Введение

В области современной алгебры, известной как теория групп, группы Конвея — это три спорадических простых группы Co1, Co2 и Co3 вместе с связанной конечной группой Co0, введенной Конвеем. Самая большая из групп Конвея, Co0, является группой автоморфизмов решетки Лича Λ относительно сложения и внутреннего произведения. Её порядок

fmt=commas

но это не простая группа. Простая группа Co1 порядка

fmt=commas = 221395472111323

определяется как факторгруппа Co0 по её центру, состоящему из скалярных матриц ±1. Группы Co2 порядка

fmt=commas = 218365371123

и Co3 порядка

fmt=commas = 210375371123

состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих вектор решетки типа 2 и типа 3 соответственно. Поскольку скаляр -1 не фиксирует ни одного ненулевого вектора, эти две группы изоморфны подгруппам Co1. Внутреннее произведение на решетке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух векторов; оно является целым числом. Квадрат нормы вектора — это его внутреннее произведение на себя, всегда четное целое число. Обычно говорят о типе вектора решетки Лича: как о половине его квадратной нормы. Подгруппы часто называют в соответствии с типами соответствующих фиксированных точек. В этой решетке нет векторов типа 1.

История

рассказывает, как примерно в 1964 году Джон Лич исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича стала решетчатая упаковка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что впоследствии стало называться решеткой Лича Λ. Он задавался вопросом, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но чувствовал, что ему нужна помощь кого-то, лучше разбирающегося в теории групп. Ему пришлось много расспрашивать, так как математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился взглянуть на проблему. Джон Г. Томпсон сказал, что заинтересуется ею, если ему сообщат порядок группы. Конвей ожидал потратить месяцы или годы на решение, но обнаружил результаты всего за несколько сеансов. Утверждалось, что он обнаружил решетку Лича в 1940 году и намекнул, что вычислил порядок ее группы автоморфизмов Co0.

Включения в CO0

Любое инволюционное преобразование в Co0 можно показать конъюгированным элементу кода Голея. Co0 имеет 4 класса сопряженности инволюций. Матрицу перестановки формы 212 можно показать конъюгированной додекаду. Её централизатор имеет вид 212:M12 и имеет сопряженные элементы внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом классе сопряженности имеет след 0. Матрицу перестановки формы 2818 можно показать конъюгированной октаде; она имеет след 8. У этой и её отрицательной (со следом −8) есть общий централизатор вида (21 + 8 × 2). O8+(2) — подгруппа, максимальная в Co0.

Две другие спорадические группы

Две спорадические подгруппы могут быть определены как фактор-группы стабилизаторов структур на решетке Лича. Отождествление R24 с C12 и Λ с полученной группой автоморфизмов (то есть группой автоморфизмов решетки Лича, сохраняющих комплексную структуру), при делении на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, дает группу Сузуки Suz (порядок fmt=commas). Эта группа была открыта Мичио Сузуки в 1968 году. Аналогичная конструкция дает группу Холла — Янко J2 (порядок fmt=commas) как фактор-группу группы кватернионных автоморфизмов Λ по группе ±1 скаляров. Семь простых групп, описанных выше, составляют то, что Роберт Грисс называет вторым поколением «Счастливой семьи», которая состоит из 20 спорадических простых групп, найденных внутри группы Монстров. Некоторые из этих семи групп содержат по крайней мере часть из пяти групп Матье, составляющих первое поколение.

Цепочка групп продуктов Suzuki

У Co0 есть 4 класса сопряженности элементов 3-го порядка. В M24 элемент формы 38 генерирует группу, нормальную в копии S3, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение PSL(2,7) × S3 в M24 переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co0 этот мономиальный нормализатор 24:PSL(2,7) × S3 расширяется до максимальной подгруппы вида 2. A9 × S3, где 2. A9 – двойное накрытие чередующейся группы A9. Джон Томпсон отметил, что было бы плодотворно исследовать нормализаторы меньших подгрупп вида 2. A*. Несколько других максимальных подгрупп Co0 найдены таким образом. Более того, в полученной цепи появляются две спорадические группы. Существует подгруппа 2. A8 × S4, единственная в этой цепи, не являющаяся максимальной в Co0. Далее следует подгруппа (2. A7 × PSL2(7)):2. Затем идет (2. A6 × SU3(3)):2. Унитарная группа SU3(3) (порядок fmt=commas) обладает графом из 36 вершин, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа – (2. A5 o 2. HJ):2, в которой появляется группа Холла-Янко HJ. Упомянутый граф расширяется до графа Холла-Янко со 100 вершинами. Далее следует (2. A4 o 2. G2(4)):2, где G2(4) – исключительная группа типа Ли. Цепь заканчивается на 6. Suz:2 (Suz=Suzuki sporadic group), которая, как упоминалось выше, уважает комплексное представление решетки Лича.

Огромный лунный свет

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что «монструозный лунный свет» не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить разложения многих главных модулярных форм (Hauptmoduln) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея — Томпсона равен {1, 0, 276, ..., ..., ..., } и {1, 0, 276, ..., ..., ..., }, где постоянный член можно задать как a(0) = 24,

и η(τ) — функция Дедекинда эта.