Введение

Алгебраическая конструкция, представляющая интерес для теоретической физики.

В математике и теоретической физике термин «квантовая группа» обозначает один из нескольких различных видов некомутативных алгебр с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда — Джимбо (являющиеся квазитреугольными алгебрами Хопфа), компактные матричные квантовые группы (являющиеся структурами на унитарных сепарабельных C*-алгебрах) и квантовые группы бикросsproduktа. Несмотря на название, сами они не обладают естественной групповой структурой, хотя в некотором смысле они «близки» к группе. Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовых интегрируемых систем, которая впоследствии была формализована Владимиром Дринфельдом и Мичио Джимбо как особый класс алгебры Хопфа. Этот же термин также используется для других алгебр Хопфа, деформирующих или близких к классическим группам Ли или алгебрам Ли, таких как класс квантовых групп бикросsproduktа, введенный Шаном Маджидом вскоре после работ Дринфельда и Джимбо. В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как алгебры Хопфа, зависящие от вспомогательного параметра q или h, которые становятся универсальными огибающими алгебрами определенной алгебры Ли, часто полупростой или аффинной, при q = 1 или h = 0. Тесно связаны с некоторыми двойственными объектами, также являющимися алгебрами Хопфа и называемыми квантовыми группами, деформирующими алгебру функций на соответствующей полупростой алгебраической группе или компактной группе Ли.

Интуитивное значение

Открытие квантовых групп было совершенно неожиданным, поскольку долгое время было известно, что компактные группы и полупростые алгебры Ли являются "жесткими" объектами, иными словами, их нельзя "деформировать". Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, состоит в том, что если рассматривать структуру, эквивалентную, но более общую – групповую алгебру или универсальную обволакивающую алгебру, – то групповую алгебру или обволакивающую алгебру можно "деформировать", хотя полученная деформация уже не будет групповой алгеброй или обволакивающей алгеброй. Более точно, деформация может быть осуществлена в рамках категории алгебр Хопфа, которые не обязаны быть коммутативными или кокоммутативными. Деформированный объект можно рассматривать как алгебру функций на "некоммутативном пространстве" в духе некомутативной геометрии Алена Конна. Однако эта интуиция возникла уже после того, как определенные классы квантовых групп продемонстрировали свою полезность в изучении квантового уравнения Янга — Бакстера и квантового метода обратного рассеяния, разработанного Ленинградской школой (Людвиг Фадеев, Леон Тахтаян, Евгений Склянин, Николай Решетихин и Владимир Корепин), а также в связанных с этим работах японской школы. Интуиция, лежащая в основе второго класса квантовых групп – бикроссподукта – была иной и проистекала из поиска самодвойственных объектов как подхода к квантовой гравитации.

Случай 1: q не является корнем единства

Строго говоря, квантовая группа Uq(G) не является квазитреугольной, но ее можно рассматривать как "почти квазитреугольную", поскольку существует бесконечная формальная сумма, которая играет роль R-матрицы. Эта бесконечная формальная сумма выражается через генераторы ei и fi, а также генераторы Картана tλ, где kλ формально отождествляется с qtλ. Бесконечная формальная сумма представляет собой произведение двух факторов и бесконечной формальной суммы, где λj является базисом двойственного пространства к картанской субальгебре, а μj – двойственным базисом, и η = ±1. Формальная бесконечная сумма, выполняющая роль R-матрицы, имеет чётко определённое действие на тензорное произведение двух неприводимых модулей старшего веса, а также на тензорное произведение двух неприводимых модулей младшего веса. В частности, если v имеет вес α, а w имеет вес β, то и тот факт, что модули являются либо модулями старшего веса, либо модулями младшего веса, сводит действие другого фактора на v ⊗ w к конечной сумме. В частности, если V – модуль старшего веса, то формальная бесконечная сумма R имеет чётко определённое и обратимое действие на V ⊗ V, и это значение R (как элемент End(V ⊗ V)) удовлетворяет уравнению Янга — Бакстера, и, следовательно, позволяет определить представление группы кос и определить квазиинварианты для узлов, зацеплений и кос.

Квантовые группы при q = 0

Масаки Кашивара исследовал предельное поведение квантовых групп при q → 0 и обнаружил особенно хорошо организованную базу, называемую кристаллической базой.