Математика мен физика негіздері: Уайтхед пен Расселдің «Principia Mathematica» еңбегі

Кіріспе

Математика негіздері туралы кітап (1910–13, 1925–27)
Исаак Ньютонның физиканың негізгі заңдарын қамтитын кітабы

Principia Mathematica (көбінесе PM деп қысқартылады) – математик-философтар Альфред Норт Уайтхед пен Бертран Рассел жазған және 1910, 1912 және 1913 жылдары жарияланған математика негіздері туралы үш томдық еңбек. 1925–1927 жылдары екінші басылымы жарық көрді, оған екінші басылымға маңызды кіріспе, ✱9-ды және жаңа қосымшалар B мен C-ні алмастырған қосымша А енгізілді. PM Расселдің 1903 жылғы «Математика қағидалары» еңбегінің жалғасы ретінде жоспарланған, бірақ PM-нің мәлімдемесінше, практикалық және философиялық себептерге байланысты бұл жоспар іске аспады: «Бұл жұмысты бастапқыда «Математика қағидалары» кітабының екінші томы ретінде жариялауды көздеген едік. Алайда, жұмыстың барысында тақырыптың біз ойлағаннан әлдеқайда кең көлемді екені анық болды; сонымен қатар, бұрынғы еңбекте түсініксіз және күмәнді қалған көптеген маңызды мәселелер бойынша біз қанағаттанарлық шешімдерге келдік деп есептейміз». PM-нің кіріспесінде үш мақсат көрсетілген: 1) математикалық логиканың идеялары мен әдістерін мүмкіндігінше толық талдау және бастапқы ұғымдар, аксиомалар мен логикалық қорытындылар ережелерінің санын барынша азайту; 2) математикалық тұжырымдамаларды символдық логикада дәл беру үшін ең қолайлы нотацияны пайдалану; 3) 20 ғасырдың басында логика мен жиын теориясын мазалаған парадокстарды – мысалы, Расселдің парадоксын – шешу. Осы үшінші мақсат PM-де типтер теориясын қабылдауға түрткі болды. Типтер теориясы сыныптардың, қасиеттердің және функциялардың шексіз ұғымын жоққа шығаратын формулаларға грамматикалық шектеулер енгізеді. Нәтижесінде, Рассел жиыны сияқты объектілерді ұғынуға мүмкіндік беретін формулалар дұрыс емес болып шығады, өйткені олар PM жүйесінің грамматикалық талаптарын бұзады. PM символдық логикаға қызығушылықты жандандырып, оны кеңінен таныстырды және оның мүмкіндіктерін көрсетті. Modern Library PM-ді 20 ғасырдың ең үздік 100 ағылшын тіліндегі ғылыми еңбектерінің тізімінде 23-ші орынға қойды.

The Principia Mathematica (often abbreviated PM) is a three volume work on the foundations of mathematics written by mathematician–philosophers Alfred North Whitehead and Bertrand Russell and published in 1910, 1912, and 1913. In 1925–1927, it appeared in a second edition with an important Introduction to the Second Edition, an Appendix A that replaced ✱9 and all new Appendix B and Appendix C. PM was conceived as a sequel to Russell's 1903 The Principles of Mathematics, but as PM states, this became an unworkable suggestion for practical and philosophical reasons: "The present work was originally intended by us to be comprised in a second volume of Principles of Mathematics But as we advanced, it became increasingly evident that the subject is a very much larger one than we had supposed; moreover on many fundamental questions which had been left obscure and doubtful in the former work, we have now arrived at what we believe to be satisfactory solutions." PM, according to its introduction, had three aims: (1) to analyze to the greatest possible extent the ideas and methods of mathematical logic and to minimize the number of primitive notions, axioms, and inference rules; (2) to precisely express mathematical propositions in symbolic logic using the most convenient notation that precise expression allows; (3) to solve the paradoxes that plagued logic and set theory at the turn of the 20th century, like Russell's paradox. This third aim motivated the adoption of the theory of types in PM. The theory of types adopts grammatical restrictions on formulas that rules out the unrestricted comprehension of classes, properties, and functions. The effect of this is that formulas such as would allow the comprehension of objects like the Russell set turn out to be ill formed: they violate the grammatical restrictions of the system of PM. PM sparked interest in symbolic logic and advanced the subject, popularizing it and demonstrating its power. The Modern Library placed PM 23rd in their list of the top 100 English language nonfiction books of the twentieth century.

Іргетастың қолданылу аясы

Принципиа жинақтар теориясы, кардинал сандар, реттік сандар және нақты сандарды қамтыды. Нақты анализден терең теоремалар кіргізілмеді, бірақ үшінші томның соңында сарапшыларға қабылданған формализмде белгілі математиканың көп бөлігі принцип бойынша дамытылуы мүмкін екендігі анық болды. Мұндай дамудың қаншалықты ұзаққа созылатыны да түсінікті болды. Геометрия негіздеріне арналған төртінші том жоспарланған еді, бірақ авторлар үшінші томды аяқтағаннан кейін зихилықтан шаршағанын мойындады.

Теориялық негіз

Курт Гёдельдің теориясын сынағанда (төменде), формалистік теориядан өзгеше, ПМ-нің "логицистік" теориясында "формализм синтаксисінің нақты айқындамасы" жоқ. Бұдан бөлек, теорияда интерпретациялар (модель теориясы мағынасында) "⊢" (ақиқатты бекіту), "~" (логикалық жоқ) және "V" (логикалық қосымша ОР) символдарының мінез-құлқының шындық мәндері арқылы ұсынылатыны дереу көрінеді. Шындық мәндері: ПМ "ақиқат" және "жалған" ұғымдарын "алғашқы proposition" ұғымына енгізеді. Таза формалистік теория "алғашқы proposition" құрайтын символдардың мағынасын бермес еді – символдардың өзі толығымен кездейсоқ және беймәлім болуы мүмкін. Теория тек символдардың теория грамматикасына сәйкес қалай әрекет ететінін анықтайды. Содан кейін, "мәндерді" тағайындау арқылы модель формулалардың нені білдіретінін түсіндіреді. Осылайша, төмендегі формальды Клине жиынында символдардың әдеттегі мағынасы және олардың қалай қолданылатыны туралы "интерпретация" жақшада берілген, мысалы, "¬ (жоқ)". Бірақ бұл таза формалистік теория емес.

Формалды теорияның қазіргі заманғы құрылысы

Келесі формалистік теория ПМ логикалық теориясына қарама-қарсы ұсынылады. Қазіргі заманғы формальды жүйе былай құрылады:
Қолданылатын символдар: Бұл жиын бастапқы жиын болып табылады, ал басқа символдар да пайда болуы мүмкін, бірақ олар осы бастапқы символдардан ғана анықтама арқылы туындайды. Бастапқы жиын Клейнедің 1952 жылғы еңбегінен алынған мына жиын болуы мүмкін: логикалық символдар: "→" (көрсетсе, ЕГЕР…ДЕГЕНДЕ, және "⊃"), "&" (және), "V" (немесе), "¬" (жоқ), "∀" (барлығы үшін), "∃" (бар); предикат символы "=" (тең); функция символдары "+" (арифметикалық қосымша), "∙" (арифметикалық көбейту), "'" (кейінгі); жеке символ "0" (нөл); айнымалылар "a", "b", "c" және т.б.; және жақшалар "(" және ")".
Символдар тізбектері: Теория осы символдардың "тізбектерін" тізбектеу (қосып жазу) арқылы құрастырады.
Құрастыру ережелері: Теория синтаксис ережелерін (грамматика ережелерін) әдетте рекурсивті анықтама түрінде көрсетеді, ол "0" символынан басталады және қабылданатын тізбектерді немесе "жақсы құрылған формулаларды" (wffs) қалай құруға болатынын анықтайды. Бұл "өзгермелі" деп аталатын символдар үшін тізбектерді "орнына қою" ережесін де қамтиды.
Трансформация ережесі (немесе ережелер): Символдар мен символдар тізбектерінің мінез-құлқына анықтама беретін аксиомалар.
Шығару ережесі, бөлу, modus ponens: Теорияға "қорытындыны" оған әкелген "алғышарттардан" "бөліп алуға" және содан кейін "алғышарттарды" (│ сызығының сол жағындағы символдар немесе көлденең сызықтың үстіндегі символдар) жоюға мүмкіндік беретін ереже. Әйтпесе, орнына қою ұзақ тізбектерге алып келер еді, оларды әрі қарай тасымалдау қажет болар еді. Шындығында, modus ponens қолданғаннан кейін, тек қорытынды ғана қалады, ал қалғаны мәңгілікке жоғалады. Қазіргі заманғы теориялар көбінесе өзінің алғашқы аксиомасы ретінде классикалық modus ponens немесе "бөлу ережесін" көрсетеді: "│" символы әдетте көлденең сызық түрінде жазылады, ал мұнда "⊃" "көрсетсе" дегенді білдіреді. A және B символдары – "орнына қоятын" символдар; мұндай жазу формасы "аксиомалық схема" деп аталады (яғни, жазу формасының санаулы түрлері болуы мүмкін). Бұл IF THEN сияқты оқылуы мүмкін, бірақ айырмашылығы бар: берілген символдар тізбегі ЕГЕР A және A, B көрсетсе, ДЕГЕНДЕ B (және одан әрі пайдалану үшін тек B сақталады). Бірақ символдардың "мағынасы" жоқ (мысалы, "ақиқат кестесі", "ақиқат мәндері" немесе "ақиқат функциялары") және modus ponens тек грамматика бойынша механикалық түрде жүзеге асырылады.

The following formalist theory is offered as contrast to the logicistic theory of PM. A contemporary formal system would be constructed as follows:
Symbols used: This set is the starting set, and other symbols can appear but only by definition from these beginning symbols. A starting set might be the following set derived from Kleene 1952: logical symbols: "→" (implies, IF THEN, and "⊃"), "&" (and), "V" (or), "¬" (not), "∀" (for all), "∃" (there exists); predicate symbol "=" (equals); function symbols "+" (arithmetic addition), "∙" (arithmetic multiplication), "'" (successor); individual symbol "0" (zero); variables "a", "b", "c", etc. ; and parentheses "(" and ")". Symbol strings: The theory will build "strings" of these symbols by concatenation (juxtaposition). Formation rules: The theory specifies the rules of syntax (rules of grammar) usually as a recursive definition that starts with "0" and specifies how to build acceptable strings or "well formed formulas" (wffs). This includes a rule for "substitution" of strings for the symbols called "variables". Transformation rule(s): The axioms that specify the behaviours of the symbols and symbol sequences. Rule of inference, detachment, modus ponens : The rule that allows the theory to "detach" a "conclusion" from the "premises" that led up to it, and thereafter to discard the "premises" (symbols to the left of the line │, or symbols above the line if horizontal). If this were not the case, then substitution would result in longer and longer strings that have to be carried forward. Indeed, after the application of modus ponens, nothing is left but the conclusion, the rest disappears forever. Contemporary theories often specify as their first axiom the classical or modus ponens or "the rule of detachment": The symbol "│" is usually written as a horizontal line, here "⊃" means "implies". The symbols A and B are "stand ins" for strings; this form of notation is called an "axiom schema" (i. e., there is a countable number of specific forms the notation could take). This can be read in a manner similar to IF THEN but with a difference: given symbol string IF A and A implies B THEN B (and retain only B for further use). But the symbols have no "interpretation" (e. g., no "truth table" or "truth values" or "truth functions") and modus ponens proceeds mechanistically, by grammar alone.

Бастапқы идеялар

Қараңыз. PM 1962:90–94, бірінші басылым үшін: (1) Элементарлық мәлімдемелер. (2) Функциялардың элементарлық мәлімдемелері. (3) Растау: "ақиқат" және "жалған" ұғымдарын енгізеді. (4) Мәлімдемелік функцияны растау. (5) Жоққа шығару: "Егер p кез келген мәлімдеме болса, "p емес" немесе "p жалған" мәлімдемесі "~p" арқылы белгіленеді". (6) Біріктіру: "Егер p және q кез келген мәлімдемелер болса, "p немесе q", яғни "p дұрыс немесе q дұрыс" мәлімдемесі, мұнда баламалар өзара ерекшеленбеуі керек, "p ∨ q" арқылы белгіленеді". (Қол. Б бөлімі)