Кіріспе
Теориялық физикадағы қызығушылық тудыратын алгебралық құрылым. Математика мен теориялық физикада "кванттық топ" термині қосымша құрылымға ие бірнеше түрлі коммутативті емес алгебралардың біреуін білдіреді. Оларға Дринфельд-Джимбо типіндегі кванттық топтар (квазитриангулярлы Хопф алгебралары), компактты матрицалық кванттық топтар (бөлшектене алатын C* алгебраларындағы құрылымдар) және бикрос-көбейтінді кванттық топтар жатады. Атауына қарамастан, олардың өзінде табиғи топтық құрылым жоқ, бірақ олар белгілі бір мағынада топқа "жақын". "Кванттық топ" термині алғаш рет кванттық интегралданатын жүйелер теориясында пайда болды, кейін Владимир Дринфельд пен Мичио Джимбо оны Хопф алгебрасының нақты бір класы ретінде ресмиледі. Дринфельд пен Джимбоның жұмысынан кейін Шахн Маджид енгізген "бикрос-көбейтінді" класындағы кванттық топтар сияқты, классикалық Ли топтарына немесе Ли алгебраларына жақын немесе оларды деформациялайтын басқа да Хопф алгебраларына да осы термин қолданылады. Дринфельдтің тәсілі бойынша кванттық топтар, көмекші параметр q немесе h-қа тәуелді Хопф алгебралары ретінде туындайды, олар q = 1 немесе h = 0 болғанда, жиі жартылай қарапайым немесе аффиндік Ли алгебрасының әмбебап орталық алгебрасы болады. Олармен тығыз байланысты белгілі бір дуалды объектілер де бар, олар Хопф алгебралары және "кванттық топтар" деп аталады, олар сәйкес жартылай қарапайым алгебралық топтағы немесе компактты Ли тобындағы функциялар алгебрасын деформациялайды.
In mathematics and theoretical physics, the term quantum group denotes one of a few different kinds of noncommutative algebras with additional structure. These include Drinfeld–Jimbo type quantum groups (which are quasitriangular Hopf algebras), compact matrix quantum groups (which are structures on unital separable C* algebras), and bicrossproduct quantum groups. Despite their name, they do not themselves have a natural group structure, though they are in some sense 'close' to a group. The term "quantum group" first appeared in the theory of quantum integrable systems, which was then formalized by Vladimir Drinfeld and Michio Jimbo as a particular class of Hopf algebra. The same term is also used for other Hopf algebras that deform or are close to classical Lie groups or Lie algebras, such as a "bicrossproduct" class of quantum groups introduced by Shahn Majid a little after the work of Drinfeld and Jimbo. In Drinfeld's approach, quantum groups arise as Hopf algebras depending on an auxiliary parameter q or h, which become universal enveloping algebras of a certain Lie algebra, frequently semisimple or affine, when q = 1 or h = 0. Closely related are certain dual objects, also Hopf algebras and also called quantum groups, deforming the algebra of functions on the corresponding semisimple algebraic group or a compact Lie group.
Интуитивті мағынасы
Кванттық топтардың табылуы өте күтпеген жағдай болды, себебі компактты топтар мен жартылай қарапайым Ли алгебраларының "қатаң" объектілер екендігі ұзақ уақыттан бері белгілі еді, яғни оларды "деформациялауға" болмайды. Кванттық топтардың негізгі идеяларының бірі – егер біз бір жағынан эквивалентті, бірақ үлкен құрылымды, атап айтқанда топтық алгебраны немесе әмбебап орамдық алгебраны қарастырсақ, онда топтық алгебра немесе орамдық алгебра "деформациялануы" мүмкін, бірақ деформация енді топтық алгебра немесе орамдық алгебра болып қала бермейді. Нақтырақ айтқанда, деформация коммутативті немесе кокоммутативті болуы міндетті емес Хопф алгебраларының санатында жүзеге асырылуы мүмкін. Деформацияланған объектіні Ален Коннның коммутативті емес геометриясының рухында "коммутативті емес кеңістіктегі" функциялар алгебрасы ретінде қарастыруға болады. Алайда, бұл түсінік кванттық топтардың белгілі бір сыныптары кванттық Янг-Бакстер теңдеуін зерттеуде және Ленинград мектебінің (Людвиг Фадеев, Леон Тахтаян, Евгений Склянин, Николай Решетихин және Владимир Корепин) және Жапон мектебінің осымен байланысты жұмыстарында тиімді екені дәлелденгеннен кейін пайда болды. Екінші, бикросспродукт класындағы кванттық топтардың түсінігі мүлдем басқаша болды және кванттық гравитацияға қатысты тәсіл ретінде өзіне-өзі жұптас объектілерді іздеуден туындады.
1-ші жағдай: q - бірліктің түбірі емес
Қатаң түрде, Uq(G) кванттық тобы квазитриангуляр емес, бірақ оны «квазитриангулярға жақын» деп санауға болады, себебі R-матрицасының рөлін атқаратын шексіз формальды қосынды бар. Бұл шексіз формальды қосынды генераторлар ei және fi, сондай-ақ Картан генераторлары tλ арқылы өрнектеледі, мұнда kλ формальды түрде qtλ-мен теңестіріледі. Шексіз формальды қосынды – екі көбейткіш пен шексіз формальды қосындының көбейтіндісі, мұнда λj – Картан субалгебрасының дуалдық кеңістігінің базисі, μj – дуалдық базис, ал η = ±1. R-матрицасының рөлін атқаратын формальды шексіз қосынды екі ең жоғары салмақты модульдің тензорлық көбейтіндісіне де, екі ең төмен салмақты модульдің тензорлық көбейтіндісіне де анықталған әрекет етеді. Атап айтқанда, егер v салмағы α және w салмағы β болса, онда
and an infinite formal sum, where λj is a basis for the dual space to the Cartan subalgebra, and μj is the dual basis, and η = ±1. The formal infinite sum which plays the part of the R matrix has a well defined action on the tensor product of two irreducible highest weight modules, and also on the tensor product of two lowest weight modules. Specifically, if v has weight α and w has weight β, then
and the fact that the modules are both highest weight modules or both lowest weight modules reduces the action of the other factor on v ⊗ W to a finite sum. Specifically, if V is a highest weight module, then the formal infinite sum, R, has a well defined, and invertible, action on V ⊗ V, and this value of R (as an element of End(V ⊗ V)) satisfies the Yang–Baxter equation, and therefore allows us to determine a representation of the braid group, and to define quasi invariants for knots, links and braids.
және модульдердің екеуі де ең жоғары салмақты модульдер немесе екеуі де ең төмен салмақты модульдер болғандықтан, басқа көбейткіштің v ⊗ w-ге әсері шекті қосындыға дейін қысқартылады. Атап айтқанда, егер V ең жоғары салмақты модуль болса, онда формальды шексіз қосынды, R, V ⊗ V-ге анықталған және кері айналатын әрекет етеді, ал R-дің бұл мәні (End(V ⊗ V) элементі ретінде) Янг-Бакстер теңдеуін қанағаттандырады, сондықтан бізге өрім тобының бейнеленуін анықтауға және түйіндер, байланыстар мен өрімдердің квазиинварианттарын анықтауға мүмкіндік береді.
and an infinite formal sum, where λj is a basis for the dual space to the Cartan subalgebra, and μj is the dual basis, and η = ±1. The formal infinite sum which plays the part of the R matrix has a well defined action on the tensor product of two irreducible highest weight modules, and also on the tensor product of two lowest weight modules. Specifically, if v has weight α and w has weight β, then
and the fact that the modules are both highest weight modules or both lowest weight modules reduces the action of the other factor on v ⊗ W to a finite sum. Specifically, if V is a highest weight module, then the formal infinite sum, R, has a well defined, and invertible, action on V ⊗ V, and this value of R (as an element of End(V ⊗ V)) satisfies the Yang–Baxter equation, and therefore allows us to determine a representation of the braid group, and to define quasi invariants for knots, links and braids.
Кванттық топтар q = 0-де
Масаки Кашивара q → 0 болғанда кванттық топтардың лимиттегі мінез-құлқына зерттеме жасады және кристаллдық негіз деп аталатын ерекше жақсы қасиеттері бар базаны тапты.