Кіріспе
Қазіргі алгебраның топтық теория деп аталатын саласында Конвей топтары – үш спорадикалық қарапайым топ Co1, Co2 және Co3, сондай-ақ олармен байланысты шекті топ Co0. Конвей топтарының ең үлкені Co0, қосу және ішкі көбейтуге қатысты Лич торының автоморфизмдер тобы болып табылады. Оның тәртібі
The largest of the Conway groups, Co0, is the group of automorphisms of the Leech lattice Λ with respect to addition and inner product. It has order
fmt=commas
but it is not a simple group. The simple group Co1 of order
fmt=commas = 221395472111323
is defined as the quotient of Co0 by its center, which consists of the scalar matrices ±1. The groups Co2 of order
fmt=commas = 218365371123
and Co3 of order
fmt=commas = 210375371123
consist of the automorphisms of Λ fixing a lattice vector of type 2 and type 3, respectively. As the scalar −1 fixes no non zero vector, these two groups are isomorphic to subgroups of Co1. The inner product on the Leech lattice is defined as 1/8 the sum of the products of respective co ordinates of the two multiplicand vectors; it is an integer. The square norm of a vector is its inner product with itself, always an even integer. It is common to speak of the type of a Leech lattice vector: half the square norm. Subgroups are often named in reference to the types of relevant fixed points. This lattice has no vectors of type 1.
fmt=commas
The largest of the Conway groups, Co0, is the group of automorphisms of the Leech lattice Λ with respect to addition and inner product. It has order
fmt=commas
but it is not a simple group. The simple group Co1 of order
fmt=commas = 221395472111323
is defined as the quotient of Co0 by its center, which consists of the scalar matrices ±1. The groups Co2 of order
fmt=commas = 218365371123
and Co3 of order
fmt=commas = 210375371123
consist of the automorphisms of Λ fixing a lattice vector of type 2 and type 3, respectively. As the scalar −1 fixes no non zero vector, these two groups are isomorphic to subgroups of Co1. The inner product on the Leech lattice is defined as 1/8 the sum of the products of respective co ordinates of the two multiplicand vectors; it is an integer. The square norm of a vector is its inner product with itself, always an even integer. It is common to speak of the type of a Leech lattice vector: half the square norm. Subgroups are often named in reference to the types of relevant fixed points. This lattice has no vectors of type 1.
-ға тең, бірақ бұл қарапайым топ емес.
The largest of the Conway groups, Co0, is the group of automorphisms of the Leech lattice Λ with respect to addition and inner product. It has order
fmt=commas
but it is not a simple group. The simple group Co1 of order
fmt=commas = 221395472111323
is defined as the quotient of Co0 by its center, which consists of the scalar matrices ±1. The groups Co2 of order
fmt=commas = 218365371123
and Co3 of order
fmt=commas = 210375371123
consist of the automorphisms of Λ fixing a lattice vector of type 2 and type 3, respectively. As the scalar −1 fixes no non zero vector, these two groups are isomorphic to subgroups of Co1. The inner product on the Leech lattice is defined as 1/8 the sum of the products of respective co ordinates of the two multiplicand vectors; it is an integer. The square norm of a vector is its inner product with itself, always an even integer. It is common to speak of the type of a Leech lattice vector: half the square norm. Subgroups are often named in reference to the types of relevant fixed points. This lattice has no vectors of type 1.
fmt=commas = 221395472111323 тәртібіндегі қарапайым топ Co1, оның ортасымен Co0-ның бөлігі ретінде анықталады, ол скалярлық матрицалардан ±1 тұрады.
The largest of the Conway groups, Co0, is the group of automorphisms of the Leech lattice Λ with respect to addition and inner product. It has order
fmt=commas
but it is not a simple group. The simple group Co1 of order
fmt=commas = 221395472111323
is defined as the quotient of Co0 by its center, which consists of the scalar matrices ±1. The groups Co2 of order
fmt=commas = 218365371123
and Co3 of order
fmt=commas = 210375371123
consist of the automorphisms of Λ fixing a lattice vector of type 2 and type 3, respectively. As the scalar −1 fixes no non zero vector, these two groups are isomorphic to subgroups of Co1. The inner product on the Leech lattice is defined as 1/8 the sum of the products of respective co ordinates of the two multiplicand vectors; it is an integer. The square norm of a vector is its inner product with itself, always an even integer. It is common to speak of the type of a Leech lattice vector: half the square norm. Subgroups are often named in reference to the types of relevant fixed points. This lattice has no vectors of type 1.
fmt=commas = 218365371123 және Co3 топтары fmt=commas = 210375371123 тәртібіндегі Λ-ның автоморфизмдерінен тұрады, олар тиісінше 2 және 3 типті тор векторларын бекітеді. Скаляр -1 нөлден өзгеше векторды бекітпегендіктен, бұл екі топ Co1-дің кіші топтарына изоморфты. Лич торының ішкі көбейтіндісі екі көбейтілетін векторлардың сәйкес координаттарының көбейтінділерінің қосындысының 1/8 бөлігі ретінде анықталады; ол бүтін сан. Вектордың квадраттық нормасы – оның өзімен ішкі көбейтіндісі, әрқашан жұп сан. Лич торы векторының типі туралы айту қалыпты: квадраттық норманың жартысы. Кіші топтар көбінесе тиісті тұрақты нүктелердің типтеріне сілтеме жасай отырып аталады. Бұл торда 1-типті векторлар жоқ.
The largest of the Conway groups, Co0, is the group of automorphisms of the Leech lattice Λ with respect to addition and inner product. It has order
fmt=commas
but it is not a simple group. The simple group Co1 of order
fmt=commas = 221395472111323
is defined as the quotient of Co0 by its center, which consists of the scalar matrices ±1. The groups Co2 of order
fmt=commas = 218365371123
and Co3 of order
fmt=commas = 210375371123
consist of the automorphisms of Λ fixing a lattice vector of type 2 and type 3, respectively. As the scalar −1 fixes no non zero vector, these two groups are isomorphic to subgroups of Co1. The inner product on the Leech lattice is defined as 1/8 the sum of the products of respective co ordinates of the two multiplicand vectors; it is an integer. The square norm of a vector is its inner product with itself, always an even integer. It is common to speak of the type of a Leech lattice vector: half the square norm. Subgroups are often named in reference to the types of relevant fixed points. This lattice has no vectors of type 1.
Тарих
1964 жылы Джон Лич үлкен өлшемді Евклид кеңістіктеріндегі шарлардың тығыз орналасуын зерттеді. Личтің бір жаңалығы – 24 өлшемді кеңістіктегі торлық жинақталу болды, ол кейін Лич торы Λ деп аталды. Ол өзінің тордың симметрия тобында қызықты жай топ бар ма деп ойлады, бірақ топтар теориясымен жақсы танысқан біреудің көмегіне мұқтаж екенін түсінді. Математиктердің өзіндік мақсаттары болғандықтан, ол көптеген адамдардан көмек сұрауға мәжбүр болды. Джон Конвей мәселені қарауға келісті. Джон Г. Томпсон топтың реті берілсе, қызығушылық танытатынын айтты. Конвей бұл мәселені шешуге айлар немесе жылдар жұмсауға дайын болған, бірақ бірнеше сеанстан кейін нәтижеге қол жеткізді. Ол 1940 жылы Лич торын тапқанын және оның автоморфизм тобы Co0 ретін есептегенін мәлімдеді.
Көміртегіге қатысы
Co0 кез келген инволюциясы Голей кодының элементіне конъюгацияланатынын көрсетуге болады. Co0 инволюциялардың 4 конъюгациялық класына ие. 212 пішінді пермутациялық матрица додекадқа конъюгацияланатынын көрсетуге болады. Оның орталықтандырғышы 212:M12 формасында болады және мономиалдық кіші топтың ішінде конъюгаттар бар. Осы конъюгация класындағы кез келген матрицаның ізi 0-ге тең. 2818 пішінді пермутациялық матрица октадқа конъюгацияланатынын көрсетуге болады; оның ізi 8-ге тең. Бұл және оның теріс шамасы (ізі -8) (21 + 8 × 2) формасындағы ортақ орталықтандырғышқа ие. O8+(2), Co0 ішінде максимал кіші топ.
Тағы екі спорадикалық топ
Екі спорадикалық кіші топты Лич торларындағы құрылымдардың тұрақтандырушыларының бөлінділері ретінде анықтауға болады. R24-ті C12-мен және Λ-ді сәйкестендіру (яғни, күрделі құрылымды сақтайтын Лич торлы автоморфизмдер тобы), күрделі скалярлық матрицалардың алты элементтен тұратын тобына бөлгенде, Сузуки тобы Suz (ретті fmt=үтір) шығады. Бұл топты 1968 жылы Мичио Сузуки ашқан. Ұқсас құрастыру Hall–Janko тобы J2 (ретті fmt=үтір) -ні Λ-ның кватерниондық автоморфизмдер тобын скалярлардың ±1 тобына бөлгенде береді. Жоғарыда сипатталған жеті қарапайым топ Роберт Грисс атайтын «Бақытты отбасының» екінші буынын құрайды, ол Монстр тобының ішінде табылған 20 спорадикалық қарапайым топтан тұрады. Жеті топтың бірнешеуі бірінші буынды құрайтын бес Матье тобының кем дегенде бірнешеуін қамтиды.
the resulting automorphism group (i. e., the group of Leech lattice automorphisms preserving the complex structure) when divided by the six element group of complex scalar matrices, gives the Suzuki group Suz (order fmt=commas). This group was discovered by Michio Suzuki in 1968. A similar construction gives the Hall–Janko group J2 (order fmt=commas) as the quotient of the group of quaternionic automorphisms of Λ by the group ±1 of scalars. The seven simple groups described above comprise what Robert Griess calls the second generation of the Happy Family, which consists of the 20 sporadic simple groups found within the Monster group. Several of the seven groups contain at least some of the five Mathieu groups, which comprise the first generation.
Сузуки өнім топтарының тізбегі
Co0 3-ші реттік элементтердің 4 конъюгациялық класына ие. M24-те 38 пішінді элемент S3 көшірмесінде нормал топты тудырады, ол 168 реттік қарапайым кіші топпен коммутациялайды. M24-тегі тікелей көбейтінді PSL(2,7) × S3 трионың октадаларын және мономиалды кіші топтағы 14 додекадты диагональдық матрицаларды ауыстырады. Co0-да бұл мономиалды нормализатор 24:PSL(2,7) × S3, 2.A9 × S3 түріндегі ең үлкен кіші топқа дейін кеңейтіледі, мұнда 2.A9 – ауыспалы А9 тобының екі еселі жабыны. Джон Томпсон 2.A9 сияқты кіші топтардың нормализаторларын зерттеудің пайдалы болатынын көрсетті. Осылайша, Co0-ның бірнеше максималды кіші топтары табылды. Сонымен қатар, нәтижедегі тізбекте екі спорадикалық топ пайда болады. 2.A8 × S4 кіші тобы бар, ол Co0-да максималды емес, осы тізбектегі жалғыз кіші топ. Келесісі – (2.A7 × PSL(2,7)):2 кіші тобы. Одан кейін (2.A6 × SU3(3)):2 кіші тобы келеді. SU3(3) унитарлық тобы (fmt=commas) 36 төбесі бар графқа ие, келесі кіші топты күтіп. Бұл кіші топ (2.A5 o 2.HJ):2, онда Hall–Janko тобы HJ пайда болады. Аталған граф 100 төбесі бар Hall–Janko графына дейін кеңейтіледі. Келесісі (2.A4 o 2.G2(4)):2, G2(4) – Lie типіндегі ерекше топ. Тізбе 6.Suz:2 (Suz=Suzuki спорадикалық тобы) кіші тобымен аяқталады, ол, жоғарыда айтылғандай, Leech Lattice-тің кешенді бейнелеуін сақтайды.
Жалпыға ортақ айлық шашы
Конвей мен Нортон 1979 жылғы мақаласында, «қорқынышты айшаңдық» тек «монстр» тобымен ғана шектелмейтінін айтты. Лариса Куин және басқалар кейіннен көптеген Хауптмодулдердің кеңеюін спорадикалық топтардың өлшемдерінің қарапайым комбинациялары арқылы құрастыруға болатынын анықтады. Конвей топтары үшін тиісті Маккей-Томпсон қатары = {1, 0, 276, fmt=commas, fmt=commas, fmt=commas, } және = {1, 0, 276, fmt=commas, fmt=commas, fmt=commas, } болып табылады, мұнда тұрақты мүше 1=a(0) = 24 деп қоюға болады, ал η(τ) – Дедекинд эта функциясы.
and η(τ) is the Dedekind eta function.