Кіріспе
Математикадағы бейнелеу теориясы саласында, F өрісіндегі V векторлық кеңістігінде G тобының проекциялық бейнелеуі – G-ден проекциялық сызықтық топқа дейінгі топтық гомоморфизм болып табылады, мұнда GL(V) – F өрісінде V-тің кері айналатын сызықтық түрлендірулерінің жалпы сызықтық тобы, ал F* – бірлік түрлендірудің нөлдік емес скалярлық еселігінен тұратын нормальды кіші топ (Скалярлық түрлендіру қараңыз). Көбірек нақты айтқанда, проекциялық бейнелеу – тұрақтыға дейін гомоморфизм қасиетін қанағаттандыратын операторлар жиынтығы: белгілі бір тұрақты үшін. Эквивалентті түрде, проекциялық бейнелеу – мынадай операторлар жиынтығы: мұндағы – нөлдік емес скалярға көбейтілген сызықтық операторлар жиыны. Егер операторлардың әрбір отбасы үшін гомоморфизм қасиетін тұрақтыға дейін емес, нақты қанағаттандыратын белгілі бір өкілді таңдау мүмкін болса, онда оны «депроективтендірілген» немесе «қалыпты бейнелеуге көтерілген» деп айтамыз. Көбірек нақты айтқанда, егер әрбір үшін мынадай болатын жағдайда, депроективтендіруге болады, бұл мүмкіндік төменде талқыланады.
where GL(V) is the general linear group of invertible linear transformations of V over F, and F∗ is the normal subgroup consisting of nonzero scalar multiples of the identity transformation (see Scalar transformation). In more concrete terms, a projective representation of is a collection of operators satisfying the homomorphism property up to a constant:
for some constant Equivalently, a projective representation of is a collection of operators , such that Note that, in this notation, is a set of linear operators related by multiplication with some nonzero scalar. If it is possible to choose a particular representative in each family of operators in such a way that the homomorphism property is satisfied on the nose, rather than just up to a constant, then we say that can be "de projectivized", or that can be "lifted to an ordinary representation". More concretely, we thus say that can be de projectivized if there are for each such that This possibility is discussed further below.
Топтық кохомология
Көтергіш сұрақтың талдауы топтық кохомологияны қамтиды. Шындығында, егер G-дегі әрбір g үшін PGL(V)-ден GL(V)-ге көтеру кезінде L(g) көтерілген элементін белгілесек, онда көтерулер F^(∗) -дегі кейбір скаляр c(g,h) үшін келесіні қанағаттандырады:
for some scalar c(g,h) in F^(∗). It follows that the 2 cocycle or Schur multiplier c satisfies the cocycle equation
for all g, h, k in G. This c depends on the choice of the lift L; a different choice of lift will result in a different cocycle
cohomologous to c. Thus L defines a unique class in H^(2)(G, F^(∗)). This class might not be trivial. For example, in the case of the symmetric group and alternating group, Schur established that there is exactly one non trivial class of Schur multiplier, and completely determined all the corresponding irreducible representations. In general, a nontrivial class leads to an extension problem for G. If G is correctly extended we obtain a linear representation of the extended group, which induces the original projective representation when pushed back down to G. The solution is always a central extension. From Schur's lemma, it follows that the irreducible representations of central extensions of G, and the irreducible projective representations of G, are essentially the same objects.
G-дегі барлық g, h, k үшін 2-коцикл немесе Шур көбейтушісі c коцикл теңдеуін қанағаттандырады. Бұл c лифт L таңдауына байланысты; лифттің басқаша таңдалуы c-ге кохомологты басқа коциклге әкеледі. Осылайша L, H^(2)(G, F^(∗)) ішінде бірегей класс анықтайды. Бұл класс тривиальды болмауы мүмкін. Мысалы, симметриялық топ және алмастырушы топ жағдайында Шур Шур көбейтушісінің дәл бір тривиальды емес класы бар екенін және барлық сәйкес келетін азайтылмайтын өкілдіктерді толық анықтады. Жалпы алғанда, тривиальды емес класс G үшін кеңейту мәселесіне әкеледі. Егер G дұрыс кеңейтілсе, біз кеңейтілген топтың сызықтық өкілдігін аламыз, ол G-ге кері түсірілгенде бастапқы проективті өкілдікке айналады. Шешім әрқашан орталық кеңейту болып табылады. Шур леммасынан G-дің орталық кеңейтулерінің азайтылмайтын өкілдіктері мен G-дің азайтылмайтын проективті өкілдіктері негізінен бірдей объектілер екендігі шығады.
for some scalar c(g,h) in F^(∗). It follows that the 2 cocycle or Schur multiplier c satisfies the cocycle equation
for all g, h, k in G. This c depends on the choice of the lift L; a different choice of lift will result in a different cocycle
cohomologous to c. Thus L defines a unique class in H^(2)(G, F^(∗)). This class might not be trivial. For example, in the case of the symmetric group and alternating group, Schur established that there is exactly one non trivial class of Schur multiplier, and completely determined all the corresponding irreducible representations. In general, a nontrivial class leads to an extension problem for G. If G is correctly extended we obtain a linear representation of the extended group, which induces the original projective representation when pushed back down to G. The solution is always a central extension. From Schur's lemma, it follows that the irreducible representations of central extensions of G, and the irreducible projective representations of G, are essentially the same objects.
SO3 проекциялық бейнелері
Жоғарыда аталған құрылымның физикалық маңызды мысалы SO(3) айналу тобының жағдайында, оның әмбебап жабуы SU(2) болып табылады. SU(2) бейнелеу теориясына сәйкес, әрбір өлшемде SU(2) үшін дәл бір азайтылмайтын бейнелеу бар. Егер өлшем тақ болса ("бүтін спин" жағдайы), онда бейнелеу SO(3) тобының қарапайым бейнелеуіне өтеді. Егер өлшем жұп болса ("жарты спин" жағдайы), онда бейнелеу SO(3) тобының қарапайым бейнелеуіне өтпейді, бірақ (жоғарыда талқыланған нәтижеге сәйкес) SO(3) тобының проекциялық бейнелеуіне өтеді. Мұндай проекциялық бейнелеулер (қарапайым бейнелеулерден туындамағандар) "спинорлық бейнелеулер" деп аталады, ал олардың элементтері (векторлары) спинорлар деп аталады. Төменде талқыланатын аргумент бойынша, SO(3) тобының әрбір шекті өлшемді, азайтылмайтын проекциялық бейнелеуі SU(2) тобының шекті өлшемді, азайтылмайтын қарапайым бейнелеуінен туындайды.
Шексіз өлшемді проекциялық бірлік бейнелеулер: Гейзенберг жағдайы
Алдыңғы тармақтың нәтижелері шексіз өлшемді жағдайда жарамсыз, себебі "із" әдетте дұрыс анықталмайды. Шындығында, нәтиже орындалмайды: мысалы, Гильберт кеңістігінде әрекет ететін, кеңістікте қозғалатын квант бөлшегінің координаталық және импульстік кеңістіктегі трансляцияларын қарастырайық. Бұл операторлар былай анықталады: барлық үшін. Бұл операторлар жоғарыдағы "Бірінші мысал" бөлімінде сипатталған операторлардың үздіксіз нұсқалары ғана. Сол бөлімдегідей, біз трансляциялардың проективті унитарлық бейнелеуін анықтай аламыз: себебі операторлар фазалық коэффициентке дейін коммутациялайды. Бірақ фазалық коэффициенттердің ешқандай таңдауы қарапайым унитарлық бейнелеуге әкелмейді, өйткені координаталық трансляциялар импульстік трансляциялармен коммутацияламайды (және нөлдік емес тұрақтыға көбейту бұл жағдайды өзгерте алмайды). Дегенмен, бұл операторлар Гейзенберг тобының қарапайым унитарлық бейнелеуінен туындайды, ол (Стоун-Вон Нейман теоремасын да қараңыз.) бір өлшемді орталық кеңейтім болып табылады.
for all These operators are simply continuous versions of the operators and described in the "First example" section above. As in that section, we can then define a projective unitary representation of :
because the operators commute up to a phase factor. But no choice of the phase factors will lead to an ordinary unitary representation, since translations in position do not commute with translations in momentum (and multiplying by a nonzero constant will not change this). These operators do, however, come from an ordinary unitary representation of the Heisenberg group, which is a one dimensional central extension of (See also the Stone–von Neumann theorem.)
Шексіз өлшемді проективті бірлік бейнелеулер: Баргманның теоремасы
Екінші жағынан, Баргманның теоремасы егер жатқан кеңістіктің екінші Лай алгебрасының когомологиялық тобы тривиальды болса, онда оның әрбір проективті унитарлық бейнелеуі универсалды жабынға өту арқылы проективтіліктен айырылады. Нақтырақ айтқанда, егер Лай тобының проективті унитарлық бейнелеуінен бастасақ, онда теорема бойынша оны осы топтың универсалды жабынының қарапайым унитарлық бейнелеуіне көтеруге болады. Яғни, жабын картасының ядросының әрбір элементі сәйкестік матрицасының скалярлық есесіне бейнеленеді, сондықтан проективті деңгейде және оған қатысты проективті бейнелеу тең болады. Бұл теорема топқа қолданылмайды, себебі бұрынғы мысалда көрсілгендей, байланысты коммутативті Лай алгебрасының екінші когомологиялық тобы тривиальды емес. Нәтиже қолданылатын мысалдарға жартылай жай топтар (мысалы, SL(2,R)) және Пуанкаре тобы жатады. Бұл соңғы нәтиже Пуанкаре тобының проективті унитарлық бейнелеулерін Вигнер жіктеуі үшін маңызды. Баргманның теоремасын дәлелдеу үшін , жоғарыдағы сызықтық және проективті бейнелеулер туралы бөлімде сипатталғандай, тікелей көбейтінді топтың кіші тобы ретінде қарастырылады, мұнда – әрекет ететін Гильберт кеңістігі, ал – Гильберт кеңістігіндегі унитарлық операторлар тобы. Топ келесідей анықталады: Алдыңғы бөлімдегідей, карта – бұл сюръективті гомоморфизм, оның ядросы сондықтан – кеңейтімнің орталық бөлігі болады. Алдыңғы бөлімдегідей, біз одан кейін карта арқылы анықталатын топтың сызықтық бейнелеуін анықтай аламыз. Бұл бейнелеу – түйіндеме, себебі , мұнда – топтан топқа түсірілетін проекция. Негізгі техникалық мәселе – топтың жатқан кеңістік екенін көрсету. (Бұл талап әрқашан айқын емес, себебі егер шексіз өлшемді болса, топ шексіз өлшемді топологиялық топ болады.) Бұл нәтиже орнатылғаннан кейін, топтың – топтың бір өлшемді орталық кеңейтімі екенін көреміз, сондықтан топтың Лай алгебрасы да топтың бір өлшемді орталық кеңейтімі болады (мұнда "бір өлшемді" сөзі және емес, олардың проекция картасынан алынған ядроларына қатысты). Бірақ когомологиялық топты бір өлшемді (жоғарыда айтылған мағынада) орталық кеңейтімдер кеңістігімен сәйкестендіруге болады; егер тривиальды болса, онда әрбір бір өлшемді орталық кеңейтім тривиальды болады. Бұл жағдайда, топ – нақты түзудің көшірмесімен тікелей қосындысы. Одан кейін, топтың универсалды жабыны – нақты түзудің көшірмесі бар универсалды жабынның тікелей көбейтіндісі болуы керек. Содан кейін біз (жабын картасымен байланыстырып) топтан топқа көтеруді және соңында осы көтеруді топтың универсалды жабынына шектеуді жасай аламыз.
The theorem does not apply to the group —as the previous example shows—because the second cohomology group of the associated commutative Lie algebra is nontrivial. Examples where the result does apply include semisimple groups (e. g., SL(2,R)) and the Poincaré group. This last result is important for Wigner's classification of the projective unitary representations of the Poincaré group. The proof of Bargmann's theorem goes by considering a central extension of , constructed similarly to the section above on linear representations and projective representations, as a subgroup of the direct product group , where is the Hilbert space on which acts and is the group of unitary operators on The group is defined as
As in the earlier section, the map given by is a surjective homomorphism whose kernel is so that is a central extension of Again as in the earlier section, we can then define a linear representation of by setting Then is a lift of in the sense that , where is the quotient map from to
A key technical point is to show that is a Lie group. (This claim is not so obvious, because if is infinite dimensional, the group is an infinite dimensional topological group.) Once this result is established, we see that is a one dimensional Lie group central extension of , so that the Lie algebra of is also a one dimensional central extension of (note here that the adjective "one dimensional" does not refer to and , but rather to the kernel of the projection map from those objects onto and respectively). But the cohomology group may be identified with the space of one dimensional (again, in the aforementioned sense) central extensions of ; if is trivial then every one dimensional central extension of is trivial. In that case, is just the direct sum of with a copy of the real line. It follows that the universal cover of must be just a direct product of the universal cover of with a copy of the real line. We can then lift from to (by composing with the covering map) and finally restrict this lift to the universal cover of .