қарқынды зерттеулерге ұшырады. Булос егер екінші реттік айнымалыларды монодикалық екінші реттік логикада көптік ретінде қарастырса, онда екінші реттік логиканы бірінші реттік айнымалылардың ауқымынан басқа объектілерге онтологиялық міндеттемесі жоқ деп түсіндіруге болады деп мәлімдеді. Нәтижесінде көптік сандық анықтама пайда болды. Дэвид Льюис өзінің «Кластардың бөліктері» еңбегінде көптік сандық анықтаманы қолданды, нәтижесінде Зермело-Франкельдің жиын теориясы және Пеано аксиомалары теоремалар болатын жүйе пайда болды. Булос көбінесе көптік сандық анықтаманың авторы ретінде танымал болғанымен, Питер Симонс (1982) негізгі идеяны Станислав Лесневскийдің еңбектерінде табуға болады деп дәлелдеді. Өлер алдында Булос өзінің 30 мақаласын таңдап, кітап етіп шығарды. Нәтижесінде ол өзінің ең жоғары бағаланған еңбегі, өлімнен кейінгі «Логика, логика және логика» атты еңбегі пайда болды. Бұл кітапта Булостың Фрегені жаңарту бойынша көптеген еңбектері, сондай-ақ жиын теориясы, екінші реттік логика және бірінші реттік емес, көптік сандық анықтама, дәлелдеу теориясы және Гёдельдің толық еместік теоремасы туралы үш қысқаша түсінікті мақаласы басылып шығарылды. Дедекинд, Кантор және Рассел туралы мақалалар да бар.

Boolos coauthored with Richard Jeffrey the first three editions of the classic university text on mathematical logic, Computability and Logic. The book is now in its fifth edition, the last two editions updated by John P. Burgess. Kurt Gödel wrote the first paper on provability logic, which applies modal logic—the logic of necessity and possibility—to the theory of mathematical proof, but Gödel never developed the subject to any significant extent. Boolos was one of its earliest proponents and pioneers, and he produced the first book length treatment of it, The Unprovability of Consistency, published in 1979. The solution of a major unsolved problem some years later led to a new treatment, The Logic of Provability, published in 1993. The modal logical treatment of provability helped demonstrate the "intensionality" of Gödel's Second Incompleteness Theorem, meaning that the theorem's correctness depends on the precise formulation of the provability predicate. These conditions were first identified by David Hilbert and Paul Bernays in their Grundlagen der Arithmetik. The unclear status of the Second Theorem was noted for several decades by logicians such as Georg Kreisel and Leon Henkin, who asked whether the formal sentence expressing "This sentence is provable" (as opposed to the Gödel sentence, "This sentence is not provable") was provable and hence true. Martin Löb showed Henkin's conjecture to be true, as well as identifying an important "reflection" principle also neatly codified using the modal logical approach. Some of the key provability results involving the representation of provability predicates had been obtained earlier using very different methods by Solomon Feferman. Boolos was an authority on the 19th century German mathematician and philosopher Gottlob Frege. Boolos proved a conjecture due to Crispin Wright (and also proved, independently, by others), that the system of Frege's Grundgesetze, long thought vitiated by Russell's paradox, could be freed of inconsistency by replacing one of its axioms, the notorious Basic Law V with Hume's Principle. The resulting system has since been the subject of intense work. Boolos argued that if one reads the second order variables in monadic second order logic plurally, then second order logic can be interpreted as having no ontological commitment to entities other than those over which the first order variables range. The result is plural quantification. David Lewis employed plural quantification in his Parts of Classes to derive a system in which Zermelo–Fraenkel set theory and the Peano axioms were all theorems. While Boolos is usually credited with plural quantification, Peter Simons (1982) has argued that the essential idea can be found in the work of Stanislaw Leśniewski. Shortly before his death, Boolos chose 30 of his papers to be published in a book. The result is perhaps his most highly regarded work, his posthumous Logic, Logic, and Logic. This book reprints much of Boolos's work on the rehabilitation of Frege, as well as a number of his papers on set theory, second order logic and nonfirstorderizability, plural quantification, proof theory, and three short insightful papers on Gödel's Incompleteness Theorem. There are also papers on Dedekind, Cantor, and Russell.

Мақалалар

LLL = «Логика, логика және логика» журналында қайта басылды. FPM = Demopoulos, W., редакциялаған, 1995. Фрегедің математика философиясы. Гарвард университетінің баспасы. 1968 (Хилари Путнаммен бірге), «Құрастырылатын бүтін сандар жиындарының шешілмейтін дәрежелері», Символикалық логика журналы 33: 497–513. 1969, «Тиімділік және табиғи тілдер», Сидни Хук, ред., Тіл және философия. Нью-Йорк университетінің баспасы. 1970, «Құрастырылатын деңгейлердің семантикасы туралы», 16: 139–148. 1970a, «Ловенхайм-Сколем теоремасын дәлелдеу», Нотр-Дам формальды логика журналы 11: 76–78. 1971, «Жиынның итеративті түсінігі», Философия журналы 68: 215–231. Пол Бенасерраф және Хилари Путнам, ред., 1984. Математика философиясы: Таңдалған оқулар, 2-ші басылым. Кембридж университетінің баспасы: 486–502. LLL. 1973, «Эверт Виллем Бет теоремасы туралы ескерту», Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 2: 1–2. 1974, «Арифметикалық функциялар және минимизациялау», Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 20: 353–354. 1974a, «Чарльз Парсонстың «Жиындар және сыныптар» дегеніне жауап», «Логика, логика және логика» журналында алғаш рет жарияланды. 1975, «Фридманның 35-ші мәселесіне оң шешім бар», Америка математикалық қоғамының хабарламалары 22: A 646. 1975a, «Кальмардың консистенттілігін дәлелдеу және омега консистенттігі түсінігін жалпылау», Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 17: 3–7. 1975b, «Екінші реттік логика туралы», Философия журналы 72: 509–527. LLL. 1976, «Сәйкестік ұғымын қамтитын кейбір мәлімдемелердің шындығын анықтау туралы», Символикалық логика журналы 41: 779–781. 1977, «Байлықсыз тұжырымдардың дәлелділігін анықтау туралы», Символикалық логика журналы 42: 191–193. 1979, «Рефлексиялық принциптер және итеративті консистенттік тұжырымдар», Символикалық логика журналы 44: 33–35. 1980, «Омега консистенттігі және алмаз», Studia Logica 39: 237–243. 1980a, «Дәлелдік интерпретациялары бар модальдық логика жүйелері туралы», Theoria 46: 7–18. 1980b, «Арифметикадағы дәлелдеушілік және Греггорчик схемасы», Fundamenta Mathematicae 106: 41–45. 1980c, «Дәлелдеушілік, шындық және модальдық логика», Философиялық логика журналы 9: 1–7. 1980d, Реймонд М. Смуллианның шолуы, «Бұл кітаптың аты қандай?», Философиялық шолу 89: 467–470. 1981, «Кез келген А үшін Б бар», Лингвистикалық зерттеу 12: 465–466. 1981a, Роберт М. Соловэйдің шолуы, «Модальдық логиканың дәлелділік интерпретациялары», Символикалық логика журналы 46: 661–662. 1982, «Өте шешілмейтін сөйлемдер», Символикалық логика журналы 47: 191–196. 1982a, «Дәлелдік логикасындағы белгілі бір қалыпты формалардың болмауы туралы», Символикалық логика журналы 47: 638–640. 1984, «Кешіріп тастамаңыз», Философиялық логика журналы 13: 373–378. LLL. 1984a, «Дәлелдік логикасы», Американдық математикалық айлық 91: 470–480. 1984b, «Бірінші рет реттелмеу», Лингвистикалық зерттеу 15: 343. 1984c, «Силлогистикалық тұжырым туралы», Таным 17: 181–182. 1984d, «Болу – айнымалының мәні болу (немесе кейбір айнымалылардың кейбір мәндері)», Философия журналы 81: 430–450. LLL. 1984e, «Ағаштар және шекті қанағаттандырылуы: Джон Берджесс болжамдарының дәлелі», Нотр-Дам формальды логика журналы 25: 193–197. 1984f, «Математикалық индукцияның негізделуі», PSA 2: 469–475. LLL. 1985, «1 консистенттілік және алмаз», Нотр-Дам формальды логика журналы 26: 341–347. 1985a, «Номиналистік платонизм», Философиялық шолу 94: 327–344. LLL. 1985b, «Тержіме жазуын оқу», Mind 94: 331–344. LLL; FPM: 163–81. 1985c (Джованни Самбинмен бірге), «Модальдық логиканың толық емес жүйесі», Философиялық логика журналы 14: 351–358. 1986, Юрий Манинді шолу, «Математикалық логика курсы», Символикалық логика журналы 51: 829–830. 1986–87, «Фрегеге қарама-қайшылықтан құтқару», Аристотель қоғамының іс қағаздары 87: 137–151. LLL; FPM 438–52. 1987, «Фреге арифметика негіздерінің сәйкестігі», Дж. Дж. Томсон, ред., 1987. Болу және айту туралы: Ричард Картрайтқа арналған эсселер. MIT Press: 3–20. LLL; FPM: 211–233. 1987a, «Қызық тұжырым», Философиялық логика журналы 16: 1–12. LLL. 1987b, «Дәлелдік логикасындағы дәлелденушілік туралы түсініктер», Логика, әдіснама және ғылым философиясының 8-ші халықаралық конгресінің рефераттары 5: 236–238. 1987c (Ванн МакГимен бірге), «Предикат дәлелдеу логикасының сөйлемдерінің жиынтығының дәрежесі, әрбір түсіндіруде шындық болып табылатын», Символикалық логика журналы 52: 165–171. 1988, «Әліппелік реті», Нотр-Дам формальды логика журналы 29: 214–215. 1988a, Крейг Сморинскидің шолуы, «Өзін-өзі сілтемелеу және модальдық логика», Символикалық логика журналы 53: 306–309. 1989, «Итерация қайтадан», Философиялық тақырыптар 17: 5–21. LLL. 1989a, «Гёдельдің толық емес теоремасының жаңа дәлелі», Америка математикалық қоғамының хабарламалары 36: 388–390. LLL. «Джордж Булостың хаты» деген тақырыпта бір сөз пайда болды, сол жерде, 676-бет. LLL. 1990, «Гёдель сөйлемінің шындығын «көру» туралы», Мінез-қолқа және ми ғылымдары 13: 655–656. LLL. 1990a, Джон Барвайс және Джон Этчемэндидің шолуы, «Тьюринг әлемі және Тарский әлемі», Символикалық логика журналы 55: 370–371. 1990b, В. А. Успенскийдің шолуы, «Гёдельдің толық емес теоремасы», Символикалық логика журналы 55: 889–891. 1990c, «Сандардың теңдігінің стандарты», Булос, Г., ред., Мағына және әдіс: Хилари Путнамның құрметіне эсселер. Кембридж университетінің баспасы: 261–278. LLL; FPM: 234–254. 1991, «Сыртқы беткейден төмен қарай үрлеу», Nous 25: 695–706. LLL. 1991a (Джованни Самбинмен бірге), «Дәлелдеушілік: математикалық модальдықтың пайда болуы», Studia Logica 50: 1–23. 1993, «Джапаридзенің полимодальдық логикасының аналитикалық толықтығы», Annals of Pure and Applied Logic 61: 95–111. 1993a, «Қайдан қарама-қайшылық?» Аристотель қоғамының қосымша томы 67: 213–233. LLL. 1994, «1879?» П. Кларк және Б. Хейл, ред., Путнамды оқу. Оксфорд: Блэквелл: 31–48. LLL. 1994a, «Еңбекқорлықтың артықшылықтары ұрлықтан жоғары», А. Джордж, ред., Математика және сана. Оксфорд университетінің баспасы: 27–44. LLL. 1994b, «Гёдельдің екінші толық емес теоремасы бір буын сөздермен түсіндірілді», Mind 103: 1–3. LLL. 1995, «Фреге теоремасы және Пеано постулаттары», Символикалық логика бюллетені 1: 317–326. LLL. 1995a, «*1951» кіріспе ескертуі», Соломон Феферман және т.б., ред., Курт Гёдель, Жиналған еңбектер, 3-том. Оксфорд университетінің баспасы: 290–304. LLL. *1951 – Гёдельдің 1951 жылғы Гиббс лекциясы, «Математика негіздері туралы кейбір негізгі теоремалар және олардың салдары». 1995b, «Цитатталған екіұштылық», Леонарди, П., және Сантамброгио, М., ред., Квайн туралы. Кембридж университетінің баспасы: 283–296. LLL. 1996, «Ең қиын логикалық жұмбақ», Гарвард философиялық шолуы 6: 62–65. LLL. Массимо Пьяттелли Пальмаринидің итальян тіліне аудармасы, «L'indovinello piu difficile del mondo», La Repubblica (16 сәуір 1992): 36–37. 1996a, «Фреге теоремасын дәлелдеу туралы», А. Мортон және С. П. Стих, ред., Пол Бенасерраф және оның сыншылары. Кембридж MA: Блэквелл. LLL. 1997, «Канторлық қарсы мысалдарды құру», Философиялық логика журналы 26: 237–239. LLL. 1997a, «Хьюм принципі аналитикалық па?», Ричард Г. Хекк, ред., Тіл, ой және логика: Майкл Дамметтің құрметіне эсселер. Оксфорд университетінің баспасы: 245–61. LLL. 1997b (Ричард Хеккпен бірге), «Die Grundlagen der Arithmetik, §§82–83», Маттиас Ширн, ред., Математика философиясы бүгін. Оксфорд университетінің баспасы. LLL. 1998, «Готлоб Фреге және арифметика негіздері». Алғаш рет LLL журналында жарияланды. Маттьё Марион және Ален Войзар, ред., 1998. Фреге. Логика және философия. Монреаль және Париж: L'Harmattan: 17–32. 2000, «Жиын теориясына сенуіміз керек пе?», Гила Шер және Ричард Тиесен, ред., Логика мен интуиция арасында: Чарльз Парсонстың құрметіне эсселер. Кембридж университетінің баспасы. LLL.

LLL = reprinted in Logic, Logic, and Logic. FPM = reprinted in Demopoulos, W., ed., 1995. Frege's Philosophy of Mathematics. Harvard Univ. Press. 1968 (with Hilary Putnam), "Degrees of unsolvability of constructible sets of integers," Journal of Symbolic Logic 33: 497–513. 1969, "Effectiveness and natural languages" in Sidney Hook, ed., Language and Philosophy. New York University Press. 1970, "On the semantics of the constructible levels," 16: 139–148. 1970a, "A proof of the Löwenheim–Skolem theorem," Notre Dame Journal of Formal Logic 11: 76–78. 1971, "The iterative conception of set," Journal of Philosophy 68: 215–231. Reprinted in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds.,1984. Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd ed. Cambridge Univ. Press: 486–502. LLL
1973, "A note on Evert Willem Beth's theorem," Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 2: 1–2. 1974, "Arithmetical functions and minimization," Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 20: 353–354. 1974a, "Reply to Charles Parsons' 'Sets and classes'." First published in LLL. 1975, "Friedman's 35th problem has an affirmative solution," Notices of the American Mathematical Society 22: A 646. 1975a, "On Kalmar's consistency proof and a generalization of the notion of omega consistency," Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 17: 3–7. 1975b, "On second order logic," Journal of Philosophy 72: 509–527. LLL. 1976, "On deciding the truth of certain statements involving the notion of consistency," Journal of Symbolic Logic 41: 779–781. 1977, "On deciding the provability of certain fixed point statements," Journal of Symbolic Logic 42: 191–193. 1979, "Reflection principles and iterated consistency assertions," Journal of Symbolic Logic 44: 33–35. 1980, "Omega consistency and the diamond," Studia Logica 39: 237–243. 1980a, "On systems of modal logic with provability interpretations," Theoria 46: 7–18. 1980b, "Provability in arithmetic and a schema of Grzegorczyk," Fundamenta Mathematicae 106: 41–45. 1980c, "Provability, truth, and modal logic," Journal of Philosophical Logic 9: 1–7. 1980d, Review of Raymond M. Smullyan, What is the Name of This Book? The Philosophical Review 89: 467–470. 1981, "For every A there is a B," Linguistic Inquiry 12: 465–466. 1981a, Review of Robert M. Solovay, Provability Interpretations of Modal Logic," Journal of Symbolic Logic 46: 661–662. 1982, "Extremely undecidable sentences," Journal of Symbolic Logic 47: 191–196. 1982a, "On the nonexistence of certain normal forms in the logic of provability," Journal of Symbolic Logic 47: 638–640. 1984, "Don't eliminate cut," Journal of Philosophical Logic 13: 373–378. LLL. 1984a, "The logic of provability," American Mathematical Monthly 91: 470–480. 1984b, "Nonfirstorderizability again," Linguistic Inquiry 15: 343. 1984c, "On 'Syllogistic inference'," Cognition 17: 181–182. 1984d, "To be is to be the value of a variable (or some values of some variables)," Journal of Philosophy 81: 430–450. LLL. 1984e, "Trees and finite satisfiability: Proof of a conjecture of John Burgess," Notre Dame Journal of Formal Logic 25: 193–197. 1984f, "The justification of mathematical induction," PSA 2: 469–475. LLL. 1985, "1 consistency and the diamond," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 341–347. 1985a, "Nominalist Platonism," The Philosophical Review 94: 327–344. LLL. 1985b, "Reading the Begriffsschrift," Mind 94: 331–344. LLL; FPM: 163–81. 1985c (with Giovanni Sambin), "An incomplete system of modal logic," Journal of Philosophical Logic 14: 351–358. 1986, Review of Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic, Journal of Symbolic Logic 51: 829–830. 1986–87, "Saving Frege from contradiction," Proceedings of the Aristotelian Society 87: 137–151. LLL; FPM 438–52. 1987, "The consistency of Frege's Foundations of Arithmetic" in J. J. Thomson, ed., 1987. On Being and Saying: Essays for Richard Cartwright. MIT Press: 3–20. LLL; FPM: 211–233. 1987a, "A curious inference," Journal of Philosophical Logic 16: 1–12. LLL. 1987b, "On notions of provability in provability logic," Abstracts of the 8th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science 5: 236–238. 1987c (with Vann McGee), "The degree of the set of sentences of predicate provability logic that are true under every interpretation," Journal of Symbolic Logic 52: 165–171. 1988, "Alphabetical order," Notre Dame Journal of Formal Logic 29: 214–215. 1988a, Review of Craig Smorynski, Self Reference and Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 53: 306–309. 1989, "Iteration again," Philosophical Topics 17: 5–21. LLL. 1989a, "A new proof of the Gödel incompleteness theorem," Notices of the American Mathematical Society 36: 388–390. LLL. An afterword appeared under the title "A letter from George Boolos," ibid., p. 676. LLL. 1990, "On 'seeing' the truth of the Gödel sentence," Behavioral and Brain Sciences 13: 655–656. LLL. 1990a, Review of Jon Barwise and John Etchemendy, Turing's World and Tarski's World, Journal of Symbolic Logic 55: 370–371. 1990b, Review of V. A. Uspensky, Gödel's Incompleteness Theorem, Journal of Symbolic Logic 55: 889–891. 1990c, "The standard of equality of numbers" in Boolos, G., ed., Meaning and Method: Essays in Honor of Hilary Putnam. Cambridge Univ. Press: 261–278. LLL; FPM: 234–254. 1991, "Zooming down the slippery slope," Nous 25: 695–706. LLL. 1991a (with Giovanni Sambin), "Provability: The emergence of a mathematical modality," Studia Logica 50: 1–23. 1993, "The analytical completeness of Dzhaparidze's polymodal logics," Annals of Pure and Applied Logic 61: 95–111. 1993a, "Whence the contradiction?" Aristotelian Society Supplementary Volume 67: 213–233. LLL. 1994, "1879?" in P. Clark and B. Hale, eds. Reading Putnam. Oxford: Blackwell: 31–48. LLL. 1994a, "The advantages of honest toil over theft," in A. George, ed., Mathematics and Mind. Oxford University Press: 27–44. LLL. 1994b, "Gödel's second incompleteness theorem explained in words of one syllable," Mind 103: 1–3. LLL. 1995, "Frege's theorem and the Peano postulates," Bulletin of Symbolic Logic 1: 317–326. LLL. 1995a, "Introductory note to *1951" in Solomon Feferman et al., eds., Kurt Gödel, Collected Works, vol. 3. Oxford University Press: 290–304. LLL. *1951 is Gödel's 1951 Gibbs lecture, "Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications." 1995b, "Quotational ambiguity" in Leonardi, P., and Santambrogio, M., eds. On Quine. Cambridge University Press: 283–296. LLL
1996, "The Hardest Logic Puzzle Ever," Harvard Review of Philosophy 6: 62–65. LLL. Italian translation by Massimo Piattelli Palmarini, "L'indovinello piu difficile del mondo," La Repubblica (16 April 1992): 36–37. 1996a, "On the proof of Frege's theorem" in A. Morton and S. P. Stich, eds., Paul Benacerraf and his Critics. Cambridge MA: Blackwell. LLL. 1997, "Constructing Cantorian counterexamples," Journal of Philosophical Logic 26: 237–239. LLL. 1997a, "Is Hume's principle analytic?" In Richard G. Heck, Jr., ed., Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett. Oxford Univ. Press: 245–61. LLL. 1997b (with Richard Heck), "Die Grundlagen der Arithmetik, §§82–83" in Matthias Schirn, ed., Philosophy of Mathematics Today. Oxford Univ. Press. LLL. 1998, "Gottlob Frege and the Foundations of Arithmetic." First published in LLL. French translation in Mathieu Marion and Alain Voizard eds., 1998. Frege. Logique et philosophie. Montréal and Paris: L'Harmattan: 17–32. 2000, "Must we believe in set theory?" in Gila Sher and Richard Tieszen, eds., Between Logic and Intuition: Essays in Honour of Charles Parsons. Cambridge University Press. LLL.